Appunti per esame orale di Analisi matematica II

SERIE DI Fourier

Funzione Periodica:

Sia \( f: A \rightarrow \mathbb{B} \), \( A \neq \emptyset \), \( A \subseteq \mathbb{B} \), si dice che \( f \) è periodica di periodo \( T > 0 \) se:

\( f(x+T) = f(x) , \, \forall x \in A \)

Data una funzione \( f \) periodica di periodo \( T \), possiamo modificarne la struttura attraverso una dilatazione/contrazione per renderla periodica secondo un altro periodo \( T' > 0 \).

\( g(x) = f \left( \frac{T}{T'} x \right) \)

e osserviamo che la nuova funzione \( g \) è periodica di periodo \( T' \), infatti:

\( g(x+T') = f \left( \frac{T}{T'} (x+T') \right) = f \left( \frac{T}{T'} x + T \right) = f \left( \frac{T}{T'} x \right) \)

\( = g(x) \)

Osservazione

Una funzione periodica di periodo T risulta periodica anche di periodo kT con k ∈ ℕ. Pertanto due funzioni periodiche f e g di periodo, rispettivamente, T e T' possono considerarsi periodiche di uno stesso periodo m ≠ 0 se esistono:

h, k ∈ ℕ tali che m ⋅ h ⋅ T = k ⋅ T'

Le funzioni trigonometriche sin x, cos x sono classici esempi di funzioni periodiche, il cui periodo è 2π. Anche le funzioni sin kx, cos kx sono funzioni periodiche, con periodo 2π/k. Poiché la combinazione lineare di funzioni periodiche di periodo T è ancora periodica di periodo T e le funzioni costanti sono periodiche di qualunque periodo, possiamo quindi osservare che le seguenti funzioni sono periodiche di periodo 2π:

a_0 / 2 + ∑ k=1 n ( a_k cos kx + b_k sin kx ) , ∀ n ∈ ℕ

Questa funzione viene chiamata polinomio trigonometrico di ordine "n".

2)

Siano date le serie

∑_k=1^∞ (-1)^k a_kcoskx

∑_k=1^∞ (-1)^k b_ksinkx

Supponendo che:

1. a_k > 0 b_k > 0 ∀k ∈ N
2. (a_k)_k e (b_k)_k sono monotone decrescenti
3. a_k → 0 b_k → 0

=> Le serie convergono in [0, π] ∪ (π, 2π]

In x=π la serie del coseno potrebbe convergere o meno, mentre la serie del seno diventa nulla.

Teorema

Sia f₁: [0, T] → ℝ regolare a tratti, allora la serie di Fourier converge in ogni punto x ∈ [0, T] e ∀ x ∈ (0, T) la somma della serie è la media fra il limite sinistro e il limite destro in tale punto, ovvero:

f(x) = ^_∞ ∑ _k=1 (a_k cos wkx + b_k sin wkx) = (₋f₁(x) + ₊f₁(x))/2, ∀ x ∈ (0, T)

Mentre in x=0 e in x=T converge a (₋f₁(0⁺) + ₊f₁(T⁻))/2

Si osserva che, nei punti x ∈ (0, T) in cui la funzione risulti continua, la serie di Fourier converge proprio al valore f₁(x) (quota)

Definizione:

Diciamo che una funzione f: ℝ ⁻> ℝ, periodica di periodo T > 0 è sviluppabile in serie D. Fourier in ℝ o ℝ* se la sua serie di Fourier converge in A ed ha per somma la funzione stessa f(x), ovvero:

f(x) = a₀/2 + ^_∞ ∑ _k=1 (a_k cos wkx + b_k sin wkx)

Tutto questo è sempre verificato se f(x) è regolare a tratti

Teorema di rettificabilità delle curve regolari

Sia φ: I → Rⁿ regolare:

1. φ è rettificabile
2. L(φ) = ∫_I ||φ'(t)|| dt

Dimostrazione

Prendiamo una qualunque partizione P: {t₀, t₁, ..., t_n}

L(P) = ∑_i=1ⁿ ||φ(t_i) - φ(t_i-1)||

Dal momento in cui φ è regolare:

φ ∈ C¹(I)

Se φ ∈ C¹(I) posso applicare a φ il teorema fondamentale del calcolo integrale nel seguente modo:

φ(t_i) - φ(t_i-1) = ∫_ti-1^t_i φ'(t) dt

||φ(t_i) - φ(t_i-1)|| = ||∫_ti-1^t_i φ'(t) dt|| ≤ ∫_ti-1^t_i ||φ'(t)|| dt

∑_i=1ⁿ ||φ(t_i) - φ(t_i-1)|| ≤ ∑_i=1ⁿ ∫_ti-1^t_i ||φ'(t)|| dt = ∫_a^b ||φ'(t)|| dt

