Formulario complementi di matematica

Modulo I - Matematica

Unità 1

u+v = (u₁ + v₁; u₂ + v₂) Somma di vettori

αv = (αv₁; αv₂) Prodotto di vettori

uv = u₁v₁ + u₂v₂ Prodotto scalare di due vettori

||v|| = √(x₁² + x₂²) Modulo o norma di un vettore

d(u,v) = ||u-v|| = √[(u₁ - v₁)² + (u₂ - v₂)²] Distanza tra due vettori

Unità 2

Il dominio va fatto quando ho:

• Una frazione: … n ≠ 0
• Una radice: √(n) n ≥ 0
• Un limite: lim(n) n > 0

Unità 3

lim f(x; y) = l Per fare il limite della funzione si utilizzano i metodi sottostanti

(x; y) → (x₀; y₀)

• x = 0; y = 0; x = y; y = -x; y = x²; ...

Unità 4

∂f(x₀; y₀) = lim_h→0 (f(x₀+h; y₀) - f(x₀; y₀)) Derivata parziale prima rispetto ad x

∂f(x₀; y₀) = lim_k→0 (f(x₀; y₀+k) - f(x₀; y₀)) Derivata parziale prima rispetto ad y

∇f(x₀; y₀) = (f_x(x₀; y₀); f_y(x₀; y₀)) Gradiente

f_xy(x₀; y₀) = f_yx(x₀; y₀) Uguaglianza delle derivate parziali miste per il Teorema di Schwarz

H(x₀; y₀) =

DetH(x₀; y₀) = f_xxf_yy - f_xyf_yx Determinante della matrice Hessiana

df(x₀; y₀) = f_x(x₀; y₀)dx + f_y(x₀; y₀)dy Differenziabile

Z-f(x₀; y₀) = f_x(x₀; y₀)(x-x₀) + f_y(x₀; y₀)(y-y₀) Piano tangente

f(x; y) = f(x₀; y₀) + f_x(x₀; y₀)(x-x₀) + f_y(x₀; y₀)(y-y₀) Formula di Taylor di primo grado

Unità 5

• Se DetH(x₀; y₀) > 0 e f_xx(x₀; y₀) > 0 Minimo relativo
• Se DetH(x₀; y₀) > 0 e f_xx(x₀; y₀) < 0 Massimo relativo
• Se DetH(x₀; y₀) < 0 Sella
• Se DetH(x₀; y₀) = 0 Utilizzo la formula sottostante

f(x; y) - f(x₀; y₀)

• Se f(x; y) - f(x₀; y₀) ≤ 0 Massimo relativo
• Se f(x; y) - f(x₀; y₀) ≥ 0 Minimo relativo
• Se f(x; y) - f(x₀; y₀) cambia segno Sella