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ANALISI II
SUCCESSIONI funzioni definite sui numeri naturali (dominio N)
notazione: an (a con "n")
valore che la successione assume in n(n indice), termine n-esimo
an = 1/n
Rappresentazione grafica
- Esempio:
- an = 1/n e n>0
grafico a punti orizzontale
- Esempio:
- {an}n∈N
disporre i valori della successione su una retta ordinata
In N non ci sono punti di accumulazione (sono tutti punti isolati) ma è illimitato superiormente; quando l'unico limite sensato è
- convergente
- divergente
- irregolare
limn→+∞ an
I limiti:
- limn→+∞ 1/n = 0
- limn→+∞ 1/n2 = 0
- limn→+∞ 2n = +∞
- limn→+∞ n2 = +∞
- limn→+∞ n2 = +∞
- limn→+∞ x2 = +∞
- limn→+∞ ln n = +∞
- limn→+∞ ln n2 = 0
- Esempio:
- an = n!
- bn = (-1)n
- +1 n pari
- -1 n dispari
Ogni numero naturale ha il suo successivo
SUCCESSIONI PER RICORRENZA il primo termine è definito e poi definisco chi è il termine successivo e così via
Es { a1 è definito an+1 = f(an)}
{ a1 = 2 an+1 = 2an, n > 1}
Es Successione di Fibonacci (definita partendo da più termini precedenti) { a0 = 1 a1 = 1 an+1 = an + an-1 n > 1}
an è crescente se ∀n < m ⇒ an ≤ am
∀n∈N ⇒ an ≤ an+1
Si usa definitivamente per certe proprietà se esse partono da un certo limite. an ha definitivamente la proprietà P(n) se ∃n̅∈N t.c an ha la proprietà P(n) per n≥n̅
Es bn = n - 5 è definitivamente positiva da n̅ = 6 ∀n ≥ n̅ bn > 0
- lim an = 0 { an }{ n∈N } è una successione infinitesima
- lim an = 0 ⇔ lim | an | = 0
- Teorema del confronto xn ≤ an ≤ bn definitivamente
lim cn = lim bn = L ⇒ lim an = L
In generale se f è monotona lim f(x) { x→∞ } L se an cresce
lim an { n→∞ }
L lim f(x) { x→∞ } -∞ se decresce
lim an { n→∞ } -∞
- Confronti tra infiniti:
lim { n→∞ } ln n < na < bn < nn a > 0 , b > 1
Es lim { n→∞ } nn / (-2)n { n→∞ } lim { n→∞ } n² / 2n = 0
Es
\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin^2(n^2+n^{1/2})}{n^2}\]
\[0 < \frac{\sin^2(n^2+n^{1/2})}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\] converge, quindi anche la serie di partenza
CONFRONTO ASINTOTICO
\(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\ \ \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}\ \ \ a_n > 0\) definitivamente \(b_n > 0\) definitivamente
se \(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} \neq 0\) allora \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\) e \(\sum_{n=1}^{+\infty} b_n\) hanno lo stesso carattere
Es
\(\sum_{n=1}^{+\infty} \sin\left(\frac{1}{n^4}\right)\)
\(\sin\left(\frac{1}{n^4}\right) > 0\)
\[\sin\left(\frac{1}{n^4}\right) \approx \frac{1}{n^4}\]
\(\rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}\) converge con \(d > 1\) diverge con \(d < 1\)
\(\cdot\) Se \[\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = 0\rightarrow 0 \leq a_n \leq b_n,\] definitivamente e si applica il confronto diretto
\(\cdot\) Se \[\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = +\infty\rightarrow 0 \leq b_n \leq a_n,\] definitivamente e si applica il confronto diretto
Es
\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2+\cos n}{n} = +\infty\]
\[ \frac{1}{n} \leq \frac{2+\cos n}{n} \leq \frac{3}{n} \] \((\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} = +\infty)\)
non serve perché
\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{n+1} = +\infty\]
Es
\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{3+1}}{n^3}\ \ \cdot \alpha > 0\]
\[ \frac{n^{3+1}}{n^3+n} \approx \frac{n^α}{n^{3-α}} \]
\[\rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{3-α}}\]
\(\beta - \alpha > 1 \ (\alpha < 2) \rightarrow\) converge
\(\beta - \alpha \leq 1 \ (\alpha \geq 2) \rightarrow\) diverge
\[\delta \le 0 \ \ \cdot \ \ \frac{n^{3+1}}{n^3+n} \approx \frac{1}{n^3}\]
\(\rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3} \rightarrow\) converge
∑ |x|n n2+3 / n2+1 converge (stesso caso 0
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