Complementi di analisi matematica

ASCISSA CURVILINEA

Illy'still

sit =

INTEGRALE CURVILINEO, SUPERFICIE DI UNA CURVA

gil

8:Leib]-e (x|t),y(t)]

((t)

e =

) f(y(t))./ly'(1)It

1,8k =

MASSA (fe

DENTITA

-- LINEARE, m =

BARICENTRO

[x(t),y(t),z(t)]

f(t) =

1,5, E)

1)Tfe NUCUALE PERYEz

* =

IMPULSO/MOMENTO D’INERZIA

I=jgd e

distanza datazione

surva-arre

COORDINATE POLARI

E fros

x = growd;flawalgig)

If t...gig) bi gr,)

Albort 0

0 =

=

y gen0 (x,y) (1,1)

= -

DERIVATE PARZIALI yo-flao,

flaoth,

ko, -flao,

8kxo,

t yoth)

y)=lin him

(o, ya)=

GRADIENTE -

((xf(x0,y);dyf(x0,30))

-f(xx,ya) =

DERIVABILITÀ: se esistono le derivate parziali

DIFFERENZIABILITÀ

vf(ed.h+olhI)

f(oth) f(x) Yoh vetoel

= + -

ne ERRORE

IPESPIAND

floth) (a)- f(d).

him

h d

- CONTINUITA

-

DIFFERENZIABILITA *

↳ SERIVABILITA-

DERIVATE DIREZIONALI

buffo 8thr-fl

Verso o

=

FORMULA DEL GRADIENTE: se f è differenziabile in xo

Drf(x) f(x).

= - [dxfk,y);4yf(x,))

00f(x,y)

f:

DERIVATE SECONDE =

DERIVATE PARZIALI DELLE DERIVATE PARZIALI

fe8

H8 = Matrice hessiana

= Hy

f

TEO DI SCHWARZ SIMMETRI SA

=

TEO DI FERMAT (ma viceversal

Se xo è un punto di max o min relativo If(x) non

0

=> =

If() 0 MAX

to MI

= 0

Hf(xo,yo) definita positiva (xo,yo) min relativo

=7

②

a NEGATIVA MAX

=>

1/ Il

1/

INDEFINIA=> SELLA

· I

Valutare per

semidefinita dare

date

-

·

MINORI

11 Tutti det>0 Hf definita positiva

-

Det a segno alterni Hf definita negativa

=7

MATRICE 2X2

li

SET

· =

Te Eli

· = 3 3

DETTO

DET DEF-

DEF

· 2 d t

Tr>0 Tr<

SET INDEFINITA

· <0 = MIDEFINITA

SET

· =>

0

=

DERIVATE DI FUNZIONI

"

F:R" (n) (F),

F(x,, Fn)

- x ... = .

. .,

Fei

FUNZIONI

-ONO 1,...,

i

m = m

MATRICE JACOBIANA

(

~EF= 1 Fij i

=

macarve

Jac(g o f)=Jac g(f(x,y)) Jac(f(x,y))

DF(g o f)=DFg(f(x,y)) DF(f(x,y))

&

SUPERFICI -

S:

FUNZIONI

(6(a,v);6z(u,v),63(u,r)]

6(u,v) =

LINEE COORDINATE

Curve ottenute fissando una delle 2 variabili

tr6)

(du5;

3 daSE

S duS 6

TANGENTI

SOND VENORI A

=

PIANO TANGENTE

7 duS rg(D6)

AuS E LIN. 2

IND

SE SONO <=> =

E PIANO REGOLARE

SUPERFISE

tg

SE IL - I

PUNTI Ig

SINGOLARI-DOVE PIANO

VETTORE NORMALE qu

-s

0 dn6.dr6

= D

↳

EQ. PIANO W

Dato un punto (xo, yo, zo) e il vettore normale

rilassate

e

INTEGRALI DOPPI INSIEME

I -

fa,aly

Y-SEMPLICI

INSIEMI g,N1241ga3

3xela,d],

X-SEMPLICE

INSIEME ".

{y=(1,1], xh2(xx)3

h,(y) =

Y-SEMPLICE

D (a,dy)

I f(x,) - e

X-SEMPLICE

D (?)

ense

1 84,)a em

=

CAMBIO DI VARIABILI (),8(8/a,v].Ider (pla, 31

f(x,)

(

0 k1

&: 1 bedr

- =

AREA DI UNA SUPERFICIE REGOLARE

WIa,r) U=

61u,v) du6. IvS VETOR

NORMALE

=

AREA=) I/, ubd deFINITImE

intere

= in sono

cui v

INTEGRALI TRIPLI

fi -

INTEGRAZIONE PER FILI

{(x,y) f(x,y)3

E ,f,(x,y) z

= = =

=

((Sean

III

8 edutz =

INTEGRAZIONE PER STRATI

{z=(a,b),(x,y)-

(t)3

E = 8

(I key)

8 rez da

=

COORDINATE SFERICHE

te. S

si

e (d (01 gwy

+ =

↑

·X

COORDINATE CILINDRICHE

↑ E 12 (b)

y gr0 g

+

= =

--

CAMPI VETTORIALI

F:*-

F(x) VETTORE APPLICATO

-- (F), Fz,Fs)

F(x,y,z) =

POSIZIONE

*

-

ROTORE kFz-1Fi)

(1

(F) daF1

-dz

ret Fz; xFs;

Fs -

= (

or e

=

I

&z

DIVERGENZA

div(F) dyFz N.F

a F1 1z Fs

= +

+ =

LAVORO

F:

SAMPO CURVA

8:

(Fly(t).

SF= j't

INTEGRALE CURVILINEO 1° SPECIE

=(fy(t)/y(+11t

fi- (81

CAMPI CONSERVATIVI JU:-e

FE F

T.1.

CONSERVATIVO SE DU=

AU= U:

dyU=Fz

F, POTENZIALE

deU=Fs

(Fd (y(b)].U[g(a))

v

~E deNERVATIVO

CAMPO = sempl.

fe ratlf)=d me

denservative e donnesso

se

DOMINIO F

m DI

=

FORMULA GAUSS-GREEN e

CFA=( AE-BEIKY re

F=

INTEGRALE DI FLUSSO

-OR,

F: E PEFINE

F(S(,v] (m,)

5

(

(F-mr ladr

= =

Wir,v) VETE NORMAL

=

1 ((,r) be6 drS

x

=

D instere definite

su sono

cui V

m,

=

TEO DIVERGENZA

Da f) dinsf)

F.= ded

Superficie esterna a V, orientata verso esterno (flusso uscente)

TEO ROTORE (STOKES)

o

F:- ⑰I

1) md5 (0F

(F)

est t

= 2

1 - 000

PUNTI STAZIONARI

E &

X = (0,y)

Allora i punti critici sono

&

& =

go -0 Ix,d

Allora i punti critici sono

0

y =