Appunti Complementi di Matematica

Complementi di matematica

Ricevimento e informazioni generali

Petroni Martedì Matematica prof. Complementi 16:30 Filippo Ricevimento. DI: finanziaria scritto Matematica esercizi funzioni 35 esercizi variabili. Esame 2 +a: - 19/02/19.

Spazio numerico e dominio delle funzioni

Lo spazio numerico, dominio delle funzioni IR x: → , in y→ =;

Funzioni indipendenti variabili IR. Xn Xi più Xc y con → = >: - ;

Insieme cartesiano stesso volte IR insieme, cioè prodotto il se > e per: le di tutte reali del link numeri ordinate tipo i. di Xi IR e con 1,2 coppie e.

Analiticamente: " µ' }{ 41,1121! i 1,2 IR Xi E IR e IR IR = × : ,112 × = ,_ µ , di µ, componenti* × ×, , e= e, 7 Xt Pi Xi notazione Punto cioè di coordinate )( )) X2 Xi( X2 X2 Xlv o=: ,,, ¥ )(vettore vettore matriciale V colonna riga notazione V come =:: opt [ x Dxn.

Rappresentazione grafica insieme dei numeri reali

Rappresentazione grafica Insieme dei numeri reali si parlerà pietà generale :- . }" i1×1 1 IR Xml{ IR IR ne =x= × = -..,. -. . . . ..- volta IR netta R- i µ Rs' cartesiano IR piano' cartesiano IR spazio.

Operazioni tra vettori

Siano vettori IR, utili sia IR) de) ) va due (na punti ee o, .( ) vt V2 VETTORI mtv Somma ut U2 DI+= + , )(dd. d. Vl V2 Prodotto vettore tra scalare = - , I risultati? vettori ottenuti due IR da operazioni queste appartenenti sono ancora a L' munito di rispetto IR detto insieme chiuso queste due insieme 'operazioni è spazio che vettoriale a un tali operazioni.

Combinazione lineare tra vettori

Siano vi. '? QK IR IR V E E01 02 V e ...,. .. ,, ,- scalari sono K E viv' VK011 ✓ ai++ qk= . - =. ... i. 1#11 "' coefficiente dei vettori Combinazione dei .lk Lineare ai Vv e . ...... ,, formare dai Base vettori si dello vettoriale vettori quali i spazio= possono .'Un combinazione ' l' IR di lo vettore vettore -11.0 si base dei 10,11 lineare scrivere qualsiasi ) e può e come - = quindi : 2 ei E'') Xi Xl( e Xl X2 X2 e =+ .= .., in Prodotto (Scalare tra prodotto vettori) Interno o Sono 'di lui vettori) due IR -1 mi mi vale a-e , ., 2 E vimi µ MI V .ve U2 µ 2.= +. = .in Prodotto scalare alternativa notazione In lui v scu: o. Se nulli Prodotto scalare v V µ µ sono µ sono Ortogonali Veo nove e. = ,'lo del munito vettoriale detto IR scalone prodotto euclideo spazio è spazio Norma vettore di un F è F AI II V II == = dalla definito il del radice è reale stesso prodotto quadrata negativo scolare di VD INORMA se numero v non con "" ÷ ::÷ ÷ :*: :*: c: .:* :: O. ÉÉ;

Spazio metrico

Il vettore norma vettore due a = Lo munito vettoriale della detto Spazio metrico è norma spazio.

Concetto di intorno nello spazio IR

Intorno nello IR spazio : R7am intorno piazza [intorno intervallo) IR Il' Xotr( Xo è caso aperto r- ., ' }I } PollHP) { IR{' PEB.' in IP d(Intorno) IR Penello IR : Po e -== r spazio : r: , ' costituisce che RAGGIO IR DI Po CIRCOLARE r CENTRO so E INTORNO E' insieme di distano IR da dei l' di che Po punti r meno. Ulpo notazione (alternativa Pari) Irl B Bpo: r, ,[ [ IR intorno circolare centro interno di il cerchio disco al Po è intorno e in r raggio.

