Definizioni e Teoremi Analisi 2

Algebra 1 - Dipendenze lineari

Insieme aperto ⇒ B_ε(x) ∃ y ∈ B_εⁿ ||x-y|| < ε

Insieme ⇒ ∃ B_εx ∃ x^κ B_ε (r) ∈ E &Opaque; nel suo interno

Punto interno ∈ E (x) ⇒ B_ε(x) &supsetne; E

Punto estremo x ∈ E ⇔ x ∈ confine ‘extremo ed E é interno di complemento E^C &inter; E

Punto di accumulazione ⇒ x ∈ int^x_n ∈ per E se ∀ B_ε(x) ∃ x_i ∉ E

Punto isolato x ∈ E / ∀ B_ε (x) ≡ B_ε &supsetne; int

Chiusura di un insieme ⇒ La chiusura di E é l’insieme E = E + elementi isolati di E Ó E

Insieme aperto ⇔ se un insieme é chiuso significa che contiene propio se stesso

Punto di accumulazione x ∈ e se x ≡ E_E E_E ≡ E^C ⇒ x ⁿ xⁱ ⇒ xⁱ≠ yⁱ (∃ B_ε)

Insieme chiuso se E caratteristica del suo insieme chiuso se coincide con l'insieme di aderenza

Definizione limite D non un B_ε(x) punto accumulazione ⇒ ∀ y

Theorema di conservia Weierstrass E &subsetne; Bⁿ(f) &hyperR; elemento e il limite D É f

Limite di una funzione → lim(x) = C ⇔ ∀ intorno di

Caso particolare: ∀ x_o ∈ ℝ^m ⇒ U = B_ε(ℝ), V = B_δ(ℝ) con ε, δ > 0

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | x ∈ D ⇒ ‖x - x_o‖ < δ ⇒ ‖f(x) - l‖ < ε

Proprietà di (sim (I)): (i) lim_x→xo f(x) ∈ ℱ (sim) ⇒ lim_x→xo f_j(x) = l_j ∀ j = 1, 2, ..., n

(ii) (sim limite) √<< univoco

(iii) lim_x→xo [g(x) ± α(x)] (somma) t lim_x→xo g(x)

(iv) lim_x→xo [g(x)·h(x)] = [lim_x→xo g(x)] [lim_x→xo h(x)] (val. se non esistono forme indet. △/□, 0·∞, ∞/0, ∞◊0)

(v) lim_x→xo [g(x)/h(x)] = lim_... (val. se non ci sono forme indet. △/□, 0/0, ∞/∞)

(vi) lim_x→xo D C l^m, l R^m, D C l^m, (lim_x→xo y(x) = y_o , lim_y→yo f(y) = l

⇒ lim_x→xo f(g(x)) = l

Limite di successione ⇒ Se x∑x (sum x) (K∈Λ) una successione si stenne

lim_k→∞ x_k ∈ ℝ^m ∀ x∑ ∃ ε > 0 ∀ U intorno di x∑ K_ε ∈ ℕ | k > e_o ⇒ x_k ∉ U

Se L ∈ ℝ^m, lim_k→∞ x_k = L ⇔ ∀ ε> 0 Ǝ k ∈ ℕ [k > k_ε ⇒ ‖x_k - L‖ < ε

Teorema punto ⇒ ℱ: D C ℝ^m→ℝ , x_o ∈ D Q I (ℝ^m Q ε > 0}

lim_x→xo f(x) = L ⇒ ∀ x∑⍺ K,N C D | (lim_k→∞ x_n = x_o ¬ (lim_k→∞ f(x)) = L

Curva parametrica ⇒ una curva presentata in a ℝⁿ ≡ f una funzione continua

γ: I ⊂ ℝ → ℝⁿ f ⊆ una funzione che ad una in teta essuata e un metodo

Sostegno di una curva— l supporto di γ e l’insieme che fa essere

|γ| dei punti y(t) ∈ ℝ tale che ∃ t ∈ I ⇒ |γ| = ∑{x∈ℝ t ∈ I} ∃ c ℝⁿ

Vettore tangente ad una curva ⇒ Sie γ: I C ℝ → ℝⁿ una curva

Se ∃ γ’(t) := lim h→0 γ(t+h) - γ(t) h , {γ’₁(t), γ’₂(t), .., γ’_n(t)}

Se γ e d ≠ dimesso da zerco, allora γ’(t) si definisce il vettore tangente a γ in y(t) (γ(t) è un punto)

