DFT e Tecniche di Accesso Multiplo

Trasformata di Fourier discreta (DFT)

Introduzione al concetto di DFT nell'OFDM

Esaminiamo meglio il concetto che nell'OFDM ci ha permesso di sostituire la somma delle N sottoportanti modulate, con una DFT (inversa in trasmissione e diretta in ricezione).

Trasformata e antitrasformata

• Trasformata: Prendo il segnale nel tempo g(t), lo campiono con un opportuno passo di campionamento T, e i campioni di questo segnale li grafico attraverso tale trasformata, trovando così i valori dei campioni della trasformata a frequenze multiple di 1/NT.
• Antitrasformata: Prendo i valori della mia trasformata e mi trovo i campioni nel tempo (a partire dai campioni della trasformata multipli di 1 Hz dall'esempio, ottengo i campioni dei segnali nel tempo; quindi partendo dai campioni in frequenza ottengo i campioni del tempo, con passo 1 MHz).

Relazione tra campioni e DFT

Nel momento in cui metto in relazione i campioni del segnale nel tempo con gli N campioni in frequenza, ho un parallelismo con la TF che ci descrive la relazione tra l’andamento nel tempo continuo e in frequenza continua, con l’andamento a tempo discreto e a frequenza discreto. Leggendo i campioni g(kT) in sequenza, ottengo l'andamento nel tempo del mio segnale che era rappresentato dalla DFT → ho opportuni valori della trasformata in opportuni valori di frequenza.

Versione a campionamenti discreti per l'OFDM

Abbiamo un segnale a rate R che viene inviato a un convertitore S\P che genera N flussi da 0 a N-1, a rate R/N; ogni flusso lo uso per mappare il simbolo della modulazione che scelgo (il symbol mapper ad esempio per una 16QAM abbinerà un punto della costellazione a 4 bit sul flusso 0; si tratta di dare un numero complesso con parte reale e immaginaria che in realtà rappresentano l’ampiezza della portante in fase e l’ampiezza in quadratura).

Moltiplicazione per portanti ortogonali

Poi vado a moltiplicare i simboli per un set di portanti ortogonali. Tutte le uscite modulate le sommo per avere il segnale s_0ofdm(t) da mandare sul canale. Questo segnale è un segnale nel tempo ed è la somma di tanti andamenti sinusoidali scalati in ampiezza in relazione agli S_n; in frequenza è la sovrapposizione di vari spettri, nel tempo è un andamento somma di sinusoidi moltiplicate per gli S_n tutte a frequenze 1/Tn.

Rappresentazione degli S₀…S_N-1

Cosa mi rappresentano gli S₀…S_N-1? Sono le ampiezze delle portanti a frequenze f₀, f₀ + 1/Tn, ..., f₀ + n-1/Tn. Io posso pensare di descrivere il mio segnale come: e^j2πf₀t a valle del sommatore, ed è la stessa cosa. Allora il termine e^j2πf₀t va a rappresentare una sorta di spettro discretizzato del mio segnale OFDM. Cioè l’insieme dei coefficienti complessi ottenuto a valle del SM, mi rappresenta lo spettro del segnale OFDM, opportunamente campionato a multipli di 1/Tn.

Passaggio con la IDFT

È immediato quindi il passaggio con la IDFT: se questi campioni S₀, S₁, .., S_N-1 sono i valori campionati del mio spettro del segnale OFDM → mi rappresentano i valori di G(n/NT) → sono i valori campionati del mio spettro nell’antitrasformata discreta. g(kT) sono invece i valori campionati del segnale che li ha generati. In questo segnale OFDM parto dalla frequenza e mi cerco i valori nel tempo → sostituisco la modulazione con la IDFT e dagli Si ottengo gli si. Se poi serializzo con un P\S ottengo l’andamento del segnale OFDM.

Importanza delle trasformate IDFT e DFT

È molto importante questo aspetto, perché ottengo il segnale OFDM semplicemente antitrasformando i valori complessi che ottengo a valle del Symbol Mapper, al posto di modulare per le varie portanti. Le trasformate IDFT in trasmissione e DFT in ricezione mi riducono la complessità circuitale. Questi schemi li uso nella TV digitale (es. 8000 portanti faccio una DFT a 8000 punti); anche il modem usa tale tecnica (transceiver multiportante verso la rete cablata e uno verso la WiFi, e diventa tutto più economico facendo tutto con un processore).

Funzionamento senza prefisso ciclico

Tutto questo però funziona senza prefisso ciclico, poiché il problema è quando andiamo a trasmettere questo segnale. Abbiamo detto che il CP lo inseriamo tra un simbolo OFDM e il successivo. Ho i campioni del segnale nel tempo: x₀,..., x_N-1 → Simbolo OFDM. Se dovessi trasmettere questo simbolo uno dopo l’altro senza CP (tempo di guardia), è chiaro che ciò che ricevo sarà la convoluzione di ciò che trasmetto con la risposta impulsiva del canale, ma accade che l’effetto della h[n] è diversa da 0 per μ campioni, dove la risposta si esaurisce in tot ms, il tempo di campionamento T_c è frazione di ms, facciamo il rapporto e vediamo quanto è lunga in termini di campioni la mia risposta impulsiva. μ T_c = durata risposta impulsiva del canale. Quindi succede che se dovessi trasmettere i simboli OFDM tutti di seguito, l’effetto del canale farà sì che il simbolo OFDM successivo si sovrapponga.