Appunti, definizioni e dimostrazioni Analisi II

Funzione continua

Sia f: X→R, X⊆R e x₀∈X di accumulazione per X. Diciamo che f è continua in x₀ se esiste lim f(x) = f(x₀). Si dice continua in X se lo è in ogni suo punto.

Uniforme continuità e sue proprietà

Sia f: X→R, x∈R e x₀∈X. Si dica che f è uniformemente continua su X se ∀ε>0, ∃δ>0, tale che |f(x₁)-f(x₂)| ≤ ε ∀x₁, x₂∈X |x₁-x₂|≤δ.

1. La continuità uniforme implica la continuità. Il viceversa non vale.
2. Sia f: x→R continua su X⊆R compatto allora f è uniformemente continua.

Una funzione uniformemente continua è una funzione continua che al p. piccole variazioni della variabile indipendente x associa piccole variazioni delle immagini y.

Controesempio

Continua → R² f(x,y)=xy→μ∈R² n.c. ε=1/2, δ>0 ε contraddizione |f(x₁)-f(x₂)|=|-c/2 - c/4 + 6/4 - 6/2|=|-3 - 3/2 - 9/2|>1+ε

Teorema dei valori intermedi

Sia f: X→R, x∈R se f è continua ed X è compatto e convesso allora assume tutti i valori tra minimo e massimo.

Teorema di Weierstrass

Sia X⊆R^m compatto cioè chiuso e limitato e sia f: X→R continua allora f ammette minimo e massimo assoluti (∀ε>0).

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Sia V uno spazio vettoriale e (,) un prodotto scalare su V allora |(v,w)|≤||v|| ||w||.

Disuguaglianza di Young

Siano a,b≥0, p,q∈(1,+∞) t.c. 1/p + 1/q = 1 allora ab≤(a^p/p) + (b^q/q).

Funzione continua

Se f: X → R⁹, X ⊂ R⁴ e x₀ ∈ X è di accumulazione per X. Diciamo che f è continua in x₀ se esiste lim_x→x0 f(x) = f(x₀). f si dice continua su X se lo è in ogni suo punto.

Uniforme continuità e sue proprietà

Se f: X → R, x ⊂ R⁴ e x₀ ∈ X, si dica che f è uniformemente continua su X se ∃ ε > 0, δ > 0 tale che |f (x₁) - f (x₂)|...

1. La continuità uniforme implica la continuità; il viceversa non vale.
2. Se x ⊂ R⁴ continua su X ⊂ R⁴ compatto allora f è uniformemente continua.

Una funzione uniformemente continua è una funzione continua che a piccole variazioni della variabile indipendente x associa piccole variazioni dell'immagine y.

Controesempio

Continua: u → R² f(x,y) = xy ÷ u R² → f(ε ≠ 1, δ ≠ 0) = 3/4 + g/f

Teorema dei valori intermedi

Se f: x → R, x ⊂ R⁴, f è e continuo ed x è compatto e connesso allora assume tutti i valori tra minimo e massimo.

Teorema di Weierstrass

Se x ⊂ R⁴ compatto cioè chiuso e limitato e sia F: x → R continuo, allora f ammette minimo e massimo assoluti (... Fórg)... F(x) ≥ F(x̄)...

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Se V è uno spazio vettoriale e (..., ...) un prodotto scalare su V allora |C.V = w|² ≤ ||v||² ||w||²

Disuguaglianza di Young

Siano a,b > 0, p,q ∈ [1,+∞) t.c 1/p + 1/q = 1 allora ab ≤ a¹⁰/p + b/q b/q 0 e che esiste un segmento congiungente x₁ e x₂. La cui si considera la restrizione di f al segmento S, cioè f(x_t), che è di come variabile di x-coordinata.

Allora per il teorema di esistenza degli zeri in una variabile so che esiste x ∈ S ⊆ X tale che f(x) = 0. In generale, non trovo un segmento ma una poligonale che li congiunge procedo in questo modo:

1. Se f(x) = 0: ho finito
2. Se f(x) ≠ 0: applico parte precedente
3. Se f(x) ≠ 0: vedo archi media poligonale.

Derivabilità

Diciamo che f è derivabile in x₀ se esistono tutte le derivate parziali di f in x₀. Cioè, se ∃ f_i C(x₀)∀i=1,...,m e il limite del rapporto incrementale deve avere un valore. Diciamo che f è derivabile in X se è derivabile in ogni suo punto.

Derivata direzionale

Sia f: X → ℝ^l, X ⊆ ℝ^m aperto e x₀ ∈ X. Considero un vettore v ∈ ℝ^m tale che ||v|| = 1 e definisco il derivato direzionale di f in x₀ lungo la direzione v se esiste finito, il limite seguente: D_vf(x₀)