Definizione di punti in relazione ad un insieme

Definito il concetto di intorno è possibile definire la diversa “natura” e “posizione” di un punto relativamente ad un dato insieme.

• Dato un insieme X R² ed un punto Po R² si dice che:
• Po è interno ad X se esiste un intorno I(Po, r) X, ossia se esiste un intorno di Po tutto contenuto in X
• Po è esterno ad X se esiste un intorno I(Po, r) X = ossia se esiste un intorno di Po che non contiene alcun punto di X
• Po è di frontiera per X se non è né interno né esterno ad X ossia se in ogni intorno di Po esistono sia punti che appartengono sia punti che non appartengono ad X
• Po è un punto di accumulazione per X quando in ogni suo intorno esiste un punto di X diverso da Po ossia in ogni suo intorno cadono infiniti punti di X

Si osservi che un punto interno è necessariamente un punto di accumulazione.

Esempio

←→ o /Esterno Punto

Definizione di insiemi

Un insieme X R² si dice:

• Aperto se tutti i suoi punti sono interni e quindi non contiene alcun punto della sua frontiera
• Chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera
• Limitato se è contenuto in un intorno dell’origine
• Convesso se dati due punti qualsiasi P,Q X il segmento che li unisce è contenuto in X
• Compatto se chiuso e limitato

Funzioni di due variabili reali

Il 21/02/19 Funzioni variabili reali due di | flx iyif CHIX IX. IR )→ 2-y yi ix.→ =: ,,

Una funzione che punto è associa reali delle legge reale IX. ad due variabili reali y ogni di una flx' reale sottoinsieme ed X CIR y) solo uno numero un, . definizione funzione di Insieme / della esistenza insieme/X di insieme Dominio = variabili X. y Indipendenti→ variabile Z Dipendente→ falternativa fin notazione?) IRX) CIR 1×1 X2 X2→→: : ., . funi? determina funzione Come di il si ← Dominio una totalità numeri delle quali delle in ordinate di con ispondenza reale ix.) dominio Zy assume coppie = valori reali.

Dominio della funzione

F è sottoinsieme di IR Dominio y) == 'f sottoinsieme IR di di Dominio 2-) ix. =y=

Esercizio

Esercizio: 44-Ù flx ?? X2? IoX y E4 4 >) y=y -= -., | gomma µ penna µ, www.g mani «, , • sono? , pum,, » = centro di 10,0) circonferenza stessa 4 ae raggio 4-GRAFICO Sono variabili letanti assi necessari quante sono f '3 variabili 3 (IX.) 2- assi y IR >) 3D spazio= = '' 'fix} fix. y. IR ({ } IX. IX. IR {IR IX. XY) X 2- IX.= ) Eyy ) cE y E)-2 yi = =,, , ,, mi[ fini insieme di dei detto punti Grafico 'individua superficie IR una in Esercizio: F è fix y) =, f GRAFICO? ix. yi =

Tracciare il grafico di una funzione

Tracciare fix funzione di facile il grafico 'NO Izuna) ey=, .µ Indifferenza di (Curve) Metodo alternativo o livello di: fule l' dei della superficie insieme si proiettando Livello curve punti sul E-DI y) xy ottengono piano, quote hanno schiacciata che la Cioè la viene sul superficie stessa xy piano. . costante della la valori fcx y i. ec quale alcuni le bisogna e Dunque disegnare sul xy per curve piano fcx it livello costituiscono l' di Variando di di ottiene insieme codominio sial che appartiene e curve con. for mala della fcx buona approssimazione superficie z) y=, . È la superficie sezionata piani come venisse se per.

