Definizioni e dimostrazioni funzioni, limiti, continuità e calcolo integrale

LIMITI DI FUNZIONI

• ∈ ℝ

Punto di accumulazione: sia C punto di accumulazione per f: ed esiste un intervallo I contenente c

( − , + ) > 0 ∀ ∈

(dalla forma con opportuno) tc f è definita tranne eventualmente in c.

• Definizione successionale di limite: sia f una funzione e c un punto di accumulazione per f, se per ogni

{ } {+∞,

)

= ( = ∈ ∪ −∞}

successione tc si ha che con allora si dice che il

→+∞ →+∞

() = .

limite per x che tende a c di f(x) è l e si scrive: →

o () = 0 →

Se f è tale che si dice che f è infinitesima per

→

o () = ±∞ → .

Se f è tale che si dice che f è infinita per

→

• {+∞,

∈ , ∈ −∞}.

Limite è finito se limite è infinito se {+∞,

∈ , ∈ −∞}.

Limite è al finito se limite è all’infinito se

• { }

→ =

Limite per eccesso: f tende a l per eccesso per se per ogni successione tc si ha

→+∞

) ) )

( → +∞ ( = ( ≥ .

che tende a l per eccesso per ossia che e definitivamente

→+∞

)

( ≤ .

Limite per difetto se definitivamente

• { }

() = () →

Limiti destri: sia si dice che tende a per da destra se per ogni successione

→

+ )

= ( = .

tc si ha

→+∞ → −

=

Limite da sinistra:

→+∞

• Asintoti:

o +∞,

Asintoto orizzontale: f una funzione definita in un intorno di si dice che f ha un asintoto

= → +∞

orizzontale di equazione per se

() = con l finito.

→+∞

o = +

Asintoto obliquo: f ha asintoto obliquo di equazione se

[() − − ] = 0

→+∞

o ∈ ℝ =

Asintoto verticale: sia di accumulazione per f, allora si dice che la retta verticale è

asintoto verticale se: () = ±∞

→

• : → ℝ ∈

Funzione continua: sia con I intervallo e si dice che f è continua in c sse:

() = ()

→

• ∈ ℝ

Intorno: se si chiama intorno di un intervallo aperto che contiene

0 0 0

• →

Una funzione f(x) possiede una certa proprietà definitivamente per se esiste un intorno I di tc

0 0

∀ ∈ , () ha tale proprietà.

• {+∞,

∈ ℝ ∪ −∞} →

Definizione topologica di limite: sia e f definita definitivamente per si dice che

() = ∀ ∈ ≠

se per ogni intorno di l esiste un intorno di c tale che

→

ℎ ℎ () ∈ .

CALCOLO DIFFERENZIALE )

( +ℎ)−(

• 0 0

Rapporto incrementale: la frazione .

ℎ

)

( +ℎ)−(

• 0 0

ℎ → 0

Derivata: . È il limite per del rapporto incrementale e rappresenta la pendenza

ℎ

ℎ→0 )).

( , (

della retta tangente al grafico di in 0 0

• (, (,

: ) → ℝ ∈ ),

Derivabile: sia e sia si dice derivabile in se esiste ed è finito li limite del

0 0

rapporto incrementale nel punto .

0

• Punti di non derivabilità: ) )

(+ℎ)−( (+ℎ)−(

0 0

o ≠

Punto angoloso: (i limiti sono diversi).

ℎ ℎ

− +

ℎ→0 ℎ→0

o Flesso verticale: )

(+ℎ)−(

▪ 0

= +∞

Ascendente: ℎ

−

ℎ→0 )

(+ℎ)−(

▪ 0

= −∞

Discendente: ℎ

−

ℎ→0

o Cuspide: )

( +ℎ)−(

▪ 0 0

= ±∞

Discendente: ℎ

±

ℎ→0 )

( +ℎ)−(

▪ 0 0

= ∓∞

Ascendente: ℎ

±

ℎ→0

• [, [,

: ] → ℝ ]

Massimo assoluto: sia un punto si dice di massimo assoluto (o globale) per se

0

[, ).

∀ ∈ ] ℎ () ≤ (

0

[, [,

: ] → ℝ ]

Minimo assoluto: sia un punto si dice di massimo assoluto (o globale) per se

0

[, ).

∀ ∈ ] ℎ () ≥ (

0

• ) )

(() > ( () < ( )

Massimo locale: se le due proprietà valgono solo in un intorno di

0 0 0

(

∀ ∈ − , + ) > 0)

(cioè valgono allora è punto di min o massimo locale.

0 0 0

• Punto estremante: punto di minimo o massimo, locale o globale.

• ′ ( )

= 0

Punti stazionari: sia f una funzione derivabile i punti , nel dominio di f, tc si chiamano punti

0 0

stazionari.

• [, (,

: ) ∪ ]. () ()

Sia f una funzione definita in Se esistono finiti e e sono uguali allora

− +

→ →

̅: [,

] → ℝ

si può definire una funzione tc:

Digitare l'equazione qui.

Dimostrazioni

martedì 28 dicembre 2021 11:20 Teoria Pagina 1

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