Appunti, definizioni e dimostrazioni Analisi II

Funzione continua

Sia f: X ⊂ R² X ⊂ R^m e x₀ ∈ X di accumulazione per X. Diciamo che f è continua in x₀ se esiste

lim f(x) = f(x₀) _{x → x0}

f si dà continua su X ⊂ R^c se lo è in ogni suo punto.

Uniforme continuità e que proposto

Sia f: X ⊂ R^m X ⊂ R^m ΞX ⊂ X. n doi che f è uniformemente continua

Se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0.... tale che |f(x₁) - f(x₂)| < ε ∀X₁, x₂ ∈ X |x₁ - x₂| < δ

1) la continuità uniforme implica la continuità; il inverso non vale.

Se f: X ⊂ R^m couguito allora f è uniformemente continua

Una funzione uniformemente continua è una funzione continua che: piccole variazioni della variabile indipendente x ensue piccole variazioni della immagine y

controesempio continua-!... R²

f(x,y) = x y ..√ (R² - x²¹ + δ, ε _ )2 e coindenza

P_√2 (-√ - (G/a + , √ (G/a

| F(c₁) - f(c₂) | = | - (d/2) + ε/2 ) = 3 ; ε + ..,

Teorema dei valon intermedi

Sia f: X → R, x ∈ R^m se f e continua ed x e ▯o ! cantpoto e convessa. allora

Esomme tutti valon tra ui ..e mínimo e miccnimo

Teorema di Weiestrass

Sia x ⊂ R^m capurguto cioe chiuso e limitato e sia F: X → R continua, allora,

F .,...nettete mínimo e massimo ossoluti ( ⬢ ...

F(x) = F(y) = F(z) ⟶ ∃ (x,x) F(x) ; ∀ x ∈ [X. e che

Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz

Sia V uno spazio vettoriale e < , > un prodotto scalare su V allora

| (Cv = u * v) | ≤ √ <u, u> x <v, v>

Diseguaglianza di Young

...o, a, b, ≥ 0

p, q ∈ [ 1, +∞ ) t.c. (1/p) + (1/q) = 1 allora a b ≤ (a^p/p + b^q/q)

Teorema di esistenza degli zeri

Sia X un insieme connesso di R^m e f: X → R continua. Supponiamo che siano x₁, x₂ ∈ X tali che f(x₁) < 0, f(x₂) > 0. Allora esiste x ∈ X tale che f(x) = 0.

Definizione. Si dice che X ⊆ R^m è connesso per poligonali se ∀ x, y ∈ X esiste una poligonale P ⊆ X che li congiunge.

Dimostrazione

Supponiamo che f(x₁) < 0, f(x₂) > 0 e che esiste un segmento congiungente x₁ e x₂. La dimostrazione considera la restrizione di f al segmento 5 [x₀,x ₁] che di come variabile sia di-coordinata. Allora per il teorema di esistenza degli zeri in una variabile si ottiene che ∃ ξ ∈ S s.t. ξ ∈ X tale che f(ξ) = 0.

In generale, noi trovi un segmento meno una poligonale che li congiunge proseguito in questo modo:

1. Se f(x) = 0 ho finito.
2. Se f(x) ≠ 0 applicare i due precedute.
3. Se f(x) vedo quadri ndevo poligonale.

Derivabilità

Diremo che f è derivabile in X₀ se esistono tutte le derivate parziali al limite se ∀ i f_i(x₀), i = 1, ..., n = il limite delle rapporto incrementali deve essere univoco.

Diremo che f è derivabile in X se è derivabile in ogni suo punto.

Derivata direzionale

Sia f: X → R, X ⊆ Rⁿ aperto e x₀ ∈ X, consideriamo un v ∈ R^m tale che |v| ||0 definizione derivata una zionale di f in x₀. Lung la derivate in se entra limitro il limite seguito:

D_vf(x₀) = lim t→∞ {f(x₀)+tv} - {f(x₀)}/t

∇f(x) = gradf(x) = {f_x1, f_x2, … , f_xm} ∈ R^m

Continuità ≠ Derivabilità Derivabilità ⟹ Continuità

Teorema del gradiente nullo

Se f: X ⊆ ℝⁿ, X ∈ ℝ^m aperto e connesso, se ∇f(x)=0 ∀ x ∈ X allora

f(x) è costante su X

Dimostrazione

Sia x₀ ∈ X fissato ∀ x₁ ∈ X, supponiamo che ∃ r(t) regolare tale che

x₀ = r(a) e x₁ = r(b)

Poichè ∀ r(t): t ∈ [a, b] ∈ X allora f è differenziabile su X per il teorema delle

derivazione totale.

