Complementi di matematica teoria

Matrici

Una matrice può essere definita come una tabella ordinata di elementi. Una matrice è quindi formata da righe e colonne.

Somma delle righe

Sommo ogni singola riga.

Trasposizione

Scambio le righe con le colonne. Si dice simmetrica se è uguale alla trasposta. La trasposta di una trasposta è uguale al valore iniziale.

Prodotto

Per poter eseguire il prodotto tra due matrici è necessario innanzitutto che queste siano conformabili, ossia il numero di colonne di una coincida con il numero di righe dell'altra.

Per eseguire il prodotto tra due matrici bisogna moltiplicare ogni riga della prima per ogni colonna della seconda.

Determinante

Il determinante di una matrice è un numero reale associato a ciascuna matrice. Se una matrice è chiamata A, il suo determinante sarà det(A). Si definisce determinante di A il numero reale ottenuto come differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e quello degli elementi dell’altra diagonale.

Proprietà del determinante

• Determinante nullo: Se una riga/colonna è composta da tutti zeri, il determinante è 0 → detA = 0.
• Determinante di matrice triangolare: Il determinante è dato dal prodotto della diagonale principale → detA = a₁₁*a₂₂*...*a_nn.
• Determinante del prodotto: Se è possibile fare il prodotto delle matrici, allora il determinante del prodotto sarà uguale al prodotto dei determinanti → det(AB) = detA * detB (Binet).
• Scambiando due righe o due colonne il determinante cambia segno.
• Determinante della trasposta: Una matrice quadrata e la sua matrice trasposta hanno lo stesso determinante.
• Se le righe o le colonne sono linearmente dipendenti, il determinante è nullo.
• Determinante di matrici simili: Due matrici simili hanno lo stesso determinante.

Proprietà delle matrici inverse

Una matrice quadrata A di ordine n è detta invertibile se esiste una matrice quadrata B tale che il loro prodotto è uguale all’identità, cioè il prodotto riga per colonna tra le due matrici restituisce la matrice identità di ordine n. Si dice che A ammette inversa o è invertibile e la si indica con A^-1. Se A non ammette inversa, si dice che è non invertibile.

Proprietà della matrice inversa

• (A^-1)^-1 = A
• (AB)^-1 = B^-1A^-1
• Se K è un numero reale, KA è invertibile e (KA)^-1 = (1/K)A^-1.
• Se A è diagonale, allora A^-1 è diagonale e vale A^-1 = (1/a₁₁, 1/a₂₂, ..., 1/a_nn).
• Se A è simmetrica, allora A^-1 è simmetrica.

Spazi vettoriali (definizione non essenziale)

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V in cui sono definite:

• Un'operazione interna (somma).
• Un'operazione che associa ad ogni coppia data da un elemento di V e un elemento di K (prodotto).

Gli elementi di V vengono chiamati vettori, mentre gli elementi di K si chiamano scalari. Si parla di spazio lineare perché uno spazio vettoriale è chiuso rispetto alle combinazioni lineari di elementi di V a coefficienti in K. La dimensione di una matrice, o il suo spazio vettoriale, è definito dal numero degli elementi di una sua qualunque base. Quindi se V è uno spazio vettoriale e β è la sua base, indicando con dim(V) la dimensione di V si otterrà dim(V) = |β| (che rappresenta la cardinalità della base indicata).

È evidente che per calcolare la dimensione di uno spazio vettoriale (o di un sottospazio vettoriale) è indispensabile sapere come si determina la base.

Forma quadratica

Una forma quadratica è una forma definita su uno spazio vettoriale reale e si presenta sotto forma di polinomio omogeneo di secondo grado. La matrice associata a una forma quadratica è una matrice simmetrica che permette di studiare il segno della forma quadratica che rappresenta, e che consente di risalire alla sua forma normale. Tramite lo studio del segno (con gli autovalori) possiamo capire se la forma quadratica è:

• Definita positiva
• Definita negativa
• Semidefinita positiva
• Semidefinita negativa
• Indefinita

Utilizzo Cartesio: Ad ogni variazione corrisponde un autovalore > di 0. Permanenza corrisponde a un autovalore < di 0.

Rango di una matrice

Sia A una qualsiasi matrice a coefficienti in un campo K con m righe e n colonne. Il suo rango si può indicare con Rg(A). Si definisce rango della matrice un numero non negativo associato alla matrice A.

Rango

• Il massimo numero di vettori righe linearmente indipendenti di A.
• Il massimo numero di vettori colonne linearmente indipendenti di A.
• La dimensione dell’immagine dell’applicazione lineare.

Per risolvere il rango della matrice dobbiamo per prima cosa scrivere in forma canonica la matrice iniziale. Se il determinante della matrice è det=0, il rango della nostra matrice sarà 3. Quando una matrice è di ordine n e ha determinante diverso da zero, allora il suo rango è uguale a n. Si dice anche che la matrice ha rango pieno.

Per trovare il rango di una matrice posso ridurla a scala e il numero dei pivot (elementi sulla diagonale principale) corrisponde al RG(A).

Teorema di Kronecker (detto anche Orlati)

Permette di stabilire il rango di una matrice attraverso il calcolo del determinante di alcune particolari sotto matrici, delle sotto matrici orlate. Se A è una matrice di m righe e n colonne, con un rango pari a K solo e solo se:

• Esiste una sotto matrice B di A di ordine K con determinante di B (detB) diverso da zero.
• Per ogni sotto matrice C di ordine K+1, che contiene come sottomatrice B, con determinante C (detC) uguale a zero.