Complementi di matematica

F

U N

Z I

O N

I

F u n

z i o

n i ,

Una è una relazione fra due insiemi non vuoti e che associa ad ogni elemento uno e un solo

f

u

n

z i o

n

e ∈

. = ∶ ⟶

elemento In simboli si scrive: oppure .

∈ B

A .

x .y C

1 1

. .

x y

2 2 .

. y

.

x 5

y

3 3

. .

x y

4 4

.

di . L’elemento è detto di

L’elemento è detto i m

m a

g

i n

e c o

n

t r o

i m

m a

g

i n

e

, ∈

Il o insieme di definizione di una funzione è l’insieme di partenza formato da tutti gli elementi

d

o

m i n

i o ∈ . = { / = ∧ ∈ }

che hanno un’immagine In simboli .

∈

,

o insieme immagine di una funzione è il sottoinsieme C dell’insieme di arrivo costituito da tutti gli

Il c o

d

o

m i n

i o ∈ . = { ∈ / = ∧ }

∈

elementi y B che sono immagini di almeno un elemento In simboli .

∈ ≡

A C B

. .

x y

1 1

. .

F

u

n

z i o

n

e s u

r i e

t

t i

v a x y

2 2

. .

Una funzione da A a B è suriettiva quando ogni x y

3 3

elemento dell’insieme di arrivo B è immagine di .

x 4 .

almeno un elemento del dominio A. y 4

.

x 5

Su ogni elemento di B arriva almeno una freccia

A B

. .

x y

1 1 C

. .

F

u

n

z i o

n

e i n

i e

t t

i v a x y

2 2

. .

Una funzione da A a B è iniettiva quando ogni x y

3 3 .

elemento dell’insieme di arrivo B è immagine al più di y

. .

x 6

y

4 4

un elemento del dominio A. . y 5

Su ogni elemento di B arriva al più una freccia ≡

A C B

. .

x y

1 1

. .

x

( o b

i

e t

t i

v a

)

F

u

n

z i o

n

e b

i u

n

i v o

c a y

2 2

.

Una funzione da A a B è biunivoca quando è sia .

x y

3 3

iniettiva sia suriettiva. . .

x y

4 4

Su ogni elemento di B arriva una e una sola freccia

F

u

n

z i o

n

e i n

v e

r

s a -1

B

A B

A

f f

∶ ⟶

Se è una funzione biunivoca, allora esiste

∶ ⟶

la funzione inversa che ad ogni ∈

=

associa uno e un solo tale che .

∈

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Esempio 1 { {

= / è 1 } = / è !à !!}

Siano e

La relazione R:”x è nato nella città y” è una funzione da A in B.

Esempi di relazioni che non sono funzioni B

B A

A . . C

C

y x .y

x 1 1 1

1 .

. . .

. y

y x y

5

2 2 2

.

x 2 . . .

y x y

. 3 3

x 3

.

3 y 6 . .

. x y

y 4 5

4 . y 4

Non è una funzione Non è una funzione

∈ , ∈ ∈ ∈

# # % %

perché all’elemento corrispondono i due elementi perché all’elemento non corrisponde alcun elemento

F u n

z i o

n i e m

p i r

i c h

e ∈ ∈

Una è una funzione in cui l’immagine di un elemento è ottenibile per mezzo di

f

u

n

z i o

n

e e

m p

i r i

c a

misurazioni sperimentali (in fisica, in chimica, …) o di rilevazioni (in economia, statistica).

Esempio

Nella stazione meteorologica di Trebisacce, il giorno 18 maggio 2012, sono state rilevate le seguenti temperature:

Ora del giorno (h) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Temperatura (°C) 19 18 14 16 20 22 25 28 26 24 22 20

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F u n

z i o

n i n

u m

e r

i c h

e

Una è una funzione definita fra due insiemi numerici.

f

u

n

z i o

n

e n

u

m e

r i

c a

Le funzioni numeriche più importanti sono le funzioni reali di variabile reale.

è una funzione che ha per dominio e codominio sottoinsiemi dei numeri reali.

Una f

u

n

z i o

n

e r e

a

l e d

i v a

r i a

b

i l e r e

a

l e &' = …

Una funzione reale di variabile reale è definita solitamente tramite la sua espressione analitica

)

x

La vari