Definizioni e dimostrazioni

MINIMO DI UN SOTTOINSIEME DELLA RETTA

dato definiamo il minimo di , denotandolo con , come il numero reale tale

⊆

che:

● ∈

● ≤ , ∀ ∈

ESTREMO SUPERIORE

sia superiormente limitato, tale cioè che esista tale che per ogni .

⊂ ∈ ≥ ∈

Definiamo estremo superiore di come , come il numero reale , tale che:

● ≥ , ∀ ∈

● ∀ε > 0 ∈ : > − ε

ϵ ϵ

ESTREMO INFERIORE

sia inferiormente limitato, tale cioè che esista tale che per ogni .

⊂ ℎ ∈ ℎ ≤ ∈

Definiamo estremo superiore di come , come il numero reale , tale che:

● ≤ , ∀ ∈ _ _

● ∀ε > 0 ∈ : < + ε

ε ε

DISTANZA EUCLIDEA

attraverso il valore assoluto, definiamo la distanza euclidea come la lunghezza del segmento

che congiunge due punti sulla retta reale.

, ∈

1 2

( , ) = | − | = | − |

1 2 1 2 2 1

INTORNO COMPLETO DI UN PUNTO SULLA RETTA REALE

dati e , definiamo l’insieme dei numeri reali che

∈

0 0

distano da meno di , cioè

( ) = { ∈ : (, ) < }

0 0 0

INTORNO DESTRO +

dati e , definiamo , denotandolo con , come

∈ ( )

0 0 0

l’intervallo [ , + ]

0 0

INTORNO SINISTRO −

dati e , definiamo , denotandolo con ,

∈ ( )

0 0 0

come l’intervallo [ − , ]

0 0

INTORNO DI +∞

chiamiamo , denotandolo con ogni intervallo del tipo per

+ ∞ (+ ∞) (, + ∞)

un qualche > 0

INTORNO DI -∞

chiamiamo , denotandolo con ogni intervallo del tipo

− ∞ (− ∞) (− ∞, − )

per un qualche > 0

PUNTO INTERNO AD UN SOTTOINSIEME DELLA RETTA REALE

dato , il punto , si dice interno ad quando ed esiste tutto

⊆ ∈ ∈ ( )

0 0 0

contenuto in

PUNTO ESTERNO AD UN SOTTOINSIEME DELLA RETTA REALE

dato , il punto , si dice esterno ad quando ed ed esiste tutto

⊂ ∈ ∉ ( )

0 0 0

contenuto in , cioè esiste un intorno completo di che non interseca A

\

0

PUNTO DI FRONTIERA

dato , il punto , si dice punto di frontiera quando l’intorno completo di

⊂ ∈

0 0

interseca e contemporaneamente, quindi il punto non è né interno né esterno

\

0

PUNTO DI ACCUMULAZIONE

*

dato , l’elemento viene detto punto di accumulazione per , quando ogni suo

⊆ ∈

intorno completo contiene un elemento che appartiene ad e diverso da .

l'insieme dei punti di accumulazione per un sottoinsieme viene definito insieme derivato di

e lo denotiamo con

()

PUNTO ISOLATO

dato , il punto si dice isolato quando non è punto di accumulazione per ,

⊂ ∈

0 0

cioè quando esiste un intorno completo di che non contiene punti di diversi da

0 0

INSIEME APERTO

un insieme si dice aperto quando ogni suo punto è interno ad , ovvero ogni suo

⊆

punto ammette un intorno completo tutto contenuto in

INSIEME CHIUSO

un insieme si dice chiuso quando il suo complementare, ovvero , è un insieme

⊆ \

aperto

DEFINIZIONE UNITARIA DI LIMITE *

dati una funzione e punto di accumulazione per A, diciamo che il limite

: ⊆ → ∈

*

di è uguale ad per che tende a e scriveremo , se per ogni intorno

∈ lim () =

→

di L esiste un intorno di , tale che per ogni , vale che

∈ ∩ , ≠ () ∈

PRIMA DEFINIZIONE PARTICOLARE DI LIMITE

dati una funzione e punto di accumulazione per A, diciamo che il limite

: ⊆ → ∈

0

di è uguale a per che tende a e scriveremo , se per ogni

∈ lim () = ε > 0

0 →

0

esiste tale che se allora

δ > 0 ∈ ( − δ, + δ) ∩ , ≠ () ∈ ( − ε, + ε)

