Complementi di matematica teoria

MOLTEPLICITA’ ALGEBRICA DI UN AUTOVALORE

Sia A una matrice quadrata di ordine n e sia ( 0) un suo autovalore. Si dice molteplicità algebrica

di un autovalore ( 0) il numero che esprime quante volte appare l’autovalore.

MOLTEPLICITA’ GEOMETRICA DI UN AUTOVALORE

Data una matrice quadrata A di ordine n e detto 0 un suo autovalore, si de nisce molteplicità

geometrica di 0 la dimensione dell’autospazio relativo all’autovalore, cioè il numero di elementi di

una base qualsiasi dell’autospazio relativo 0.

In termini pratici la molteplicità dell’autovalore 0 si calcola con: ( 0) = − ( − 0 )

SISTEMI LINEARI

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite si può scrivere in forma matriciale come

= . La matrice è la matrice dei coe cienti del sistema, x è il vettore delle incognite e b è il

vettore dei termini noti del sistema.

Un sistema lineare può essere:

- compatibile (consistente): se ammette una soluzione

- determinato: se ammette una soluzione unica

- indeterminato: se ammette in nite soluzioni

- impossibile (inconsistente): se non ammette alcuna soluzione 5

fi ffi ff fi

TEOREMA ROUCHE CAPELLI

È un teorema che ci permette di stabilire se un sistema lineare ammette soluzioni ed

eventualmente quanti carle attraverso lo studio del rango di due matrici associate al sistema.

Si consideri un sistema lineare di m equazioni e n incognite e con coe cienti in un campo K. Tale

sistema in forma matriciale appare come Ax=b. A è la matrice incompleta associata al sistema.

Completa cioè che comprende anche i termini senza incognite mentre incompleta che comprende

tutti i termini delle incognite (lettere)

Tale teorema stabilisce che:

- se e solo se il rango della matrice incompleta è minore del rango della matrice completa, allora il

sistema è impossibile, cioè non ammette soluzioni

- se e solo se il rango della matrice incompleta coincide con il rango della matrice completa, allora

il sistema è compatibile (ammette una o in nite soluzioni)

Bisogna tenere però in considerazione che n è il numero di incognite, quindi:

- se rk(A)=rk(A|b)=n (numero incognite) allora avremo una e una sola soluzione

- se rk(A)=rk(A|b)<n (numero incognite) allora il sistema ammette in nite soluzioni che dipendono

da in niti parametri

VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI

Si consideri uno spazio vettoriale V su un campo K e ci siano n vettori. Gli n vettori sono

linearmente indipendenti tra loro se, prendendo n scalari a1, a2, ..., an appartenenti a K e

imponendo→a1v1+a2v2+....+anvn=0 risulta vera se e solo se gli scalari a1,a2,....,an sono uguali a

zero.

Al contrario si dice che un vettore è linearmente dipendente se tra gli scalari nulli esistono almeno

scalari non tutti nulli che annullano la combinazione lineare.

TEOREMA DI CRAMER

Il teorema permette di risolvere un sistema di equazioni lineari supposto possibile.

Il teorema di Cramer a erma che un sistema di equazioni lineari algebriche in n incognite, dove la

matrice del coe ciente è non singolare, ammette una e una sola soluzione.

Tesi: otterremo il rapporto tra il determinante della matrice dei coe cienti e il determinante ovvero

Xi= (DET (Ai)) / (DET (A)) dove Ai è la matrice di partenza in cui la i-esima colonna è sostituita con

la colonna dei termini noti.

Supponiamo che Ax=b , dove A è una quadratica di ordine n.

X appartenente all’insieme elevato alla N e B appartenente all’insieme I R elevato alla N.

Il sistema è consistente (rango A = rango(A;B)). Dunque il rango A è uguale a n→rango(A)=n

= det( ) dove Ai è la matrice di partenza in cui la i-esima colonna è sostituita con la colonna

dei termini noti.

Dalle ipotesi si deduce che il detA è diverso da zero, quindi la matrice A è invertibile. Sia −1 la

sua inversa.

Per riscrivere Ax = b moltiplico ambo i membri a sinistra per −1. −1 = −1 = −1

∗

= −1 6

fi ffi fi ff fi

ffi fi ffi

APPLICAZIONI LINEARI

Dati due spazi lineari U e V, l’applicazione F : U —> V si dice lineare se vengono veri cate due

condizioni:

1) l’immagine della somma di L e di V è la somma delle immagini di F( w + x) = F(w) + F(X) con W

e X appartenenti ad U

2) L’immagine del prodotto di un elemento di U per uno scalare R è il prodotto dello scalare per

l’immagine di tale elemento F(R W) = R*F(w)

MATRICE JACOBIANA

La Jacobiana di una funzione (in generale vettoriale) di più variabili reali è una matrice i cui

elementi sono le derivate parziali prime della funzione nel punto X0 rispetto a X

MATRICE HESSIANA L’hessiana di una funzione reali di più variabili è una matrice

quadrata i cui elementi sono le derivate parziali seconde della

funzione f.