Ascissa Curvilinea

Sia ψ: [a,b] → ℝⁿ regolare

• Calcoliamo la lunghezza dell'arco ψ(a)-ψ(t) attraverso il teorema delle curve rettificabili

S(t) = ∫_a^t ||ψ'(z)|| dz funzione integrale (2° estremo variabile)

• Sappiamo che S(t) è una funzione continua
• Indicano con L=L(ψ) la lunghezza della curva ψ, possiamo definire l'applicazione S(t) nel seguente modo:

S: [a,b]→[0,L], dal momento in cui la funzione S è continua e [a,b] rappresenta un intervallo,

• Dal teorema dei valori intermedi sappiamo che anche [0,L] costituisce un intervallo.
• Dalle proprietà della funzione integrale sappiamo che essendo l'integranda di classe C¹ e di conseguenza anche continua allora la funzione integrale S risulta continua e derivabile.

Definiamo B(s) = T(s) x N(s), versore binormale, è un versore ortogonale al piano osculatore e si ottiene dal prodotto vettoriale dei versori tangente e il vettore normale

Calcoliamo ora B'(s) = T'(s) x N(s) + T(s) x N'(s)

⇒ B'(s) ⊥ T(s) x N'(s) ⇒ B(s) + B'(s), se B(s) è ortogonale al piano osculatore ⇒ B'(s) ⊥ al piano osculatore

Dal momento in cui B'(s) = T(s) x N'(s) se ne deduce che B(s) ⊥ T(s), B'(s) ⊥ N(s) ⇒ se B'(s) ⊥ T(s) e T(s) ⊥ N(s)

⇒ B'(s) ⊥ N(s) ⇒ se B'(s) ∉ T(s) possiamo definirlo come una combinazione lineare di N(s)

⇒ B'(s) = T(s) · N(s) ⇒ ||B'(s)|| = |τ(s)| ⋅ ||N(s)||

||B'(s)|| = |τ(s)|, la crescita della norma del vettore derivata del versore binormale dipende solo da |τ(s)|, τ(s) prende il nome di torsione della curva e rappresenta la velocità con cui la curva abbandona il piano.

R(k) = _{h(x0, y0 + k) - h(x0, y0)}/^k

SE _l in _R lim R(k) _k->0 => h è DERIVABILE PARZIALMENTE

RISPETTO A "Y" IN P₀

SIGNIFICATO GEOMETRICO

NEL MOMENTO IN CUI SI IDENTIFICA UNA DIREZIONE NEL DOMINIO NEL CODOMINIO AVREMO UN "TAGLIO" IL CUI PROFILO CORRISPONDERÀ AD UNA FUNZIONE DI UNA SOLA VARIABILE E LA DERIVATA DI QUESTA FUNZIONE SARÀ LA DERIVATA PARZIALE DELLA FUNZIONE DI PARTENZA IN DUE VARIABILI LUNGO LA DIREZIONE STABILITA NEL DOMINIO DAL MOMENTO IN CUI LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE DI UNA SOLA VARIABILE DETERMINA L'ESISTENZA DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO IN QUESTA SITUAZIONE

• Calcolo la differenza h_x(x, y) - h_x(x₀, y₀), riscrivendola come:

h_x(x, y) - h_x(x₀, y₀) - h_x(x, y) - h_x(x₀) + h_x(x, y₀) - h_x(x₀, y₀)

• Mi concentro su ① e restringo la funzione al segmento che congiunge x₀ - x

h(t) = h_x(t, y₀)   t ∈ [x₀, x]

Sappiamo che h è una funzione derivabile, in quanto la sua derivata equivale alla derivata parziale lungo "x" della h_x in quanto essendo h_ε P▯ n cui h_ε è derivabile parzialmente, possiamo derivare h(t) nel seguente modo:

h'(t) = h_x(t, y₀)   Essendo h una funzione di una sola variabile, sappiamo che se è derivabile, allora è anche continua. Applichiamo quindi il teorema di Lagrange

∃ x̃ ∈ (x₀, x) : h'(x̃) = ^{h(x) - h(x₀)}/_{x - x0}

h_x(x̃, y₀) = ^{h(x, y₀) - h(x₀, y₀)}/_{x - x0}

⇒ h_x(x̃, y₀)(x - x₀) = h(x, y₀) - h(x₀, y₀) [①]