Considero f(t) = (f o r) (t) per il teorema precedente

∀t ∈ [a, b] allora f è costante in I allora

F(x₀) = F(a) = F(b) = F(x₁)

Per l'arbitrarietà di x₁, f è costante su X

Teorema di ortogonalità delle curve di livello

Se f: x ⊆ ℝⁿ aperto f è differenziabile, allora ∇f(x₀) è ortogonale in ogni

punto alle curve di livello.

Dimostrazione

Ricordando che le curve di livello sono:

L_k = { (x,y) ∈ X : F(x,y) = k }, k ∈ ℝ

Supponiamo che esista una rappresentazione di L_k come curve regolare. Sia essa

r(t). Per il teorema di derivare delle funzioni composte

F'(t) = ∇F(r(t)), r'(t) ≠ 0 perciò le derivate di una costante è zero

per definizione di L_k F(t) = F(r(t)) = k con k ∈ ℝ

Teorema di Schwarz

Se F: X ⊆ ℝ ⁿ, X ⊆ ℝ^m aperto, supponiamo che per i, j = 1, ..., n le

derivate f_xixj e f_xjxi esistono e sono continue allora

f_xixj = f_xjxi

Condizione necessaria Minimi e massimi:

Sia f ∈ C²(X) f : X → ℝ x₀ punto di massimo o minimo locale allora

Hf(x₀) _| x₀ definito negativo o positivo

Ortogonalità del gradiente del vincolo nel punto di estremo Metodo diretto

Sia f: X → R | X < ℝ² aperto con f continue consideriamo V ⊂ X chiuso e limitato dove _| ⟩ = ® cioè una curva.

Borda particolarmente V _| av_| Sia γ(t) = (x(t), y(t)) con t ∈ I ⊂ ℝ tale per cui come insieme considero λ le funzioni F(t) = F(x(t), y(t)) e cerco i suoi punti di estremo.

Sia f regolare e differenziabile e scelta se t₀ è di estremo per F(t) allora

f ( ⊂ ( - _| ∇F (γ(t₀)) a'(Ω) = _| dunque µ

P₀ = (x₀, y₀ t) ( ∇ γ) = (x₀, y₀) ∩ h : ∇F(℘) ∇ a' (t₀)

Definizione di integrale doppio

Sia f: R → R, com R² se R = [a,b] x [c,d] su rettangolo costituente R

f(x,y) = {f(x,y) se (x,y) ∈ I0 se (x,y) ∈ R \ I}

Se I risulta integrabile in R diremo che f è integrabile in I e porremo

∬_I f(x,y) dxdy = ∬_R f(x,y) dxdy

Teorema

Se I è continua in un rettangolo e porte un insieme di misura nulla allora è integrabile su ogni suo piarelago e ininsieme A di misura nulla |A|=0 serve quella che ∫∫^|A dxdy=0.

Formule di riduzione per integrali doppi su domini semplici

Dominio y semplice

(Nornale rispetto ad x): D = {(x,y) ∈ R² t.c. a < x < b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}

∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫_a^b dx ∫_α(x)^β(x) f(x,y) dy

Dominio x semplice

(Normale rispetto ad y): D = {(x,y) ∈ R² t.c. c < y < d, γ(y) ≤ x < δ(y)}

∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫_c^d dy ∫_γ(y)^δ(y) F(x,y) dx

Teorema

Se g ∈ C ([a,b]) dunque continua su un intervallo chiuso e limitato, ha misura nulla come sobainsieme di R¹.

Dimostrazione

A = ∪_h=1ⁿ (T_h ∖ λ) πnσ (U∪^n (T_h∖R_h )) | = t_m−S_n

con T_m = somma integrale relativa ai T_hcon S_m = somma integrale relativa agli R_h

per n→∞ allora C_m → ∫_a^b f(x)dx S_n → ∫_a^b β(x)dx

quindi T_m−S_m → 0 ossia più emme resa piccola a piacere dunque |(U∪^n (T_h∖R_h )) | = 0.