0 0 0

SECONDA DEFINIZIONE PARTICOLARE DI LIMITE

1. dati una funzione e punto di accumulazione per A, diciamo che

: ⊆ → ∈

0

il limite di è uguale a per che tende a e scriveremo , se

+ ∞ lim () =+ ∞

0 →

0

per ogni esiste tale che se allora

> 0 δ > 0 ∈ ( − δ, + δ) ∩ , ≠

0 0 0

() ∈ (, + ∞)

2. dati una funzione e punto di accumulazione per A, diciamo che

: ⊆ → ∈

0

il limite di è uguale a per che tende a e scriveremo , se

− ∞ lim () =− ∞

0 →

0

per ogni esiste tale che se allora

> 0 δ > 0 ∈ ( − δ, + δ) ∩ , ≠

0 0 0

() ∈ (− ∞, − )

TERZA DEFINIZIONE PARTICOLARE DI LIMITE

1. dati una funzione con illimitato superiormente, diremo che il limite è

: ⊆ →

uguale a per che tende a , scriveremo , se per ogni

∈ + ∞ lim () =

→

+∞

esiste tale che se allora

ε > 0 > 0 ∈ (, + ∞) ∩ , () ∈ ( − ε, + ε)

2. dati una funzione con illimitato inferiormente, diremo che il limite è

: ⊆ →

uguale a per che tende a , scriveremo , se per ogni

∈ − ∞ lim () =

→

−∞

esiste tale che se allora

ε > 0 > 0 ∈ (− ∞, − ) ∩ , () ∈ ( − ε, + ε)

ASINTOTO VERTICALE

dati una funzione e punto di accumulazione per A, diciamo che la

: ⊆ → ∈

0

funzione ammette asintoto verticale di equazione se

= lim () =± ∞

0 →

0

ASINTOTO ORIZZONTALE

dati una funzione con superiormente/inferiormente illimitato, diciamo che la

: ⊆ →

funzione ammette asintoto orizzontale di equazione se , con

= lim () = ∈

→

±∞

QUARTA DEFINIZIONE PARTICOLARE DI LIMITE

dati una funzione con illimitato superiormente/inferiormente, diremo che il

: ⊆ →

limite per che tende a è uguale a , e scriveremo se per ogni

± ∞ ± ∞ lim () =± ∞

→

±∞

esiste , tale che se allora (risp. )

> 0 > 0 ∈ (, + ∞) ∩ , () > () <−

LIMITE SINISTRO/DESTRO *

dati una funzione e punto di accumulazione per A, diciamo che

: ⊆ → ∈

ammette come:

∈

● limite destro per che tende a e scriveremo se per ogni

lim () = ε > 0

0 +

→

0

esiste tale che se allora

δ > 0 ∈ ( , + δ) ∩ () ∈ ( − ε, + ε)

0 0

● limite sinistro per che tende a e scriveremo se per ogni

lim () = ε > 0

0 −

→

0

esiste tale che se allora

δ > 0 ∈ ( − δ, ) ∩ () ∈ ( − ε, + ε)

0 0

LIMITE PER ECCESSO/DIFETTO

dati una funzione con illimitato superiormente, diciamo che ammette limite

: ⊆ →

per eccesso (risp. limite per difetto) uguale a per che tende a , e scriveremo

∈ + ∞

+ −

(risp. ) se per ogni esiste tale che se

lim () = lim () = ε > 0 > 0

→ →

+∞ +∞

, allora (risp.

∈ (, + ∞) ∩ () ∈ [, + ε) () ∈ ( − ε, ]

TEOREMA DEL CONFRONTO (PRIMA VERSIONE)

siano funzioni reali di variabile reale con punto di accumulazione per i loro

, , ℎ ∈

insiemi di definizione, se si verifica che:

● esiste un intorno di tale che per ogni , si ha

∈ , ≠ () < () < ℎ()

● lim () = lim ℎ() = ∈

→ →

allora lim () =

→

PRODOTTO TRA UNA FUNZIONE LIMITATA E UNA CON LIMITE NULLO

siano funzioni reali di variabile reale con punto di accumulazione per i loro insiemi

ℎ, ∈

di definizione, se si verificano le condizioni:

● lim ℎ() = 0

→

● esiste un intorno di su cui la funzione è limitata (sia superiormente che

inferiormente)

allora lim ℎ()() = 0

→

TEOREMA DEL CONFRONTO (SECONDA VERSIONE)

siano funzioni reali di variabile reale con punto di accumulazione