Analisi 1 - definizioni e teoremi con dimostrazioni

Appunti di Analisi 1 su:
- Limiti: algebra dei limiti (dimostrazione della somma), teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, limiti notevoli.
- Funzioni: teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema della somma del limite, teorema della continuità delle funzioni derivabili, derivate elementari, derivate della somma, derivazione del reciproco, derivata della funzione arcoseno, teorema di Fermat, teorema del valor medio (Lagrange), criterio di monotonia, formula di Taylor, positività e monotonia di un integrale, teorema della media, teorema del calcolo integrale, teorema radice n-esime di un numero reale, teorema radici complesse, teorema fondamentale dell'algebra, funzioni reali a variabile reale, funzioni limitate, funzioni pari e dispari, funzioni dispari, funzioni monotone, funzione esponenziale e logaritmica, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche, funzioni composte, funzioni invertibili, relazione tra monotonia e invertibilità, funzioni goniometriche inverse, funzioni iperboliche inverse, gerarchia degli infiniti, criterio del rapporto, definizione successionale di limite, definizione topologica di limite, unicità del limite, funzione continua in un punto, continuità, principio di sostituzione degli infinitesimi, teorema funzioni monotone, teorema di Weierstrass, teorema della continuità di una composta, teorema continuità invertibilità, funzione derivabile, derivabilità, derivazione funzione inversa, punti di massimo e minimo, caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla, teorema di de l'Hopital, integrabilità secondo Riemann, proprietà dell'integrale, definizione di primitiva, integrali generalizzati, criteri di derivabilità, criterio del confronto, confronto asintotico, intervalli illimitati, le serie in generale, condizione necessaria per la convergenza della serie, serie di Mengoli, serie geometrica, serie a termine non negativi, criterio confronto, criterio confronto asintotico, criterio radice, criterio del rapporto, criterio integrale, criterio di Leibniz, serie di Taylor.

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Vessella Sergio

Università Università degli Studi di Firenze

Publisher caterinafdifanti

A.A. 2021-2022

30 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

TEOREMI ANALISI I

IRRAZIONALITÀ DELLA RADICE DI 2

enunciato: "Non esiste un razionale che elevato al 2 dia 2."

x ASSURDO:

∃ z ∈ ℚ, z = ^μ/_ν ridotto ai minimi termini:

min ∈ ℤ, μ ≠ 0

2^1/2 = ^μ/_ν ⟹ ( ^μ/_ν )² = 2

(μ²)/(ν²) = 2

μ² = 2ν²

μ² è pari ⟹ μ² = 2k

(2k)² = 2ν²

4k² = 2ν²

2k² = ν²

ν² è pari ⟹ poi ASSURDO! ⟹ Così hanno 2 come divisore comune.

DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI

∀ m intero ≥ 0, x ∈ ℝ, x ≥ -1 :

(1 + x)^m ≥ 1 + mx

(1 + x) + x^m ≥ (1 + mx)(x + 1)

(1 + x)ⁿ ≥ x + 4 + mx² + mx + mx

x + 1 + mx² + mx = mx² + 1 + x(m + 1) ≥ 4 + x(m + 1)

=> (1 + x)^m+1 ≥ 1 + x(m + 1)

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

Irreali

-|x| ≤ x ≤ |x|
|z|(c) ≤ i v c

Complessi

|(2|z₁ - z₂|)² ≤ |z₁| + |z₂|² ( (1²||| + 1²||²)²
pariamo 2 = a + ib z_z = c + id
se ha (√(a² + b²)² + (c²) _(a1c) + (cd²)(
|a| ≤ a

quadratura di equivalizer(a)

|ac + bd| ≤ √a² + b²
equivalente ci ó si trova a |ac + bd| ≤ √a² + b²

OP. - 2abc0 + bc(d⁴)² = (cd) (cd)

Teorema Unicità del Limite

Se una successione ammette limite, questo valore è unico. Assurdo

lim a_n = l
m → ∞

lim a_n = l'
m → ∞
l ≠ l'

E α tale che

m ∈ ℕ | ∀ ε > 0 ∀ m ≥ m₀ |a_n - l| < ε ∀ ε > 0
m₁ ∈ ℕ ∀ m ≥ m₁ |a_n - l'| < ε ∀ ε > 0

m > max {m₀ , m₁} |a_n - l| + |a_n - l'| ≤ |a_n - l| + |a_n - l'| < 2ε
|l - l'| < 2ε

ε arbitrario > 0

ε = (|l - l'|) / 4

|l - l'| < (|l - l'|) / 2
Assurdo | minore della sua metà

Teorema del limite di una successione monotona

Data una successione {a_n} monotona crescente, esistente sempre il limite l ∈ ℝ definita come l = Sup{a_n : n ∈ ℕ}

Se la successione è limitata superiormente l ∈ ℝ se e solo se lim a_n= l

m → ∞

∀ ε > 0 Δ = Sup{a_n : n ∈ ℕ}

Δ - ε < a_n < Δ + ε

a_n < Δ + ε è vera ⇒ Δ + ε un maggiorante

a_n < ε

Δ + ε non è il più piccolo dei maggioranti ⇒ Δ - ε non è più un maggiorante

Per cui ∃ n₀ in N: a_n ≤ Δ - ε

Visto che {a_n} è monotona crescente:

∀ n ≥ n₀ ⇒ a_n ≥ a_n₀

a_n ≥ a_n ≥ a_n₀
a_n ≥ Δ - ε

quindi lim a_n = Δ

m → ∞

Analogamente {a_n} monotona decrescente: ammette lim l ∈ ℝ⁺= Inf{a_n : n ∈ ℕ}

l ∈ ℝ se è limitata inf.

∗∗∗ se è limitata inf.

Corollario: una successione monotona o converge o diverge, non può oscillare irregolare.

Teorema degli zeri

Sia f : [a, b] → ℝ dove [a, b] è un intervallo e f è continua in [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0 allora ∃ c ∈ (a, b) t.c. f(c) = 0

Se la funzione è strett. monotona c (l'uo zero) è unico. Costruiamo una successione che tende allo zero di f:

C₁ = a₁ primo membro di [a, b]

c₁ = a, c₂ = b
Se f(c₁) f(c) < 0 considero l'intervallo [a₁, b₁]
Se f(c₁) f(c) > 0 si considera sempre [a₁, b₁]

Il centro di tale intervallo c₁ = a₁ + b₁ / 2

f(c₁). Se f(c₂) = 0 → teorema dimostrato

Se f(c₁) f(c₂) < 0 itero il procedimento considerando l'intervallo [c₁, c₂]

Iterando il processo si ha una serie di intervalli [a_n, b_n] dove c on ciascuna iterazione ogni intervallo considerato è la metà del precedente [a_n - a_m = b_m - b_m]=m=∑²÷m = 0

visto che a_n e b_n definiscono una successione monotona il limite sarà = m^mper m>m m^+q= unico punto reale m(m _q= ∈

iso che f è continua

f(a_n) · f(b_m) → f(c₊₁...)

Dal teorema decorre permettendo che ad ogni f(x) ₂

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