Matematica generale - Appunti e definizioni

MATEMATICA GENERALE

Definizioni

Limite

Sia f: A → R, x₀ ∈ E R, l ∈ R ∪ { ± ∞ }, allora lim _{x → x0} f(x) = l <=> ∀ l ∈ E &Exist; E (x₀, δ_E), ∀ x ∈ Dom(f) ∩ I(x₀, δ_E) => (f(x) ∈ (l - E, l + E))

I sottocasi:

1. lim _{x → x0} f(x) = ∞

∀ E > 0 &Exist; δ > 0 |_| x - x₆| < δ => f(x) > E

2. lim _{x → x0} f(x) = -∞

∀ E > 0 &Exist; δ > 0 |_| x - x₆| < δ => f(x) < -E

3. lim _{x → ∞} f(x) = l

∀ E > 0 &Exist; d > 0 |_| x | > d => |f(x) - l| < E

4. lim _{x → -∞} f(x) = l

∀ E > 0 &Exist; d > 0 |_| x | > d => |f(x) - l| < E

5. lim _{x → ∞} f(x) = ∞

∀ d > 0 &Exist; d > 0 |_| x | > d => f(x) > d

6. lim _{x → ∞} f(x) = -∞

∀ d > 0 &Exist; d > 0 |_| x | > d => f(x) < -d

7. lim _{x → -∞} f(x) = ∞

∀ d > 0 &Exist; d > 0 |_| x | > d => f(x) > d

8. lim _{x → -∞} f(x) = -∞

∀ d > 0 &Exist; d > 0 |_| x | > d => f(x) < -d

Intervallo Aperto: insieme (a,b)={x ∈ R: a < x < b}

Intorno di centro x₀ e raggio r: I (x₀, r)={x ∈ R: | x | < r} = (x₀ - r, x₀ + r)

Sia A un insieme x₀ ∈ R e x₀ e un punto di accumulazione di A se per ogni intorno I(x₀, r) di x₀ si ha I(x₀, r) ∩ A \ {x₀} ≠ ∅. (x₀ e un punto di accumulazione di A se ogni intorno di x₀ contiene infiniti punti di A)

L'insieme di tutti i punti di accumulazione di A si dice insieme derivato e si indica con A'

Sia A un insieme x₀ ∈ x e ∈ un punto isolato di A se esiste un intorno I (x₀, r) di x₀ per il quale si ha I(x₀, r) ∩ A = {x₀}

Sia A un insieme x₀ ∈ x e ∈ un punto di frontiera di A se per ogni intorno I(x₀, r) di x₀ si ha I(x₀, r) ∩ A ≠ ∅ e I(x₀, r) ∩  ≠ ∅ dove  e il complemento

Sia A un insieme x₀ ∈ x ∈ un punto interno ad A se esiste un intorno I(x₀, r) di x₀ contenuto propriamente in A

* Sia A un insieme, x_o ∈ R è un punto esterno ad A se è interno ad A^C

* Un insieme si dice aperto se ogni x∈A è interno ad A

* Un insieme si dice chiuso se il suo complementare è aperto

Continuità

Sia f:A → R , x_o ∈ A ∩ A' (insieme deiniorto di A)

f è continua in x_o se

Lim f(x) = f(x_o) x → x_o

∀ ε > ∃∂>0 t.v. ∀ x ∈ A | x - x_o | ≤ ∂ = | f(x) - f(x_o) | ≤ ε

Se x_o ∈ A^C allora f è continua, e continua è una funzione f è continua su un insieme A se è continua su tutti i punti di A.

Quando la funzione non è continua in un punto x_o si parla di discontinuità in x_o.

