Definizioni e teoremi con dimostrazioni di Analisi 2

Teoria Analisi II

Teorema 1.4

Date a, b, f funzioni continue in I, es., per ogni y₀, y₁ ∈ ℝ:

• Il problema di Cauchy:
• y'' + y(t) + y'(t) = f(t)
• y(t₀) = y₀
• y'(t₀) = y₁
• Ha un'unica soluzione y ∈ C² (I)

Teorema 1.5

Ly = y' + a(t)y' + b(t)y = f(t). L'operatore lineare

1. L'insieme delle soluzioni dell'omogenea (Ly = 0) è uno spazio vettoriale
2. L'integrale generale dell'equazione è dato dall'integrale generale dell'omogenea più una particolare particolare della completa (Ly = g)

• Dim.:
• Date z₂, z₁ soluzioni dell'omogenea, Lz₀ = 0, Lz₂ = 0 e λ₀, λ₁ sui costanti:
• L(λ₁z₁ + λ₂z₂) = λ₁Lz₁ + λ₂Lz₂ = 0

Dunque anche λ₁z₁ + λ₂z₂ risolve l'equazione omogenea

L'insieme delle soluzioni che compongono un'insieme esteso è dunque uno sottospazio vettoriale di C²(I)

b. Date y₁ soluzione particolare della completa

• Loro risoluzione dell'omogenea Lh = 0, Lz₀ = 0 sempre per la linearità di L:
• L(y₁ + z₀) = L(y₁) + Lz₀ = f + 0 = f

Dimostra quindi che y + z₀ è soluzione dell'equazione completa.

Teorema 1.6

Lo spazio delle soluzioni z(t) dell'equazione ha dimensione 2. Questo significa che ci sono due soluzioni dell'equazione z₁(t) e z₂(t) sono due cio.

1. Tra di loro sono linearmente indipendenti, ossia non sono un multiplo dato conso
2. Qualsiasi altro soluzione dell'equazione è una conso combinazione delle spessse

Dato ciò che il multiplo generale dell'equazione è dato dalle periferie

c₁z₁(t) + c₂z₂(t)

Dove a calore sono i coefficienti c₁ e c₂.

Teorema 1.7

Date z₁(t), z₂(t) due funzioni C¹(I) soluzioni coccia ad un'equazione si caricano riconsambio e multipolariano se e solo se:

det \( \begin{vmatrix} z_1(t) & z_2(t) \\ z_1'(t) & z_2'(t) \end{vmatrix} \) ≠ 0 (WRONSKIANA)

∀ t ∈ I sono che tranti uno t₀ ∈ I per in azione con ≠ 0 officiale è ≠ 0 almeno per non gli che in piaccia.

det = 0 in questa oppure det ≠ 0 in questo punto ai I.

Cap 2

Proposizione 2.1

r(t) = (r₁(t), r₂(t) ... r_m(t)) dove r_i: I ⊆ ℝ → ℝ

r: I→(l₁, l₂, l_m) ∈ ℝ^m

r_i(t) → l ⇔ r_i(t) → l_i per ogni i = 1,2,...m

di

\(\left| r(t) - l \right|^2 = \sum_{i=1}^{m} \left| r_i(t) - l_i \right|^2\)

tendente se r(t) = r_i(t) → (l_i = l_i) ∀ i = 1....m e viceversadove r_i(t) - l_j ovvero lo sommoniato rentes a 0 e l'addittivo conne r(t) = l

Teorema 3.2

Sia f:IR^m→IR definita in un intorno di x₀ (salvo al più x₀) e sia l∈IR se g: [0,+∞)→IR dove g(p)→ ρ per ρ→0

f(x)-l ≤ g(||x-x₀||)

∀ x se x≠x₀ in un opportuno intorno sferico di x₀ (no x₀) allora posso scrivere

lim_x→x0 f(x) = l

Definizione 3.5 - Interno / Esterno / Frontiera

Sia E un sottoinsieme di IR^m x∈IR^m x∈interno di E se ∃ almeno un intorno sferico di x₀ contenuto in E x∈esterno se ∃ almeno un intorno sferico contenuto in E^c x∈frontiera se ∀ ogni intorno sferico di x₀ contiene alquanto del punto in E e il vuoto in E^c

Definizione 3.6 - Aperto / Chiuso

Sono E⊆IR^m E si dice

• Aperto se ogni suo punto è interno ad E
• Chiuso se il suo complementare è aperto.

Definizione 3.7

Dato x₀∈IR^m si definisce un intorno di x₀ un qualsiasi insieme aperto contenente x₀. Un intorno sferico è un punto particolare di X₀.

Ogni intorno di x₀ contiene un intorno sferico di x₀.

Teorema 3.3

Unione e intersezione di aperti danno aperti. L'unione e l'intersezione di chiusi danno chiusi.

Teorema 3.4

Sono C⊂IR^m si dice chiuso se è acro se vale la seguente "condizione":

Ogni successione l/x_n^n→∞⊂C ⊂C converge ad un costo limite x ∈IR^m se x ha &∈C

In altre parole, un insieme chiuso è un insieme che contiene i suoi limiti delle sue successive convergenti.

Definizione 3.20 (Forma Quadratica)

Una forma quadratica q(h), h∈ℝ^m si dice:

1. definita positiva (negativa), se ∀ h ≠ 0 q(h) >0 ( 0, q(h₂) < 0

q(h) è un polinomio omogeneo di 2° grado

nelle componenti dei h.

Si calcolano i segni sulle derivate

risp. ad punto altro

Teorema 3.18 (Segni delle F.Q in due variabili)

Corrispondente le equazioni differenziali corrispondenti devono forme

quadratiche :

1. def pos/neg ⟷ det >0 ( f_xx(x₀,y₀) > 0 punto min locale

       f_xx(x₀,y₀) < 0 punto max locale

   se det H_f(x₀,y₀) < 0 sella

   se det H_f(x₀,y₀) = 0 alcune più analisi necessare

   Proposizione 5.2

   Se g: [a,b] → R continuo, escono le ipotesi di g e il suo massimo e il suo minimo.

   Proposizione 5.3

   L’uscita di un numero finito ai numeri di misura nulla, sia le uscite misure.

   Corollario 5.5

   È borda di un insieme negato la misura nulla.

   Teorema 5.6

   Sia Ω ⊆ R un dominio regolare e f: Ω → R uniforme e continua, esce ai numeri di misura nulla ai punti di discontinuità. Esce, f è integrabile in Ω.

   Teorema 5.7 (di risoluzione, funzioni discontinue)

   Dato f: [a,b] x [a,d] → R uniforme e continuo, usano un insieme di misura nulla di punti di discontinuità. Dimostrare dopo dei fatti almeno simile dai teoremi 5.2.

   Teorema 5.8

   Siano Ω ⊆ R dominio c misurabile e f: Ω → R continua e uniforme, escono secondo le seguenti proprietà:

   1. Se Ω aperto∀ρ(*)>0 f(x,y)>>0, ∫_Ω∫ f(x,y) dxdy = 0 => f(x,y) = 0 in Ω∀il nodo circolare D⊂Ω si ha ∫_D∫ f(x,y) dxdy = 0

   2. Se Ω è connesso. Feneri un punto (x_o, y_o) ∈ Ω τ c(1/Ω) ∫_Ω∫ f(x,y) dxdy = f(x_o, y_o)