Esercizio

Esercizio: F è fix ? ? ? x² è è X4 Y → y g.= =-)y - -=, - IO c'2 52zo COf, -| , quindi µ µ. .? µ go. de µ g . name↳ µ , , µ raggi µ « , , masono, µ µ, una, , , , ,=, ^¥.

Limite di una funzione di due variabili

Limite variabili di funzione due di Una 'f 'Siano) IR Po (IR X IR E Yo Xo C e =→: ,↳ infiniti) di punti accumulazione di Xci punto Po cioè (vicino sono a fliyi l fcxy him = L¥ = oppure, : p lxayol IX.) y >-L limite ltende) il l' D= ix. che lxayoi uguale y è per se > a= a lfix. is Sie L E P EI IPO ll¥ d) E tt si E P Po> 0 ha: #n × -,, Proprietà Limite: limite unicità del ;- del permanenza segno ;. limiti sui operazioni ;- ecc. .. Differenza alle rispetto funzioni variabile una a: limite limite ha destro di sinistro parlare senso non e.

Continuità delle funzioni

fini de dal= Lesistenza L' limite finiilim tende del 1 fatto l'indipendentemente richiede ad Po che verso percorso. se Papa Quindi trovano il esiste limite avvicinandosi diversi ✓ si allora B valori 2 non a.

Funzioni continue

Funzioni continue f' di l'IR punto accumulazione IR x →c: e ofliyi I fcx È 'lxayoi CONTINUA ey=), . limite coincide il esiste Se e con il valore funzione la che assume nel punto.

Derivata parziale rispetto a X

Derivata parziale rispetto a X ad funzione di una f' ' Sia di IRAIR IXOIR ) a a aperto e yoc > con e sia-: , "È f su "8 ×1 ×0,401 de degli lim' ×= = = ho 1- h£ film limite finito 1 ×0,40) il del esiste nel è che punto Derivata parziale a Drispetto × se di ,, incrementando la incrementale costruito variabile rapporto da × partire lxayoi a l' di esistenza derivata Nota bene una: Rispetto Derivata parziale ad Funzione di y UNA esistenza l' garantisce parziale nome "È ro f su dey " dell' fylxayoi altra lim' dflx-o.io= = = .Y1- K→ o£ f Derivata parziale a Drispetto IX. DI YI Y derivazione Regole: È G-F¥ )( Derivata = Rapporto DEL ? G Derivata direzionale di funzione una TÈ? IL dice vettore si IR Direzione µ VIIIl 1MI se EV = =- _ , Quindi la individuata netta direzione dati il' data individuato da dalla unisce il 10,01 è che punto origine v con.

Derivata direzionale

Una a CIR funzione nella direzione a IR AIR ) IXO lui derivabile di E) sia aperto dice → yo v2 in v.: ,,, , finito limite esiste il se flk ottvty atvzlfllayolt li m tio- -f ) IXO Direzione di V Nella in Yo Derivata , fillo Nomenclatura No) Dv ) Yo Yo: o, , 11,01 flkoy d Nota ritroviamo vi. ci =} per: derivate le parziale 2' cioe fritroviamo( )() v yo yo er Per = 0,1' ,

Gradiente di una funzione

Gradiente funzione di una f Sia '' derivabile IR di IR ac IR (punto A AE aperto) nel Xo con yo →: .,, , tflx of vettore IL denotato gnad f simbolo di il IXO) Yol il Gradiente è che yoin con o,, , , ha componenti come : ) tflx qy oi fx fylxo.io ((Xo) =) yo, , ÷- ' derivate parziali) [Cioè sisi porzioni vettore derivate calcolano le scrivono le un come e Significato geometrico parziale Derivata della fx lko Voi della coefficiente netta è grafico il tangente tangente angolare grafico al al, f filo ' P di In el punto Xo Yo ', ,,

Esercizi sul gradiente

Esercizi gradiente sul flx 11 x2 yz)y zxy = + -,¥ SI ZyZXZXTZY -==, ,tfhyi ()