Sia f: A → R e x_o ∈ A', allora x_o è un punto di discontinuità se

1. specie (di salto) se lim f(x)= L₁∈R, Lim f(x) = L₂ ∈ R con ∂ ε₁ ≠ ε₂ x → x_o^- x → x_o⁺

2. specie (removab.) se lim f(x)= ±∞ o lim = ±∞ x → x_o^- x → x_o⁺

3. specie (elimitable) se lim f(x) ≠ lim f(x) x → x_o^- f(x) ≠ e f(x ≠) ≠ ∃x_o ≤ Dom(f)

Derivabilità

Sia f:A → R una funziovariabile reale e sia x_o ∈ A ∩ A'. Si dice che F è derivabile in x_o se esiste ed è finito

lim f(x) - f(x_o) x → x_o x - x_o (y lim f(x₀) h → 0 )

Funzione della rapporto incrementale di f in x_o. Tale limite, qualora esista ed è finito, si chiama derivata di f(x_o) e si denota f'(x_o).

Una funzione è derivabile su un insieme A quando è derivabile in ogni punto di A.

Data una funzione f di variabile reale, consideriamo un punto (x_o, y₀) del suo grafico e sia derivabile in x_o. La retta tangente al grafico della curva [ (x_o, y_o) e la retta che passa per tale punto e di coefficente angolare f'(x_o), ovvero è la retta di equazione y - y_o = f'(x_o)(x - x_o)

Sia f: A ⇒ ℝ

x ∈ A si dice punto di massimo assoluto se F(x) ≥ F(y), ∀ y ∈ A.

K ⊆ ℝ si dice compatto se ogni successione a valori in K ha una sottosuccessione convergente a un elemento di K. K = compatto ⟺ K è chiuso e limitato.

Limite di successioni:

Sia E ⊆ ℝ ∪ {±∞} Sia (A_n) una successione. Allora:

• lim A_n = E ⟺ ∀ ε > 0 ∃ I ∈ ℕ ∀ n₁, n₂ ∈ ℕ n₁, n₂ > I ⟹ A_n1 = A_n2 < ε
• lim sup A_n =  M ⟺ ∀ M' ∈ ℝ ∃ N ∈ ℕ ∀ n₁ ∈ ℕ n₁ ≥ N ⇒ A_n < M'
• lim inf A_n = m ⟺ ∀ m' ∈ ℝ ∃ N ∈ ℕ ∀ n₁ ∈ ℕ n₁ ≥ N ⇒ A_n > m'
• A_n converge ⟺ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ ∀ n, m ≥ N ⇒ A_n - ε > ε

Sia (A_n) successione, si dice funziona strettamente se esiste una successione (n_k) si dice una sottosuccessione di A_n e si indica con (A_nk).

Successione definita per ricorrenza:

{     A_O     A_n+1 = f(A_n)          f: ℝ ⇒ ℝ}

Successione geometrica rⁿ (moltiplica i fattori al posto di sommarli)

• Se r > 1 ⇒ rⁿ ⟶ ∞
• Se r compreso tra 0 e 1 ⇒ 0 (decrescente)
• Se r < 0   per indici pari ⇒ +∞ non ammette limite per indici dispari ⇒ -∞
• Se r = 1       costante
• Se r = -1 rimbalza tra 1 e -1 (il lim non esiste)

Definizioni di N

Assiomi di Peano

N* è un insieme tale che

1. 0 ∈ N
2. ∃ funzione bigettiva S: N → N* che chiamiamo funzione di successione S: n → n + 1
3. Se P() è un predicato su IN e ne P(0) è vera Se P(n) vera allora P(S(n)) è vera Allora P è vera su tutto IN

Costruzione di Von Neumann

0 = A₀ = ∅

1 = A₁ = {∅}

2 = A₂ = {∅, {∅}}

3 = A₃ = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}

4 = A₄ = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅, {∅}}}}

...

N = { A₀, A₁, A₂, A₃, ... }

A_n+1 = A_n ∪ {A_n}

A₀ ⊂ A₁ ⊂ A₂...

∅ ≠ {∅} -> insieme che ha per elemento l'insieme vuoto