Analisi 1 - definizioni e teoremi con dimostrazioni

TEOREMI ANALISI I

IRRAZIONALITÀ DELLA RADICE DI 2

enunciato: "Non esiste un razionale che elevato al 2 dia 2."

x ASSURDO:

∃ z ∈ ℚ, z = ^μ/_ν ridotto ai minimi termini:

min ∈ ℤ, μ ≠ 0

2^1/2 = ^μ/_ν ⟹ ( ^μ/_ν )² = 2

(μ²)/(ν²) = 2

μ² = 2ν²

μ² è pari ⟹ μ² = 2k

(2k)² = 2ν²

4k² = 2ν²

2k² = ν²

ν² è pari ⟹ poi ASSURDO! ⟹ Così hanno 2 come divisore comune.

DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI

∀ m intero ≥ 0, x ∈ ℝ, x ≥ -1 :

(1 + x)^m ≥ 1 + mx

(1 + x) + x^m ≥ (1 + mx)(x + 1)

(1 + x)ⁿ ≥ x + 4 + mx² + mx + mx

x + 1 + mx² + mx = mx² + 1 + x(m + 1) ≥ 4 + x(m + 1)

=> (1 + x)^m+1 ≥ 1 + x(m + 1)

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

Irreali

• -|x| ≤ x ≤ |x|
• |z|(c) ≤ i v c

Complessi

• |(2|z₁ - z₂|)² ≤ |z₁| + |z₂|² ( (1²||| + 1²||²)²
• pariamo 2 = a + ib z_z = c + id
• se ha (√(a² + b²)² + (c²) _(a1c) + (cd²)(
• |a| ≤ a

quadratura di equivalizer(a)

• |ac + bd| ≤ √a² + b²
• equivalente ci ó si trova a |ac + bd| ≤ √a² + b²

OP. - 2abc0 + bc(d⁴)² = (cd) (cd)

Teorema Unicità del Limite

Se una successione ammette limite, questo valore è unico. Assurdo

• lim a_n = l
• m → ∞

• lim a_n = l'
• m → ∞
• l ≠ l'

E α tale che

• m ∈ ℕ | ∀ ε > 0 ∀ m ≥ m₀ |a_n - l| < ε ∀ ε > 0
• m₁ ∈ ℕ ∀ m ≥ m₁ |a_n - l'| < ε ∀ ε > 0

• m > max {m₀ , m₁} |a_n - l| + |a_n - l'| ≤ |a_n - l| + |a_n - l'| < 2ε
• |l - l'| < 2ε

ε arbitrario > 0

ε = (|l - l'|) / 4

• |l - l'| < (|l - l'|) / 2
• Assurdo | minore della sua metà

Teorema del limite di una successione monotona

Data una successione {a_n} monotona crescente, esistente sempre il limite l ∈ ℝ definita come l = Sup{a_n : n ∈ ℕ}

Se la successione è limitata superiormente l ∈ ℝ se e solo se lim a_n= l

• m → ∞

∀ ε > 0 Δ = Sup{a_n : n ∈ ℕ}

• Δ - ε < a_n < Δ + ε

a_n < Δ + ε è vera ⇒ Δ + ε un maggiorante

a_n < ε

Δ + ε non è il più piccolo dei maggioranti ⇒ Δ - ε non è più un maggiorante

Per cui ∃ n₀ in N: a_n ≤ Δ - ε

Visto che {a_n} è monotona crescente:

• ∀ n ≥ n₀ ⇒ a_n ≥ a_n0

• a_n ≥ a_n ≥ a_n0
• a_n ≥ Δ - ε

quindi lim a_n = Δ

• m → ∞

Analogamente {a_n} monotona decrescente: ammette lim l ∈ ℝ ⁺ = Inf{a_n : n ∈ ℕ}

l ∈ ℝ se è limitata inf.

∗∗∗ se è limitata inf.

Corollario: una successione monotona o converge o diverge, non può oscillare irregolare.

Teorema degli zeri

Sia f : [a, b] → ℝ dove [a, b] è un intervallo e f è continua in [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0 allora ∃ c ∈ (a, b) t.c. f(c) = 0

Se la funzione è strett. monotona c (l'uo zero) è unico. Costruiamo una successione che tende allo zero di f:

C₁ = a₁ primo membro di [a, b]

• c₁ = a, c₂ = b
• Se f(c₁) f(c) < 0 considero l'intervallo [a₁, b₁]
• Se f(c₁) f(c) > 0 si considera sempre [a₁, b₁]

Il centro di tale intervallo c₁ = a₁ + b₁ / 2

f(c₁). Se f(c₂) = 0 → teorema dimostrato

Se f(c₁) f(c₂) < 0 itero il procedimento considerando l'intervallo [c₁, c₂]

Iterando il processo si ha una serie di intervalli [a_n, b_n] dove c on ciascuna iterazione ogni intervallo considerato è la metà del precedente [a_n - a_m = b_m - b_m]=m=∑²÷m = 0

visto che a_n e b_n definiscono una successione monotona il limite sarà = m^mper m>m m^+q= unico punto reale m(m _q= ∈

iso che f è continua

• f(a_n) · f(b_m) → f(c₊₁...)

Dal teorema decorre permettendo che ad ogni f(x) ₂