Analisi matematica II - Appunti

Serie Numeriche

Data una successione {a_k} la serie è la somma di tutti i termini:

a₀ + a₁ + ... + a_k + = ^∞Σ_k=0 a_k

Da questo è possibile definirne un'altra:

S₀ = a₀

S₁ = a₀ + a₁

S_k = a₀ + a₁ + ... + a_k

• Successione delle somme parziali ridotte
• lim_n S_n = S

(S ∈ R, la serie converge

S = +∞, la serie diverge positivamente

S ≠ lim_n, la serie è indeterminata

Esempi:

• Serie geometrica:
  • ^∞Σ_k=0 q^k converge a 1 / (1 - q) per |q| < 1
  • diverge a + ∞ se q ≥ 1
  • è indeterminato se q ≠ -1
• S_n = 1 + q + ... + qⁿ → moltiplico per (1 - q)

(1 - q)S_n = (1 + q + ... qⁿ)(1 - q) = 1 - q + q² - ... - qⁿ qⁿ⁺¹ = 1 - qⁿ⁺¹

• da cui: S_n = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) facendo i limiti: con q ≠ 1
  • -se |q| < 1, lim_n (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) = 1/(1 - q)
  • -se q ≥ 1: lim_n (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) = +∞
  • -se q ≠ 1: lim_n (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) ≠ 7

• caso particolare: q = 1 → S_n = 1 + 1 ... 1 = n + 1 facendo il
  • limite : lim_n n + 1 = +∞
• la serie ^∞Σ_k=0 (-1)^k è indeterminata

Serie di Mengoli:

^∞Σ_k=1 1/(k(K + 1)) = ^∞Σ_k=1 1/k - 1/(k + 1)

- Criterio del confronto:

(per le serie a tern positivi)

Siamo _k=0 ^∞a_k = s e _k=0 ^∞b_k = t . Se a_k ≤ b_k ∀ k .

1. Se _k=0 ^∞b_k converge → _k=0 ^∞a_k converge
2. Se _k=0 ^∞a_k diverge → _k=0 ^∞b_k diverge

Dim:

1. _k=0 ^∞ a_k ≤ _k=0 ^∞b_k poiché a_k ≤ b_k

   S_n ≤ T_n → lim S_n ≤ lim T_n

2. Se per assurdo b_k convergesse anche a_k dovrebbe convegere anche per la 1^a dim.

Esempi

_k=1 ^{∞ 1}/_k → Serie Armonica

poiché ¹/_k ≥ log (1 + ^l/_k) ∀ k → _k=0 ^{∞ 1}/_k diverge

Serie armonica generalizzata:

_k=0 ^{∞ 1}/_k^α →

• diverge se 0<α≤1
• ? se 1<α<2
• converge se α≥2

- criterio del confronto asintotico:

(per le serie a ten positivi)

Se le serie sono equigrandi (ovvero lim _{k& rarr; + ∞} a_k / b_k = l , l ε R / {O} le due serie hanno lo stesso comportamento,

Dim: Per le ipotesi le successioni ^a_k/_bk e ^b_k/_ak convergono per cui ∃ M₁, M₂ O :

• Se _ak < b_k e cosi anche il contrario
• ^b_k ≤ M₁a_k
• Se b_k diverge anche a_k diverge

Prodotto alla Cauchy

C_K = Σ_J=0^K a_J b_K-J = a₀b_K + a₁b_K-1 + ... + a_Kb₀,

se le serie Σ_K=0^∞ a_K e Σ_K=0^∞ b_K sono assolutamente convergenti.

Σ_K=0^∞ C_K = (Σ_K=0^∞ a_K) (Σ_K=0^∞ b_K)

Successioni di funzioni

{f_n(x)}_{n ϵ ℕ₀} f_n : x ϵ X → f_n(x) ϵ ℝ

• Si dice che {f_n} converge puntualmente in x̄ se la successione numerica {f(x)} converge per n → ∞
• f : A → ℝ è funzione limite se

lim_n f_n(x) = f(x) → lim_n |f_n(x) - f(x)| = 0

Esempio

f_n(x) = sin(x + 1/n) con n ≥ 1 → lim_{n → ∞} f_n(x) = sin(x)

f_n converge puntualmente a sen x

Secondo le definizioni di limite:

∀ x ϵ A, ∀ ε > 0 ∃ n̅ = n̅(ε,x) : ∀ n ≥ n₀, n ≥ n̅ ⇒ |f_n(x) - f(x)| < ε

nel caso di sola convergenza puntuale non è detto che se f_n sono continue anche f₁ limite lo sia.

Convergenza uniforme

lim_{n → ∞} sup_{x ϵ A} | f_n(x) - f(x) | = 0

convergenza uniforme in A

sup_{x ϵ A} |f_n(x) - f(x)| = ∥f_n - f∥_{∞, A}

∀ ε > 0 ∃ n̅ = n̅(ε) : ∀ n ≥ n̅

⇒ sup_{x ϵ A} |f_n(x) - f(x)| < ε

⇒ ∀ ε > 0, ∃ n̅ = n̅(ε) : ∀ n ≥ n̅, ∀ x ϵ A |f_n(x) - f(x)| < ε ∀ x ϵ A

esiste ed è unico R ∈ R: la serie converge assolutamente e puntualmente per ogni x: |x| R = {0 se l =+∞ +∞ se l = 0→ in questo caso a = 0 1/l se 0 < l < +∞}

∑_k=0^∞ (a^k_{… k} ) x^k : serie binomiale, R = 1

Criterio della radice

Data la serie ∑_{k = 0}^∞ a_k(x – x_o)^k allora

lim_{k → ∞} ^k√|a_k| = l => R come per il criterio del rapporto

Teorema (Raggio serie Somme)

Dato le serie ∑_{k = 0}^∞ a_k x^k e ∑_{k = 0}^∞ b_kx^k con raggio di conv. R₁ e R₂ allora il raggio di conv. di ∑_{k = 0}^∞ (a_k+b_kx)^k è: i) R = min{R₁, R₂} se R₁ ≠ R₂ ii) R ≥ min {R₁, R₂} se R₁ = R₂}

Per le formule inverse:

θ = √(α²+β²) e φ = arctan(α/β)

Polinomio Trigonometrico

P(x) = a₀ + a₁cosx + b₁sinx + ... + a_ncosn x + b_nsinn x =

= a₀ + ⁿ∑_k=1(a_k coskx + b_k sinkx)

Polinomio con 2n+1 coefficienti

Il polinomio può essere espresso come P(x) = a₀ + ^∞∑_k=1 α_k sin(kx+φ)

Partendo da un polinomio algebrico P(x,Y) e sostituendo

X = cosx Y = sinx si arriva al polinomio trigonometrico

In realtà anche le funzioni non periodiche possono essere viste come funzioni con periodo uguale al dominio

Determinate funzioni periodiche possono essere approssimare tramite polinomi trigonometrical Non è necessario che le funzioni siano e.e^".

f è una funzione continua e tratta quando è possibile trovare un num. fin. di punti 0 ≡ x₀ < x₁ < ... < x_n ≡ T

-tali che f è continua in ogni (x_i ; x_i+1) - per ogni i esistono finiti i limiti

f(x_i⁺) = lim_{x→ xi⁺} f(x) e f(x_i^-) = lim_{x→ xi^- f(x)}

L₂ ogni funzione continua è anche continua in (0 ; T->)

Con f funzione periodica

la funzione può avere disoncontinuità ma solodi 1^° specie