Limite di due curva in un punto in comune ⇒ lim_x→xo f(x) f(x) e f(x)

Lo vari curve passatti per x∑ e t∑ ⇐ | | , allora (con x ∈ | f(x)| con x ∈ f(x)

Conseguente al teorema punto: ∃ t ∃ x 3 ⊂ |y| x ≠ x∑ | x_n ≠ x_o

Allora (lim_k→∞ y_k) ≠ f x ∑ γ ⥼3 lim_k→∞ y_k ≠ x

Teorema punto

Teorema di Schwarz

Sia _D ⊂ _R^m → _R aperto, _x0 ∈ _D,

d differentiabile in _x0, quindi:

• ∫ _xi ∫ _xk (x₀) = ∫ _xk ∫ _xi (x₀)

∀s, i, j = 1, …, m

Differenziabilità per matrici

Sia _D ⊂ _Rⁿ → _R, _D aperto, _x0 ∈ _D, allora _y si:

• Dice duna matr. differenziabile _x0 sse esistono ne intorno a tutte le derivate parziali;
• Esiste ^lim_x→x0 (x − x₀)

Motore Hessiano

Sia _g una funzione d differenziabile due volte in _x0. Si definisce la matrice Hessiana _df₀(x)

• _d²f(x₀) = ∫ _x1∫ _x1 (x₀)

Relazione tra l'Hessiano e il determinante distribuzione

∇W _df(x₀)

Formula di Taylor del II ordine

Sia ∫ _D ⊂ _Rⁿ → _R, 2 volte differenziabile in _x0,

• (i) f(x) = T(2)(x₁) = f(x₀) + ∇f(x₁, x − x₀) + Σ Σ (x_i, x−x_i)
• (ii) T(2) è un polinomio di grado 2
• (iii) Supponiamo che ∇

Formula di Taylor del I ordine

Sia _D ⊂ _R^m → _R, _D aperto, x₀ ∈ _D, n volte differenziabile in _x0. Diciamo polinomio sii Taylor di x in x

f_{x1 ... xn}(_x0) [x₁, x₂(x₀)(1!1_x, x_n)

• ∫ ²(f(x_i, x_j, x_k)
• f(y, g, y′) = {x_i, x_j, x_k}
• Taylor { { (x − x₀)(y, x₀)

∀s (a₁, b ₂ (x₁)), ..., ∃ u, m n nell'orte consentre coincidente => dell'os N_s, T, S un

U_sapp (dimensione tra spazia pagante e spazio normale) - T_X = (N_X, Γ_s), sЄN degli' V (∇s₃, - ) verso

∀s l=x, __, m=__ (lo spazio pergunte lН fin de siguarda dell'inizgando dello spazio

dimuito )

Teorema del Multiplicatore di Lagrangin (caso generale) => Siamo D : C _n R ^m

Con una di classe E ⁸ C (◊) , xЄ D, E₂ (D(β)_n) C⊂

per j considerato : R un punto singolare che ndollo x, x, t e D parte consrente

∀∇⊄ (∃ x, ) ш ∃ y , ∃ l - ∇g(x)=0 | Combinazione lineare, un multipleciatore per k coeffiziente σ, σ, x |∃,∃k, ∃,∃,i b,

a accupazio R (multiplicative integral mixer ponfermiresno sta gente costruzendo + all'iniso + lim m R

Teorema - immersi... locei e generalizazation, scoprs nonsicatti della funlisean anche

D _{його exitе} , j: D ⊂ C ⁿ , B ^{m one di classe C h , x _o Є D rold и the dell’ ∫ _{( J g(x, j ))) S: ∫ (}}

Allora ∃U⊂C ^{R m intorno of x₀ hold che ∫ _{V J J < sup ) = , (J) ∫}}

( admissione lo ∫), U: V → U ∫ consider lик i expansion the пройдет të U|U ^{| √}

Differenzialigassimo => Un aggi[го... sicurez ell/ne ( casne m) Un aggi[го noe || un’altro возможноеп un для смипо п )

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