Teoremi e definizioni – Analisi II
Corso tenuto dal prof. Francesco Chiacchio
Appunti di Carmine Cesarano
Convergenza puntuale
Sia fm(x): I→ℝ una successione di funzioni. Def fm(x) converge puntualmente a f(x) in I se e solo se
limm→∞ fm(x) = f(x), cioè se
∀x ∈ I e ∀ε>0 ∃ν = ν(ε,x) ∈ ℕ : |fm(x) - f(x)| < ε ∀m>ν.
Fissato un ε>0, il numero ν(ε,x) dipende dal punto x.
Convergenza uniforme
Def fm(x) converge uniformemente in I verso f se e solo se
∀x ∈ I e ∀ε>0 ∃ν = ν(ε) ∈ ℕ : |fm(x) - f(x)| < ε ∀m>ν.
Se fissato un ε>0, il numero ν(ε) non dipende da x.
Th. condizione necessaria e sufficiente conv. uniforme
ϕm(x) → ϕ(x)
limm→∞ supx∈I |ϕm(x) - ϕ(x)| = 0
Dim (⇒) ∀ε>0 ∃ν=ν(ε)∈ℕ : supx∈I |ϕm(x) - ϕ(x)|.
Dim (⇐) ∀ε>0 ∃ν=ν(ε)∈ℕ : |ϕm(x) - ϕ(x)|.
Parliamo di sup perché ogni successione che converge è limitata (quindi c'è un sup) ma non possiamo necessariamente esporre un max perché manca la condizione di continuità. (Weaknesses?)
Ossservazioni
- Conv. uniforme in I → conv. puntuale in I ϕm(x) → ϕ(x)
- Se c'è conv. uniforme il limite coincide con il puntuale
Th. continuità del limite
φm(x) ∈ C⁰([a,b]) ∀n∈ℕ
φm(x) → φ(x) unif. in [a,b] allora φ(x) ∈ C⁰([a,b]).
Dim Devo dimostrare che φ(x) è continua → ∃ε₀ ∃δ₀ ∀x∈[a,b] |x-x₀|<δ → |φ(x)-φ(x₀)| ≤ |φ(x)-m(x)+m(x)-m(x₀)+m(x₀)-φ(x₀)| ≤ |φ(x)-m(x)| + |m(x)-m(x₀)| + |m(x₀)-φ(x₀)| ∀m
∀ε₀ ∃n: ∀x∈I |m(x) - φ(x)| < ε ∀x∈I
Scelgo n₀ ∈ℕ φ(x)-φ(x₀)| ≤ |φ(x)-m(x)| + |m(x) - m₀(x₀)| + |m₀(x₀) - φ(x₀)| <2ε + |m₀(x) - m₀(x₀)| < 3ε
Dalla continuità di m(x) ∀ε>ε₀ ∀x∈I |x-x₀|<δ uno |m₀(x) - m₀(x₀)| < ε
È possibile scambiare i limiti
limm→∞ limx→x₀ m(x) = limm→∞ m(x₀) = φ(x₀)
limx→x₀ limm→∞ m(x) = limx→x₀ φ(x) = φ(x₀)
Criterio di Cauchy per la conv.
{fm(x)} è di Cauchy se ∀ ε > 0 ∃ n : ∀ m,n > v ∀ x ∈ I |fm(x) - fn(x)|.
Th. → {fm(x)} converge uniformemente in I se e solo se {fm} è di Cauchy.
Dimostrazione
- fm(x) → f(x)
- ∀ ε > 0 ∃ n : ∀ m > n |fm(x) - f(x)|
|fm(x) - fn(x)| ≤ |fm(x) - f(x)| + |f(x) - fn(x)| v con ε
Conv. unif. → {fm(x)} è di Cauchy
- {fm} di Cauchy
∀ ε > 0 ∃ n : ∀ m,n > v
|fm(x) - fn(x)|. Se scelgo x ∈ I, {fm(x)} è una successione numerica di Cauchy.
|fm(x) - f(x)| = |fm(x) - f(x)| ≤ ε ∀ x ∈ I
∀ ε > 0 ∃ n : ∀ m
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