Appunti Complementi di Matematica

R

Ac A

IR aperto

→

: , .

, , fa

le derivate intorno

miste di continue

lxayd

parziali fy esistono

seconde

Se in e sono

un

e

, ,

risulta

allora

Voi

IXO

in :

, fyx

fxy IXO )

(

yo ) yo

XO

= ,

,

la esistenza delle derivate miste in la possibilità

assicura

sola

BENE

NOTA punto Nori

un

: inversione ordine derivazione

di di

dell' .

calcolare derivate

Esercizio derivate

prime seconde

e

:

FIX Xsy ? 3×3

1) zxyx

y ) +

=

,

& 3×42+24 9×2

+

=

fy 2×4 a

+

=

fxx ' 18K

GXY +

= {

fxy 6×4 2 ←

+

= } fxy fyx

fyy 2×3

= =

)

fyx Copy ←

2

+

= fliy ln X2

2) Ya )

1-

(

) = -

fa ZX

-

. -

' yz

1- X -

ZY

fy -

= - ?

X2

1- Y

- '

ZX

- \

/

-211 yz l -2×11.2×1

X2 ) -2t2X2t2y2_

fyy -

-

-

= = =

- YLÌ '

( 1 K '

) yll

Kyi K

(

11 1

- - - -

-

f '_ -

= =

" Y -4212 '

( x2

1. ( -42

1. yz )

+2×2

242

fyy 2 -

-

= _

' -4212

1- X

(

fyx µ

= '

-44

?

X

-

I " !! " :!÷'

! ! !

!! unioni

!

: " " " "

! :/

:: :

: SECONDE

D. MISTE

"

! !

!

§

Hixayoi pure

% D. seconde

| |

= g matrice

Hixayoi simmetrica

T

il

valido

fxy Schwarz allora è

cioè

nota se è

fy una

se

: = .

, .

Hlxo

Esercizio Hiro

il

Calcolare det )

) yo

yo e

: ,

, .

XÌ

fini "

11 y

li = - .

=

y

! XIÈ

& f IIII "

È

I ii.

ti y

. .

-

= -

=

- =

-

TE

y y

Il !

fxx -

¥11

" I "

f. È

) ii.

1) xi

X =

y y

= - -

- -

-

. I

rit XIÉ

fxy -2

-2

Iii I ii. 11

y y

= = .

- . -

-

-

rit

fy -2

H y

= - -

- Xi' s

fyy -

-11 y

- XIII !

fyx -2

f- f-

-2 11 xi

ii.

) y

y I

= -

- -

. =

-

.ae/:::y=l:::::::::ii::iy

" ÷ !

! I 135

135

È

- È È È

È

f.

detl

Ht ' f.

-2,11 f-

-2,1 |

|

= 2.

= - -

. =

.

;

? , ,

, , }

} , . t.si ' ¥

f 3-

= =

-

- -

.

ha

-

fx txy

- .

ks.li :< % :

: PARZIALI TERZE

D.

FUNZIONI ( VARIABILE

FUNZIONI

PUNTO

DIFFERENZIABILI DIFFERENZIALE

IN UNA

E

UN 1

per

f tale "

Una h

funzione IR

differenziabile L

esiste

' cui

(

IR

b) che

b) ogni

Xo e

è se

e

in per

a.

→

a.

:

b)

la

Xoth si ha

e , 8È

lim .

=

ho h

fixoth fixo Lh )

scrivere h

si può )

Oppure ) =

- - - "

"

Landau piccolo

o O

DIFFERENZIALE

dfcxo f

di

) xo

= in

fini fixoidx

Nota f- dfcxoi

e =

: )

FUNZIONI FUNZIONI

DIFFERENZIABILI VARIABILI

DIFFERENZIALE

PUNTO ( DUE

E

UN

IN

f

Una chi ' '

differenziabile in EA

IR

funzione IR

A IR

A di

aperto ( esiste le

punto )

è Xayo

→ se

un

: , ,

,

tale ' )

lxayolxlhi.hr

hi.hr

(

da lkayd h

dipendente ) IR risulta

cui a

E e

che ogni per

per =

, (

' PRIMA NO

DIFFERENZIALE FIN

DI

§ ,

"

" yo

,

Il ftp.yo

)

yothz )

Xothi

lim -

,

11h11 »

↳

TÈ scalare

prodotto

= flxo

)

fuochi Lh

Anche riscrivere yothz

limite si

il

questo 01×0,401

come yoi = +

in caso può - ,

,

dfixqyoi

Il della

termine differenziale

detto totale funzione

def anche

viene

: & fy termini

IXQYOIDX il della

differenziale funzione

costituiscono

dy che

i parziale

UOMO ) sono

e

, '

' tutto

Una differenziabile

funzione differenziabile

f è A.

dice A

di

IR

def IR in quando

a IR A si

aperto essa

→ in

c

:

: ,

,

RELAZIONI ABILITÀ

CONTINUITÀ DERN ABILITÀ

TRA DIFFERENZI

,

,

teorema ' funzione

f ' Allora

sia ACIR differenziabile

di

IR IXO.yd.ca

IR

A aperto una

> in :

-

: .

,

, (

f )

te

differenziabili continuità

continuo

è lxayol

" in )

(

fyl

f )

ltfllayd f differenze

( deivabilità

abilità

l' Ho .pl

derivabile Italia risulta )

è )

• e

in = , ,

f pflto.to

fu

derivate direzione

ammette (

• ) risultando (

Xo ogni )

v

v Xayoi

in :

in Yo = .

