Automatica

Fondamenti di automatica

Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione - Politecnico di Milano

Anno Accademico 2014-2015

Corso di Laurea di Primo Livello - Ingegneria Biomedica (MI 363)

Indice

• Introduzione
• Calcolo del movimento per un sistema lineare a ordine n
• Stabilità del movimento di un sistema
• Linearizzazione
• Trasformata di Laplace
• Funzione di trasferimento - FdT
• Risposta al gradino
• Risposta esponenziale
• Teorema della risposta in frequenza
• Il problema del controllo
• Sistemi a tempo discreto

Introduzione

Si definisce automatica la disciplina che si occupa della progettazione di sistemi artificiali di controllo (sensori e controllori). Si dice sistema una porzione del mondo reale che interagisce con il mondo esterno, il quale esercita la propria influenza sul sistema stesso. Le variabili che controllano un sistema sono dette variabili di ingresso u (m). Il sistema, a sua volta, influenza il mondo esterno mediante le variabili di uscita y (p).

Single Input Single Output

Un sistema avente m = p = 1 viene definito come sistema SISO. Le variabili si distinguono in manipolabili - o di controllo - e in non manipolabili - o disturbi. Un sistema dinamico viene caratterizzato da un ingresso (u), da una uscita (y) e dallo stato (x). Essendo dinamico, sono necessarie le condizioni iniziali. Si dice ordine del sistema n il numero di variabili di stato di un sistema; esso coincide con l’ordine delle equazioni differenziali.

Sistema dinamico, con y(t) = g(x, u) trasformazione di uscita.

\( \dot{x}(t) = f(x, u) \)

\( y(t) = g(x, u) \)

Sistemi lineari

Si ha un sistema lineare se e solo se i secondi membri delle equazioni di stato e della trasformazione di uscita sono combinazioni lineari delle variabili di stato x e dell’ingresso u. Per un sistema lineare vale il sistema:

\( \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \)

\( y(t) = Cx(t) + Du(t) \)

Nel generico caso di un sistema (n x n), A, B, C e D sono matrici rispettivamente di ordine (n x n), (n x m), (p x n) e (p x m).

Si dice movimento dello stato associato alla condizione iniziale x(0) = x₀ e all’ingresso u(t) = 0 il corrispondente andamento dello stato. In modo analogo, si definisce il movimento dell’uscita. Dato un sistema dinamico, si definisce stato di equilibrio associato all’ingresso costante u(t) = u₀ nel momento in cui il movimento dello stato associato a x(0) = x₀ e u(t) = u₀ sia \( x(t) = x_e \), \(\forall t \geq 0\).

Gli stati di equilibrio associati ad un ingresso costante dato si determinano annullando le derivate delle variabili di stato, ovvero se e solo se vale: \( f(x_e, u_0) = 0 \), \( y_e = g(x_e, u_0) \).

Si definisce l’uscita di equilibrio associata allo stato di equilibrio come \( y_e \).

Per sistemi lineari, il movimento dello stato si ottiene sempre come somma del movimento libero (a ingresso nullo) e del movimento forzato (a condizione iniziale nulla), grazie al principio di sovrapposizione degli effetti.

\( x(t) = x_L(t) + x_F(t), \ t \geq 0 \)

\( y(t) = y_L(t) + y_F(t), \ t \geq 0 \)

Calcolo del movimento per un sistema lineare a ordine n

Il calcolo del movimento per un sistema lineare consiste nel determinare le funzioni del tempo x(t), in generale funzione vettoriale di dimensione n, e la trasformazione di uscita y(t).

Calcolo del movimento per un sistema del primo ordine

Con n = 1, si ha:

\( \dot{x}(t) = ax(t) + bu(t) \)

La soluzione si ottiene mediante la formula di Lagrange.

\( x(t) = e^{at} x_0 + \int_{0}^{t} e^{a(t-\tau)} b u(\tau) d\tau \)

Per \( a < 0 \), il contributo dell’esponenziale viene esaurito in un intervallo di tempo detto tempo di assestamento (all’1%), tempo in cui \( x_L(t) \) vale un centesimo del valore iniziale \( x_0 \). Il tempo d’assestamento risulta essere pari a circa cinque volte la costante di tempo \( \tau \).

