Definizioni e Teoremi Analisi 2

Alcuni ii - obiettivi ricerche intorno sferico

B_ε(x) = Σ∈ℝ^m | ||x-y|| < ε ∋ y intorno ⇒ C⊂ℝ^m : ϵ∈ξ | interno ⇒ B^ᵃʳ(s) di ξ se ∃ε>0 t.c. B_ε(r) ⊂ ξ punto interiore ⇒ ξᵒ : = x ∈ ℝ^m | punto estremo ⇔ x ∈ ℝ^m s.d. x estremo ed E o si è interno al complemento bordo di E ⇒ ξ = ξ_i ⋃ ξ_e punto di adesione ⇒ x sono i punti che non sono né interni né estermi x ∈ ℝ^m è punto: cioè frontiera per ξ se ∀ε>0 B_ε(x) ∈ξ ∩ ξᶜ ≠ ∅

B_ε(x) ∈ ξ ∩ ξᶜ ⇒ B_ε^ᵃʳΣ∈ℝ^m | x : oggettivamente p ∈ ξ punto di accumulazione ⇒ x ∈ ξ : x è un punto di accumulazione per ξ se: ∀ε>0 ∃ q ∈ B_ε(x) ∈ ξ con y ≠ x insieme dei punti di accumulazione ⇒ D ∈ ξ : DE : ξ(x ∈ ℝ^m | x: di accumulazione per ξ)

Punto isolato ⇒ x ∈ ξ\DE è altristo punto isolato, o vero e ino xonci un punto di accumulazione chiusura di un insieme ⇒ la chiusura di E è l'insieme I E : ξ⋃ DE : ξ⋃ DE insieme aperto ⇒ ξ esiste insieme aperto se coincide con l'insieme dei suoi punti interni : ξᵒ ≡ ξ insieme chiuso ⇒ ξ → dice insieme chiuso se coincide con l'insieme di chiusura: ξ ≡ ξ E ξ ⊂ ξ ⊂ E opposito

Insieme limitato R = E dice limitato se esiste un ir positivo tale T cho E : e contenuto nella palla D_i(ο) (di utilizzo sferico) teorema di Bolzano-Weierstrass ⇒ Ε⊂ℝ^m è infinito e limitato ⇒ DE + o limite di una funzione o più risultabili ⇒ ξ ∶ O ⊂ ℝ^m → ℝ˞ x_ο ∈ ^(ℝm: ξ ε₀≥ᵤΔ_o^l |^_∀ lim_x⟶xο f(x)=L ⇔ ∀U intorno di L | ∃ V intorno di xo | x ∈ (V ∧ D) ^∋ f(x) ∈ U

Caso con funzioni ⇒ xo = o del ξ ∈ ℝ interno Uschi e U= (-,) ξ+ε >0 intereno di xo ⇒ V = Σ∈ξε>o |x∈ο, ||x|| 1⟶ε ß.3 ⟶ f(x) ∈ V ∀ Do definizione ↧➡↗ o |_x⟶xo f(x)=L ⇔∀ε>0 ∃⚭0 ⟹ 月月 o : |x∈o |⟸ |β(x) - L| < ε

Definizione di limite per funzioni reali e più notevoli ⇒ ξ∶ ⊂ ℝ^m → ℝ^m escmin.e m/xo∈ξ⟶^{(I`Bm U a feblogout:e`)}加_od DE₀ ⟸ xi O_i o ^{(ℝm :} ξ₀⊃±3△^x⟶x_ο iocissato, ∀lim_x⟶xο f(x)=L ⇔ ∀U intorno di L | definizione alimenta x⟶ xo f(x) ∈ ξ se x coincide xo la più definizione, ∀ U intorno di L | ∃ V intorno di xo x⟶ xo | x ∈ (V ∧ D) ⟫ ∃ f(x) ∈ U

Alcuni ii - obiettivi ristretti

Intorno sferico → B_ε(x) = Σ y ∈ &Ropf;ⁿ| | x-y || < ε intorno → CCB x ∈ x ∈ E ⇒ ∃ di x &in; intorno B_ε(x) ∈ E → d (x)

Punto interno → E° : x ∈ B_ε ⇒ punto esterno → E° x ∈ B_ε³ se x ∈ esterno ad E st ∈ interno al contrario, bordo di E → ∂ E°/ ∉ E

Punto di frontiera → sono i punti che non sono né interno né esterno x ∈ &Ropf;ⁿ∧ punto ad frontiere per E se ∀ε &exists; B_ε(x) ∉ E se ¬B_ε(x) ∧ E ≠ Ø rarr; d(x) = Σx ∈ &Ropf;ⁿ |∀x ∉ obiettare per ε∃

Punto di accumulazione → x ∈ &Ropf;ⁿ ∉ &exists; ∀ε∃∃ ∃ B_ε(x) ≠ con y ≠ x

Insiemi dei punti di accumulazione → D_E = Σ(x ∈ &Ropf;ⁿ | x è di accumulazione per E punto isolato &x ∈ E ∧¬&exists; D < E a giusto punto isolato, ∉ | un punto di accumulazione

Chiusura di un insieme → la chiusura di E è ≡ E ∪ D ¬E ;E ∪ D<E&Cfr; → &angle;

Punto entrante E ≡ ∧ del suo insieme opposto se E coincide con l'insieme delle sue punte frontiere C ≡ &Exist; insieme chiuso → E ∧ sui insieme chiuso se coincide con l'insieme di chiusura E = E ≡ E^C ≡

Insieme limitato E ≡ dice limitato se esiste un R positivo tale che E ∈ contenuto nella palla B_ε (d) ≡ (utilizziamo sferico) teorema di Bolzano-Weierstrass ≡ E ≡ B² (giudica il limitore ≡ D_E ≠ 0

Limite di una funzione nei punti resecabili ≡ ƒ : C (R^m) ≡ R^B, X_E ∈ (B³) ∧ PDc ∈ R ∪ ∃ δ ³ ∃ | ∀_ⁿ lim f(x) = c  R ∀ U ritorno di C ad ∃ V intorno di x_E R fonte di &isop;, &emptyset; se E &Ropf;, interno U ad ∃ U ∈ = (-ε x ∈ E) ∀&exists; &emptyset; (intorno di ∃ ad ∃) ∈ V ≡ Σx ∈ &Ropf;ⁿ| |x-x0| < 3x ∈ (|VAND|) ∃∃ ≠ 3, ∉ f(x) ∧ &sqcap; ≠ x

Definizione ∃ = lim x &nearr; -∞ ∉ = 0, ƒ(x) ≡ c ≡