, ,

DEL

TEOREMA DIFFERENZIALE TOTALE

È

Sia f ? f f

Ac di derivate

IR ( Se ammette

IR

A A continue

Xayd allora

A

aperto E

→ poneteli prime in

: . ,

,

differenziabile A

è in . a)

[ c' f

fe (A) differenziabile

cioè in fy

&

dfltqyo

f differenziabile di dy

)

(

) ( Xo )

Xo t

differenziale FUNZIONE Yo

) Yo

IXO yo

di =

=

in

UNA ,

, .

ESERCIZIO : i Richiesta

Dati :

: differenziale

l'

Scrivere

Il valutarlo nel

del

espressione

K punto

ya 10,31

poi

4

i e

= - - dfliyi fy

fa yidy

Yldx

IX.

differenziale totale ix.

= a

= fyiiys

fx ZX

2yd

IX. YI = =

- -

f Zydy

di

ZX

y )

ix. -

= -

df -2¥ dy

2.3

10,3 6dg

) = = -

-

ESERCIZIO Richiesta

dati : :

Il '

2h feriti

scrivere la nel

derivata 11,2

I la

di

Y lungo

)

punto direzione

XY e

+

= - 315 415 )

(

vettore

del -

,

(

DU fxlxo fylxo )

flxqyo

derivata ) V

HOMO ✓

V. ) yo )

= , = yo

= . ,

, ,

fylXO.iq

1×1×0,401 4X ZY

X

Y Zy

+ ×

=

=

= -

- -

fx fy

-2

4

11,21 4

11,2 =3

)

2 I

=

= = - §

( §

)

¥ ¥ (

) 2,3

fu -

II. =

2) =

- -

.

= , f

PIANO IX. PUNTO

TANGENTE SUPERFICIE )

Z IN UN

y

ALLA - -

La finiti

differenzi l'

di

abilità funzione esistenza del tangente

punto lxayoi implica

2- in un piano

una =

firmi

della funzione

al Ho

nel )

grafico Yo

punto

2- :

= ,

pflxo.io

filo fx fy (

YOILX

IXO

2- XQYOIIY

(

poi X y YO

Xd )

)

XO yo t

= )

- =

- -

-

- -

, ,

,

ESERCIZIO Richiesta

dati :

: l'

fiiyi Scrivere 11.21

del

'

' punto

tangente nel

equazione

y

4- X piano

= - Iy

fx

f

Z ( XOIYOIIY

) Yo

( IXQYOI IX. )

) XO

yo

XO +

- -

=

,

fu ¢ I

.li =

i

= -

-

fx 1×11,2

ZX

IX. )

) -2

y =

= - fyli.LI

fyl 24

I = - -4

=

)

( ( 2)

X 2-

4

-2 I

Z -2×-44+9

y =

I = -

- -

-

DIFFERENZIALE SECONDO SECONDO

f.

d' dldft-dlfxdx-ifydyl.fi/fxdx-fydy/dxtfflfxdxxfydyldx-=/fxxdx+

I fxxdxa

fxydxtfyydyldy

fxydyldx fyydy

fxydxdy '

2

=

+ + + Ì

fxxtxr fxdxxfydy

f-

d' (

fyydyl

fxydxdy

da

forma ridotta 2

ricordare + + =

dflxo.yoi-fxlxo.yoidx.fi/lXo.yoidy

differenziale

Calcola

ESERCIZIO il

:

Il '

'

1) -13

X y

Xy

i + -

=

Plan

[ 10,11 1

y ZX

= + =

fylo.lt zy

X -2

=

= -

dflo.it 1-2=-1

=

ESERCIZIO : Richiesta

Dati :

: df

" Differenziale

" ?

fu .

.

ye f.

d'

Differenziale ?

secondo

Pll .it . Piano tangente ?

' =

dflxo.yoi-fxlXO.yoidx.fi/lXo.Yoidyd?f=fxxdxa-i2fxydxdy-ifyydyl=/fxdx- "

)

fydy

IYIXOIYOIIY

fx

f

Z )

( IXQYOIIX YOI

I XO

XO -1

- -

= -

, "

fritti " fxx

4C

4x

y e o

=

= =

.

- "

"

fyi fyy fxy

e

e

1,11 o

=

= = :O

fini e

=

df Liedx edy

11,11 +

=

d' funi = o )

del il ( ¢ ¢

dei

il

2- ( Ge z <

xey

za

X

e y

e + exxey

+ = ↳

- = e

- - -

- -

SERIE TAYLOR

DI

£ serve in

funzione putto

approssimare una un

per .

L' funzione si il

di

della aumentando del

ha polinomi

serie

approssimazione con grado

una ,

l' accurata

polinomio approssimazione più

' sempre

e .

f '

R'

Sia differenziabile

R ytehaydtldidy

allora

i. Si

ac EA )

ha

volte IX.

IR

a di N Yd

aperto

→ in :

: per

.

,

, d'

flxayd

fuit flkayoltollldx dyllln

flxaydt

# d'

dflxo )

)

Yo +

+

= .

. .

, , PEANO

RESTO DI

Rn = ZXTY

la feriti

fino

formula

scrivere di iniziale

secondo

Taylor

Esempio E 11,1

al )

punto

ordine con

per =

: .

è " 2ft

" " f. zes

f 2 1)

ii.