FUNZIONI COMPOSTE DIFFERENZIABILITA’

Date due funzioni F(x) e G(x) tali che f è di erenziabile (derivabile) nel punto g(x) e g è

di erenziabile in x, allora la funzione composta è de nita se esiste F(x)= f(g(x)) risulta essere

di erenziabile in x e si ha che F'(x)= f '(g(x))g'(x). 7

ff

ff ff fi fi

Una funzione g si dice di erenziabile in x0 punto interno di A, se esiste un matrice J g ( x0 ) detta

matrice jacobiana (di dimensione n×m) tale che con h→0 si ha che g(x0 +h)

∀h∈Rm

−g(x0)=Jg(x0)h+ο(h)

RELAZIONI FUNZIONI PSEUDO CONVESSE E QUASI CONVESSE

quasi convessa se

Data una funzione F diciamo che f è per ogni k reale gli insiemi = { : ( )

≤ } sono convessi.

Esiste un altro modo per caratterizzare le funzioni quasi convesse. ∀

→

Teorema: una funzione : è quasi convessa se e solo se , [0,1]

∀ ∈ ∈

Dunque secondo le dimostrazioni se f è convessa allora è quasi convessa (il viceversa non è

vero). Esempio: f(x,y)= x^4 + 3y pseudo

→

Data una funzione : dove è un insieme convesso. Diciamo che f è

⊆

convessa quando , ( ) < ( ) si ottiene [0,1] ( + (1 − ) ) ≤ −

∀ ∈ ∀ ∈

( , ) dove a è una funzione positiva di (x,y). Diciamo che f è pseudo concava quando ,

∀ ∈

con f(x)>f(y) si ottiene [0,1] ( + (1 − ) ) ≥ ( ) + ( , ) dove b è una funzione positiva di

∀ ∈

(x,y)

Da questa de nizione risulta facile vedere che se f è pseudo convessa allora per ogni x/y

appartenente a C con f(X) minore di f(Y) ( + (1 − ) ) ≤ ( ) − ( , ) ≤ ( ) = max( ( ), ( )) allora

è quasi convessa.

È facile osservare che se f è convessa allora è pseudo convessa.

Qui esiste una classe che ci permette di garantire di avere un minimo o un massimo assoluto?

I punti stazionari risultano dei minimi assoluti, massimi assoluti (pseudo concave).

OTTIMIZZAZIONE LIBERA

→

Data : cerchiamo di risolvere il problema di massimo o minimo della funzione di x.

Ovvero cerchiamo un punto tale che:

∈

- Se la funzione di X è maggiore o uguale alla funzione di Y è un massimo assoluto, si ottiene un

minimo assoluto se la funzione di x è minore dell’altra

- Se la funzione di X è maggiore o uguale alla funzione di Y massimo relativo si ottiene un minimo

relativo se la funzione di X è minore dell’altra funzione

Ci sono due teoremi applicabili e sono:

1) Se f è una funzione di erenziabile in un intorno di e x è estremamente relativo si

∈

deve avere ( ) = ∇ ( ) = 0 ovvero ( ) per ogni i=1,...,n. Il fatto che

( ) = ∇ ( ) = 0 non è in generale su ciente a garantire che x sia estremamente relativo.

Quando si veri ca parliamo di punti stazionari o critici della funzione (GRADIENTE=0)

→

2) Sia x un punto stazionario di : e sia 2 in un intorno . Allora se 2 ( ) è

∈ ∈

de nita abbiamo un estremante in x mentre se 2 ( ) è inde nita, x non è estremante.

OTTIMIZZAZIONE CON VINCOLI DI UGUAGLIANZA

Il problema di ottimizzazione con vincoli di uguaglianza si può vedere come un problema di

ottimizzazione implicita dove i vincoli si ottengono alcune variabili in funzioni di altre che vengono

poi sostituite nelle funzioni da ottimizzare, riducendo cosi la dipendenza ad un numero inferiore di

variabili.

Teorema 1 Sia x0 soluzione locale di un problema di ottimizzazione vincolato e siano soddisfatte

le seguenti condizioni:

- F è di erenziabile in x0

- Le funzioni hj(x)=0, j=1,....,r sono di classe C1 in x0 e la matrice jacobiana associata al

vettore funzionale vincoli, ha rango massimo ovvero i vettori gradienti sono linearmente

indipendenti. 8

fi ff fi

fi

ff ff

ffi

fi

Si de nisce punto regolare un punto soddisfacente la condizione di quali cazione dei vincoli

sopra ovvero x0 è regolare per i vincoli se i vettori gradienti dei vincoli sono linearmente

indipendenti.

Teorema 2

Considerato un problema di ottimizzazione vincolato f soggetta ai vincoli delle funzioni

di erenziabili due volte in x0, punto ammissibile. Se esiste un vettore tale per cui sono soddisfatte

le condizioni allora x0 è massimo locale per f soggetta ai vincoli hj(x)=0

TEOREMA DI DINI

OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA

Ipotesi

Data l’equazione f(x,y)=0 e un punto (x0, y0) appartenente all’insieme A; sia A un insieme A aperto

di R^2 e sia G tale che A appartiene a R una funzione C^1(A) (ovvero derivabiile e continua su A).

Supponiamo che:

1) g(X0, Y0)=0

2) g’(x0, y0) 0

Esistono due intervalli reali I e J che contengono x0 e y0

Noi dobbiamo avere una funzione che risulti - gx(x0, yo) / g’(x0, y0)

Il teorema dice che sotto opportune ipotesi una curva de nita in modo implicito, ovvero mediante

un luogo di zeri g(x, y)=0 ammette localmente un intervallo I a cui è possi