Teoremi e Definizioni Analisi 2

Teoremi e Definizioni – Analisi II

Corso tenuto dal prof. Francesco Chiacchio

Appunti di Carmine Cesarano

Convergenza Puntuale

Sia \( f_m(x) : I \to \mathbb{R} \) una successione di funzioni.

Def \( f_m(x) \) converge puntualmente a \( f(x) \) in \( I \) se e solo se

\[ \lim_{m \to \infty} f_m(x) = f(x) \]

cioè \(\forall x \in I\) e \(\forall \varepsilon > 0\) \(\exists v = v(\varepsilon, x) \in \mathbb{N}\) :

\[ |f_m(x) - f(x)| < \varepsilon \quad \forall m > v \]

Fissato un \(\varepsilon > 0\), il numero \( v (\varepsilon, x) \) dipende dal punto \( x \).

Convergenza Uniforme

Def \( f_m(x) \) converge uniformemente in \( I \) verso \( f \) se e solo se

\(\forall x \in I\) e \(\forall \varepsilon > 0\) \(\exists v (\varepsilon) \in \mathbb{N}\) :

\[ |f_m(x) - f(x)| < \varepsilon \quad \forall m > v \]

Se fissato un \(\varepsilon > 0\), il numero \( v (\varepsilon) \) non dipende da \( x \).

TH PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO INTEGRALE

Ipotesi 1:

\(\varphi_m(x) \in C^0([a,b])\)

Ipotesi 2:

\(\varphi_m(x) \to \varphi(x)\)

(converge uniformemente in \([a,b]\))

Allora

\(\lim_{m \to \infty} \int_a^b \varphi_m(x) \, dx = \int_a^b \varphi(x) \, dx\)

Dimostrazione:

\(\left| \int_a^b \varphi_m(x) \, dx - \int_a^b \varphi(x) \, dx \right| \leq \int_a^b \left| \varphi_m(x) - \varphi(x) \right| \, dx \leq\)

\((b-a) \max_{x \in [a,b]} \left| \varphi_m(x) - \varphi(x) \right|\)

\(\rightarrow \lim_{m \to \infty} \left| \int_a^b \varphi_m(x) \, dx - \int_a^b \varphi(x) \, dx \right| \leq \lim_{m \to \infty} (b-a) \max_{x \in [a,b]} \left| \varphi_m(x) - \varphi(x) \right| = 0\)

\(\rightarrow \lim_{m \to \infty} \int_a^b \varphi_m(x) \, dx = \int_a^b \varphi(x) \, dx\)

Tesi _{\text{lim uniforme} \, \varphi \text{ ad } \varphi(x)}

TH DI SCHWARZ

Se f è derivabile 2 m a aperto e f_xy, f_yx (deriv. miste)

sono continue allora f_xy = f_yx

Condizioni sufficienti

A aperto di IR², f ∈ C²(A; IR), (x₀, y₀) ∈ A

∇f(x₀, y₀) = 0

f_xx(x₀, y₀) > 0 , f_yy(x₀, y₀) < 0 , H^f(x₀, y₀) > 0

H^f(x₀, y₀) = f_xx(x₀, y₀) f_yy(x₀, y₀) - f_xy(x₀, y₀) > 0

• f_xx(x₀, y₀) f_yy(x₀, y₀) > f_xy²(x₀, y₀) ≥ 0
• f_xx(x₀, y₀) f_yy(x₀, y₀) > 0

Dim

0 < f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀)

Dimostrare che: ∃ I δ(0,0) : f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀) ≥ 0

0 < f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀) = 1/2 [ f_xx(x₀, y₀)h² + 2f_xy(x₀, y₀)hk + f_yy(x₀, y₀)k² ]

φ(t) = f_xx(x₀, y₀)t² + 2f_xy(x₀, y₀)t + f_yy(x₀, y₀) ≥ 0 ∀ t ∈ IR

f_xx(x₀, y₀) > 0

Δ/4 f_xy² - f_xx(x₀, y₀)f_yy (x₀, y₀) = -H^f(x₀, y₀) ≥ 0

[t = h/k]

→ f_xxh²/k² + 2φ_xyh/k + φ_yy > 0 ∀ h ∈ IR ∀ k ∈ IR \ {0}

→ - f_xxh² + 2φ_xyhk + φ_yyk² > 0 ∀ (h, k) ∈ IR² \ {0,0}

TOPOLOGIA IN R^m

INTORNO DI UN PUNTO

R^m ∋ x̃ = (x₁, x₂, ..., x_m)

I_δ(x̃) = {x ∈ R^m | ||x - x̃|| < δ}

Sia Ω ⊂ R^m

PUNTI INTERNI

x̃ ∈ Ă ⇔ ∃ δ > 0 I_δ(x̃) ⊂ Ω

(intorno p.ti interni a Ω)

PUNTI ESTERNI

x̃ ∈ ext Ω ⇔ x̃ ∈ nt. a R^m - Ω

P.TI DI FRONTIERA

x̃ ∈ ∂Ω ⇔ x̃ non è né nt. né ext.

P.TI DI ACCUMULAZIONE

x̃ ∈ è di acc. per Ω ⇔ ∀ δ > 0 [Ω ∩ I_δ(x̃)]\{x̃} ≠ Ø

P.TO ISOLATO

x̃ ∈ Ω non è di accumulazione per Ω

TH DI LAGRANGE

f: R^m→R differenziabile su un aperto U⊆R^m

x,y∈U tali che segmento congiungente [x,y] =E

E:= {x + t(y-x), t∈[0,1]}⊆U

g(t) = f(x + t(y-x)) con t∈[0,1]

• funzione costante
• continua e differenziabile

g: [0,1]→R posso applicare Th. Lagrange nel caso multidims.

- per w Th. ∃c∈(0,1) t.c.

g'(s) = < ∇f(x+s(y-x)), (y-x) >

• ponendo z:= x+s(y-x)
• g'(s) = < ∇f(z), (y-x) > - e z∈E

g(1) - g(0) = f(y) - f(x)

Ricampiondo la tesi di Lagrange (multidim.)

f(y) - f(x) = < ∇f(z), (y-x) > TESI

Lunghezza di una Curva

φ ∈ C⁰ [a,b]; ℝ²

L(CP) = ∑_i=1^m x(t_i)

L(CP) = ∫_a^b [ (x(t_i) - x(t_i-1))² + (y(t_i) - y(t_i-1))² ]

Sup L(CP) ρ∈Π

Th di rettificabilitá (s.d)

φ ∈ C¹ ( [a,b]; ℝ² )

L(φ) = ∫_a^b [ x'²(t) + y'²(t) ]^½ dt < +∞

Integrale Doppio

α(x), β(x) ∈ C⁰([a,b]; ℝ)

def dominio normale rispetto all'asse x

D = { (x,y) ∈ [a,b] x ℝ : α(x) ≤ y ≤ β(x) }

misura di D

m(D) = ∫_a^b [ β(x) - α(x) ] dx

h(y), δ(y) ∈ C⁰([c,d],ℝ)

def dominio normale rispetto all'asse y

D = { (x,y) ∈ ℝ x [c,d] : h(y) ≤ x ≤ δ(y) }

misura di D

m(D) = ∫_c^d [ δ(y) - h(y) ] dy

Partizione

Sia D un dominio normale ad esempio rispetto a x

una partizione di D in m domini normali risp a x

ρ = { D₁, D₂, ..., Dₘ }

Di normali

Dᵢ ∩ Dⱼ = ∅ ∀ i ≠ j

⋃_i=1^m Dᵢ = D

Prop -> m(D) = ∑_m=1^m m(Dᵢ)