Matematica generale - Appunti e definizioni

Matematica generale

Definizioni

Limite

Sia f: A → ℝ, x₀ ∈ ℝ, f: A ⊆ ℝ U {+∞, -∞}, allora f(x) = e <=> ∀ I(ℓ, ℰ) ∃ I(x₀, δ_ε) : ∀ x ∈ Dom(f) ∩ I(x₀, δ_ε) \ {x₀} => f(x) ∈ I(ℓ, ℰ)

Sottocasi

1. lim f(x) = ℓ ∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0 : 0 < |x - x₀| < δ => |f(x) - ℓ| < ℰ
2. lim f(x) = +∞ ∀ M ∃ δ > 0 : 0 < |x - x₀| < δ => f(x) > M
3. lim f(x) = -∞ ∀ M ∃ δ > 0 : 0 < |x - x₀| < δ => f(x) < M
4. lim f(x) = ℓ ∀ ℰ > 0 ∃ δ_ℰ > 0 : x ∈ δ_Ɛ => |f(x) - ℓ| < ℰ
5. lim f(x) = +∞ ∀ M ∃ δ_M > 0 : x ∈ δ_M => f(x) > M
6. lim f(x) = -∞ ∀ M ∃ δ_M > 0 : x ∈ δ_M => f(x) < M
7. lim f(x) = ℓ ∀ ℰ > 0 ∃ δ_Ɛ > 0 :
8. lim f(x) = +∞ ∀ M ∃ δ_M : x > δ => f(x) > M
9. lim f(x) = -∞ ∀ M ∃ δ_M : x > δ => f(x) < M

Intervallo aperto

Insieme (a, b) = {x ∈ ℝ: a < x < b}

Intorno di centro x₀ e raggio r

I(x₀, r) = {x ∈ ℝ: |x| < r} = {x ∈ ℝ: x₀ - r < x < r}

• Sia A un insieme, x₀ ∈ ℝ e un punto di accumulazione di A se per ogni intorno I(x₀, r) di x₀ si ha I(x₀, r) ∩ A \ {x₀} ≠ ϕ
• x₀ è punto di accumulazione di A se ogni intorno di x₀ contiene infiniti punti di A
• L'insieme di tutti i punti di accumulazione di A si dice insieme derivato e si indica con A^'
• Sia A un insieme, x₀ ∈ ℝ e un punto isolato di A se esiste un intorno I(x₀, r) di x₀ per il quale si ha I(x₀, r) ∩ A = {x₀}
• Sia A un insieme, x₀ ∈ ℝ, e x₀ un punto di frontiera se per ogni intorno I(x₀, ω) di x₀ si ha I(x₀, ω) ∩ A ≠ ϕ e I(x₀, ω) ∩ Ā ≠ ϕ dove Ā è il complementare
• Sia A un insieme, x₀ ∈ ℝ e un punto interno ad A se esiste un intorno I(x₀, r) di x₀ contenuto propriamente in Ā

Limiti avanzati

Sia f: A→ℝ, x₀∈U, e∈ℝ∪{±∞}, allora lim_x→x₀ f(x) = e⇔ ∀ I(ℓ, ε) ∃ I(x₀, δ_ε), ∀x ϵ Dom(f) ∩ I(x₀, δ_ε)\{x₀} ⇒f(x) ϵ I(ℓ, ε)

Sottocasi avanzati

1. lim_x→x₀ f(x) = e ∀ε>0 ∃δ>0: 0< |x-x₀| < δ ⇒ |f(x) - e| < ε
2. lim_x→x₀⁺ f(x) = e ∀ε>0 ∃δ>0: 0<x-x₀<δ ⇒ |f(x) - e| < ε
3. lim_x→x₀^- f(x) = e ∀ε>0 ∃δ>0: 0<x₀-x<δ ⇒ |f(x) - e| < ε
4. lim_x→x₀^± f(x) = e ∀ε>0 ∃δ>0: 0<|x-x₀|<δ ⇒ |f(x) - e| < ε
5. lim_x→x₀^± f(x) = ±∞ ∀M∃δ>0: 0<|x-x₀|<δ ⇒ |f(x)|>M
6. lim_x→±∞ f(x) = e ∀ε>0∃m>0: x>m ⇒ |f(x) - e| < ε
7. lim_x→±∞ f(x) = ±∞ ∀M∃m>0: x> M ⇒ |f(x)|>M
8. lim_x→x₀^- f(x) = ±∞ ∀M∃δ>0: 0<x₀-x<δ ⇒ f(x)>M
9. lim_x→x₀⁺ f(x) = ±∞ ∀M∃δ>0: 0<x-x₀<δ ⇒ f(x)>M

Intervallo aperto

Insieme (a, b) = {x ϵ ℝ: a<x<b}

Intorno di centro x₀ e raggio r

I(x₀, r) = {x ϵ ℝ: |x| < r}

• Sia A un insieme, x₀∈ℝ e x₀ è un punto di accumulazione di A se per ogni intorno I(x₀, r) di x₀ si ha I(x₀, r) ∩ A\{x₀}≠∅
• A^' è l'insieme di tutti i punti di accumulazione di A e si dice insieme derivato e si indica con A^'
• Sia A un insieme, x₀∈ℝ e x₀ è un punto isolato di A se esiste un intorno I(x₀, r) di x₀ per il quale si ha I(x₀, r) ∩ A = {x₀}
• Sia A un insieme, x₀∈ℝ e x₀ è un punto di frontiera se ogni intorno I(x₀, r) di x₀: I(x₀, r) ∩ A ≠ ∅ ∧ I(x₀, r) ∩ A^C ≠ φ, dove A^C è il complementare
• Sia A un insieme, x₀∈ℝ e x₀ è un punto interno ad A se esiste