\( \tau = \frac{1}{|a|} \)

Il termine \( e^{at} \) viene definito modo del sistema. I modi del sistema sono funzioni del tempo che, combinate linearmente, determinano il movimento libero \( x_L(t) \) del sistema.

Formula di Lagrange all’ordine n

\( x(t) = e^{At} x_0 + \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) d\tau \)

Si noti che il termine \( e^{At} \) rappresenta l’esponenziale della matrice A, ovvero una funzione di matrice. La matrice A viene detta matrice dinamica del sistema.

Sia A diagonale

\( A = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \)

L’andamento del movimento libero dipende dagli autovalori di A. Se \(\forall i = 1, \ldots, n \), \(\lambda_i < 0\), allora:

\( \lim_{t \to \infty} x(t) = 0, \ \forall x_0 \neq 0 \)

Se \(\exists \lambda_i > 0\), allora \(\exists x_0\) tale che:

\( \lim_{t \to \infty} x(t) = \infty \)

I transitori si considerano esauriti dopo un intervallo di tempo determinato dalla costante di tempo \( \tau \), con \( \tau = \max \{|\lambda_1|^{-1}, \ldots, |\lambda_n|^{-1} \} \).

Sia A diagonalizzabile

Gli autovalori sono reali o complessi coniugati.

\( A = T \Delta T^{-1} \)

Sia \( \lambda_i = \alpha_i + j \omega_i \) un autovalore complesso di A, il sistema va a zero per \( \text{Re}(\lambda_i) < 0 \). Nel momento in cui la parte reale degli autovalori sia nulla, il movimento libero oscilla come \( \cos(\omega t) \), mentre per valori di \( \alpha_i > 0 \), \( x_L(t) \) diverge a infinito.

L’andamento in funzione degli autovalori di A risulta essere analogo al caso A diagonale, con l’unica differenza che sta nella definizione della costante di tempo.

\( \tau = \frac{1}{|\text{Re}(\lambda_i)|} \)

Stabilità del movimento di un sistema

Le proprietà di stabilità di un sistema fanno riferimento al movimento dello stato, associato ad una specifica condizione iniziale. Nel momento in cui viene perturbata la condizione iniziale, il sistema può presentare stabilità o meno.

Movimento stabile

Si parla di movimento stabile nel momento in cui:

\(|\dot{x}(t) - \dot{x}_0| \leq \epsilon, \ \forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0: \ \forall x_0 \leq \delta, \ \forall t \geq 0\)

Si parla, invece, di movimento asintoticamente stabile nel momento in cui, per un movimento stabile, valga la condizione aggiuntiva:

\(\lim_{t \to \infty} |\dot{x}(t) - x_0| = 0\)

Nota bene: In generale, le proprietà di stabilità sono relative ai singoli movimenti, e non al sistema nel complesso. Si definisce bacino d’attrazione l’insieme dei valori tali per cui un movimento è stabile.

Stabilità del movimento per sistemi lineari

Per i sistemi lineari, la stabilità non dipende dalla generica condizione iniziale, ma dagli autovalori della matrice dinamica A, motivo per cui le proprietà di stabilità sono estendibili al sistema complessivo. Infatti, si ha che:

\( x(t) - x_0 = \Delta x_0 \)

Criterio degli autovalori: si ha asintotica stabilità (A.S.) se e solo se gli autovalori della matrice dinamica A hanno tutti parte reale negativa. In caso contrario, può essere instabilità o stabilità semplice.

\( \text{Sistema A.S.} \iff \text{Re}(\lambda_i) < 0, \ \forall i = 1, \ldots, n \)

Condizione sufficiente per l’instabilità è che \(\exists \lambda_i: \text{Re}(\lambda_i) > 0\). Nel momento in cui esiste almeno un autovalore di A con parte reale positiva, il sistema si dice instabile. Il criterio di Routh permette di determinare la stabilità di un sistema senza calcolarne gli autovalori.

