Definizioni e Teoremi Analisi 2

Alcuni II - Obiettivi Ricerche

Intorno sferico ⇒ B_ε(x) = Σ∈ℝ^m| ||x-y||<ε∋y

Intorno ⇒ C⊂ℝ^m : ϵ∈ξ | interno ⇒

B^ᵃʳ(s) di ξ se ∃ε>0 t.c. B_ε(r) ⊂ ξ

Punto interiore ⇒ ξᵒ : = x∈ℝ^m |

Punto esremo ⇔ x∈ℝ^m s.d. x esremo ed E o si e interno al complemento

bordo di E ⇒ ξ = ξ_i⋃ξ_e

Punto di adesione ⇒ x sono i punti che non sono né interni né estermi

x∈ℝ^m è punto:

cioè frontiera per ξ se ∀ε>0 B_ε(x) ∈ξ ∩ ξᶜ ≠ ∅

B_ε(x)∈ξ∩ξᶜ ⇒ B_ε^ᵃʳΣ∈ℝ^m| x : ogettivamente p∈ξ

Punto di accumulazione ⇒ x∈ξ : x è un punto di accumulazione per ξ se:

∀ε>o ∃ q∈B_ε(x)∈ξ con y ≠ x

insieme dei punti di accumulazione ⇒ D∈ξ :

DE : ξ(x∈ℝ^m | x: di accumulazione per ξ)

Punto isolato ⇒ x∈ξ\DE è altristo punto isisdato, o vereino xonci un punto

di accumulazione

Chiusura di un insieme ⇒ La chiusura ed E et l'insieme I E : ξ⋃ DE : ξ⋃ DEInsieme aperto ⇒ ξ esiste insieme apesto se coincida con l'insieme dei sui

punto interno : ξᵒ ≡ ξ

Insieme chisuso ⇒ ξ → diee insieme chinuso se coincide con l'insieme di chisura:

ξ ≡ ξ E ξ ⊂ ξ ⊂ E opposito

Insieme limitato R = E dice firmato se esiste un ir positivo tale T cho E : e

Contenuto nella palla D_i(ο) ( di utilizzo spelelce)

Teorema de Bolzano Weiebstrass ⇒ Ε⊂ℝ^m e infinito e le limitaro ⇒ DE + o

Limite de una funzione o piu resultebili ⇒ ξ∶O⊂ℝ^m→ℝ˞ x_ο∈^(ℝm:

ξε₀≥ᵤ

Δ_o^l |^_∀

lim_x⟶xο f(x)=L ⇔ ∀U intorno di L | ∃ V intorno

di xo | x∈ (V∧D) ^∋f(x)∈ U

Caso cofun con ⇒ xo = o del ξ ∈ ℝ interno Uschi e U= (-,) ξ+ε >0

intereno di xo ⇒ V = Σ∈ξ

ε>o |x∈ο, ||x|| 1⟵ε ß.3 ⟶f(x)∈V

∀Do

Definizione↧➡↗o |_x⟶xo f(x)=L ⇔∀ε>o ∃⚭0 ⟹ 月月 o : |x∈o |

⟸ |β(x) - L| < ε

Definizione di limmite per funzioni real mabio e più notevole ⇒ ξ∶ ⊂ ℝ^m→ ℝ^m esc

min.e m/xo∈ξ⟶^{(I`Bm U a feblogout:e`)}加_od DE₀ ⟸ xi O_i o ^{(ℝm :}

ξ₀⊃±3△^x⟶x_ο iocissato, ∀

lim_x⟶xο f(x)=L ⇔ ∀U intorno di L |

definizione alimenta

x⟶xo

f(x)∈ξ se x coincide xo la più definizione, ∀U intorno di L| ∃ V intorno di xo

x⟶xo | x∈ (V∧D) ⟫ ∃ f(x)∈ U

Alcuni II - Obiettivi ristretti

Intorno sferico → B_ε(x) = Σ y ∈ ℝⁿ| | x-y || < ε

Intorno → CCB x ∈ x ∈ E ⇒ ∃ di x ∈ intorno

B_ε(x) ∈ E → d (x)

Punto interno → E° : x ∈ B_ε ⇒

Punto esterno → E° x ∈ B_ε³ se x ∈ esterno ad E st ∈ interno al contrario,

bordo di E → ∂ E°/ ∉ E

Punto di frontiera → sono i punti che non sono ne' interno ne' esterno

x ∈ ℝⁿ∧ punto ad frontiere per E se ∀ε &exists; B_ε(x) ∉ E se ¬

B_ε(x) ∧ E ≠ Ø rarr; d(x) = Σx ∈ ℝⁿ |∀x ∉ obiettare per ε∃

Punto di accumulazione → x ∈ ℝⁿ ∉ &exists; ∀ε

∃∃ ∃ B_ε(x) ≠ con y ≠ x

Insiemi dei punti di accumulazione →

D _E = Σ(x ∈ ℝⁿ | x è di accumulazione per E

Punto isolato &x ∈ E ∧¬&exists; D < E a giustro punto isolato, ∉ | un punto di accumulazione

Chiusura di un insieme → La chiusura di E E ≡ E ∪ D ¬E ;E ∪ D<E

ℭ → ∠

Punto entrante E ≡ ∧ del suo insieme opposto se E coincide con l'insieme delle sue punte frontiere C ≡ &Exist;

Insieme chiuso → E ∧ sui inesome chiuso se coincide con l'insieme di chiusura

E = E ≡ E^C ≡

Insieme limitato E ≡ dice limitato se esiste un R positivo tale che E ∈

Contimento nella palla B_ε (d) ≡ (utilizziamo sferico)

Teorema de Bolaño-Weistrass ≡ E ≡ B² (giuidica il limitore ≡ D _E ≠ 0

Limite di una funzione nei punti resecabili ≡ ƒ : C (R^m) ≡ R^B, X_E ∈ (B³)∧ PD

c ∈ R ∪ ∃ δ ³ ∃ | ∀_ⁿ lim f(x) = c  R ∀ U ritorno di C ad ∃ V intorno di x_E

R

Fonte di &isop;, ∅ se E ℝ, interno U ad ∃ U ∈ = (-ε x ∈ E) ∀&exists; ∅

(intorno di ∃ ad ∃) ∈ V ≡ Σx ∈ ℝⁿ| |x-x0| < 3

x ∈ ( |VAND| )∃∃ ≠ 3, ∉ f(x) ∧ ⊓ ≠ x

Definizione ∃= lim x↗-∞ ∉ = 0, ƒ(x) ≡c ≡