Teoremi OLS e modello multiplo

Teorema di Gauss-Markov

Def

• Considerate le assunzioni OLS estese:
• E[μ_i|X_i] = 0
• (X_i, Y_i) iid
• E(X⁴) < ∞    E(Y⁴) < ∞
• Var σ_i, σ_i² ∀ V (omosch)
• u_n ∈ N(0, σ_i)

Lo stimatore OLS di β₁ è quello con la varianza + piccola tra tutti gli stimatori lineari dei β₁ cioé β₁ ∈ BLUE

BEST     LINEAR     UNBIASED     ESTIMATOR

• β₁, β₂ hanno una distribuzione normale
• la statistica t si distribuisce come una t di Student con (n-2) gdl

Dimostrazione

1. Verifichiamo le condizioni di GM derivanti dalle assunzioni OLS estese
2. E[μ_t | X_t, X₂, ..., X_m] = 0    [∀ + ∀2]    (μ condizionato a qualsiasi errore ha media nulla)
3. Var [μ_t | X_t1, X₂, ..., X_m] < σ_x² < ∞    [∀3 + ∀4]    (omosch)
4. Var [μ_t, μ_t1 | X_t, X₂, ..., X_m] = 0    [∀ + ∀2]    (cov. nulla)

β₁ = ^{∑ _m (X_i - ¯X) (Y_i - ¯Y)}/_{∑m (Xi - ¯X)²}                          â: (X_i - ¯X)²/(X_t - â)²

β₁, ∑_i^m â_iY_i

Sappiamo che β₁ è corretto quindi

E[β₁ | X^_t, X₂, ..., X_m] = β₁     Var [β₁|X^_t, ..., X_n] = σ_Y²/_{σx²/E[(Xt'X^t)²]}

Introduciamo un nuovo stimatore β'_t lineare non distorto per dimostrare che

Var [β'₁] ≤ Var [β₁]

β_n = ∑_i=1¹ â_iy_i

Se vale

_yi = β₀ + β₁ X₁^~ + μ_i

β₁ = (^Σa~_i/_ΣX) (β₁X_i + μ_i)

= β₀Σ^m/_i=1a^~_i + β₁Σ^m/_i=1a_iX_i + Σⁿ/_i=1a_iμ_i

β₁ è consistentemente non distorto se E[β₁ | X₁, ..., X_m] = β₁

E[β₁ | X₁, X₂, …] + β₁E[Σ a²_i X | X₁] = E[Σ a^~_iμ_i | X₁] ^{= 0}

Introduco due vincoli

1. Σ a^~_i = 0

2. Σ X^~_ia^~_iX = 1

Quindi E[β₁ | X₁ ,..., X_{m β}...] non deteriorano

Se sostituiamo i vincoli in β^~₁ rimuovo

x²_μiΣ^m/_i=1 a²_iμ_i

Var[β₁~ |X₁, ..., X_m] ^xZ^m E[β₁~] ² |X₁, ..., X_m] ^{= E}[Σ^m/_i=1 a²_iu_i² | X₁] x^R

Var[β₂] = σ²_μ2Σ^m/_i=1 a²_i

Var

Var LAOMOCH ^*x

^σ~22 GM = ^σ2_μ

Confrontiamo la varianza di _{β1 con} quello di β₁

Var[β₂] x₁, ..., X_m ⁼

Σ^m/_i=1x²_μ/Σ^m/_i=1Δ²_i

Var[β^~₁]σ_μ

La_i non è la stessa ed introduco la grandezza âu = a²_i

Var[β^~₁ x^~

x^{σ2 â2₁}/x Σa^{~[ai_i=1 - 2}