Dato il polinomio caratteristico di ordine n

\( p(s) = \alpha_0 s^n + \alpha_1 s^{n-1} + \ldots + \alpha_n \)

Condizione necessaria è che i coefficienti siano tutti dello stesso segno e non nulli (per n = 2 condizione necessaria e sufficiente); condizione necessaria e sufficiente è che gli elementi della prima colonna della tabella di Routh siano tutti non nulli e di uguale segno. La tabella di Routh è una tabella di coefficienti di (n+1) righe.

Linearizzazione

Nel caso di sistemi non lineari, si dimostra che risulta possibile effettuare una linearizzazione secondo espansione di Taylor arrestata al primo ordine, nell’intorno di un punto di equilibrio.

Linearizzazione per un sistema del primo ordine

\( \dot{x} = f(x, u) \)

Taylor: \( \dot{x} \approx f(x, u) + \frac{\partial f}{\partial x} (x - x_e) + \frac{\partial f}{\partial u} (u - u_e) \)

Ovvero: \( \dot{x}(t) = a \Delta x(t) + b \Delta u(t) \)

La stessa approssimazione viene applicata alla trasformazione di uscita, in modo analogo, cos da ottenere il sistema linearizzato:

\( \dot{x}(t) = a \Delta x(t) + b \Delta u(t) \)

\( y(t) = c \Delta x(t) + d \Delta u(t) \)

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è un operatore matematico lineare che associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa. Dato il generico segnale \( f(t) \), \( t \in \mathbb{R} \), si ha:

\( \mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} f(t) dt \)

Con \( s \in \mathbb{C} \). In generale, s appartiene ad un sottoinsieme di C, definito regione di convergenza, in cui esiste il limite per t che tende a infinito e, dunque, ivi esiste la trasformata.

Trasformate notevoli di Laplace

• \( \mathcal{L}[\delta(t)] = 1 \)
• \( \mathcal{L}[\sin(\omega t)] = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \)
• \( \mathcal{L}[\cos(\omega t)] = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \)

Proprietà della trasformata di Laplace

(i) Linearità: L’operatore trasformata di Laplace è un operatore lineare, ovvero vale

\( \mathcal{L}[\alpha f(t) + \beta g(t)] = \alpha \mathcal{L}[f(t)] + \beta \mathcal{L}[g(t)] \)

(ii) Traslazione in s: \( \mathcal{L}[f(t)e^{at}] = \mathcal{L}[f(t)](s-a) \)

(iii) Derivazione in t: Rende algebrici legami differenziali.

\( \mathcal{L}[\dot{f}(t)] = s \mathcal{L}[f(t)] - f(0) \)

Anti-trasformata di Laplace

Si definisce anti-trasformazione l’operazione inversa, applicando l’operatore anti-trasformata di Laplace \(\mathcal{L}^{-1}\).

\( \mathcal{L}^{-1}(F(s)) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} F(s) e^{st} ds \)

Risulta di più semplice applicazione il metodo dei fratti semplici di Heaviside per ricavare l’anti-trasformata \( f(t) \), data \( F(s) \), riconducibile al rapporto di \( N(s) \) e \( D(s) \). Il metodo di Heaviside consiste nel ricondurre \( F(s) \) ad una somma di termini semplici, riconducibili alle trasformate notevoli. Il segnale \( f(t) \) si ottiene sommando i vari contributi nel dominio del tempo.

Nel caso in cui non sia possibile o agevole eseguire il calcolo di \( f(t) \), data \( F(s) \), esistono due teoremi che permettono di analizzare l’andamento qualitativo del segnale \( f(t) \). Tali teoremi sono applicabili anche alle derivate di \( f(t) \), per un migliore studio analitico della funzione.

Teorema del valore iniziale

Data \( F(s) \), il teorema permette di calcolare il valore iniziale di \( f(t) \), ovvero \( f(0) \).

\( f(0) = \lim_{s \to \infty} sF(s) \)

Teorema del valore finale

Il teorema permette di...