Analisi matematica II - Appunti

f integrabile secondo Riemann ⇔ ∀ε>0 ∃P: S(f,P)-s(f,P)<ε

Hp: ∀ε>0 ∃P: S(f,P)-s(f,P)<ε (1)

S∪(f)=S(f,P) T.H. f è integrabile secondo Riemann: {s(f):=s(f,P) con

  ↓(f):sup S(f,P)

  s(f,P):-inf S(f,P)

o che ∃(f)≥S(f,P) perché S(f,P) è l'estremo superiore di s(f,P)

o che s(f)≤s(f,P) perché s(f) è l'estremo inferiore di S(f,P)

quindi sottraendo membro a membro S(f)-s(f)≤S(f,P)-s(f,P)<ε

ε >0

vo la (*) S(f):∃(f) s(f):={S(f,P)-s(f,P)

s(f)) = S(f)-ε

Se ε>0 S(f)-s(f)=0 quindi: S(f):=s(f) Q.V.D.

(*) s(f,P):=sup s(f,P)

Hp: S(f,P):=inf S(f,P)

s(f,P)-S(f,P) = S(f)

(2) e s(f)≥s(f) (3)

considero le proprietà degli estremi inferiori e superiori: (2) e (1)

f, ε >0 ∃P: s(f,P)>ε(f,P))-ε₂  (**)

ε>0 ∃Q: ∃(f,Q)≤∃2 (**)  M

considero R=P∪Q quindi ε>0

R=P ∪ Rý, (f,R)>ε(*)

D=Ps (f)

ε* 

D(f,R):={S(f,R)≤δε(")e (codice) di S(f,M) (*)

S(f,R):=S(f,Q)+S(f)

e β(f,R):=-{S(f,R), &exists;(-R)}≤S(f)

aggiungendo (!) membro a membro β(f,Q):=S(f,Q)(ε)

S(f,R):=S(f,Q):=(S(f,f):=S(f(S(f

ma per le (*) e le (**) •(f) Δ(f,R)-S(f,R)<ε→∀ε

Q.V.D.

Forma di Cantor

{f:[a,b]:→⊆

[/] continue(f)

{

ε>0ε: (r(mx)-f(x

  | f((mv)→f(x

  > ( μ)!=-1

)>(1/))>m (xm-σm|xm-x_n  ()==>|f(xmn)-f(xm_n)|>ε•

^n^ S {x o la loro - infinito}

{ x, xm_nm,n⊃e;

si convergono passatemi a s. cioè{ xmo_n⊃N

{ xmn union

Lungo x

e il (* ⊆ rico tra le unione x_m→ x_m,↑

(*)-devono convergere:>

e (x²→ di z (f

e continuo f(x_mn)→f(x

)^lim e O(ε0 quindi

lim&, m

f(x_mn)^rarr; lim(ε})

)quidin tutti xmn

)<ε D₀• llim ε’ llg lFε,nm_k)<ε=0 ASSURDO

f è integrabile secondo Riemann ∀ε>0 T.P. S(f,P) - s(f,P) < ε

Hp: ∀ε>0 ∃ P: S(f,P) - s(f,P) < ε (1) Th: f è integrabile secondo Riemann.∃(f) = S([f]) con ∃(f): sup (s(f,P))s([f]) = inf (S(f,P))

o che ∃(f)≥S(f,P), perché s(f,P) è l'estremo superiore di s(f,P)o che s([[f]])≤S(f,P) perché S(f,P) è l'estremo inferiore di S(f,P)quindi: sottraendo membro a membro S([[f]]) - s([[f]]) ≤ S(f,P) - s(f,P) < εper la (1) S([[f]]) - s([[f]]) ≤ S(f,P) - s(f,P) < εquindi S([[f]]) - s([[f]]) < ε

Se ε>0 S([[f]]) - s([[f]]) < ε quindi: S([[f]]) = s([[f]]) E.V.D.

∫ ^b_a f = ∫ ^b_a S(f,P), P (2)Hp: S(f,R) - s(f,R) < εs([[f]]) ≤ s(f,R) (3)s([[f]]) ≤ s(f) (3)

Considero le proprietà degli estremi inferiore e superiore: (2) e (1)f ∈ ^a ∀P: ∣S(f,P) - s(f,P)∣ > ε₁ (4*) Considero R= P ∪ Q quindiε > 0 ∃ Q: S([[f]],Q) < S([[f]]) + ε₂ (4*)

Δ(f,P) = S(f,R) ≤ S(f,P) per la (*) e la (4*)allora per Δ*_{ε2 ,s(f,P) ≤ s(f,R)s([[f]],R) - s(f,R) < S([[f]]) - Δ(f)^ε2 ε3 ∈ S(f,R) < S([[f]]) + εfs(f,R) - s([[f]],R) ≤ ∣ S(f,P)S(f,R) - S([[f]],R) < ε (2*)S([[f,R) - s([[f]])< ε (2*)s(f,P) < ε2 quindi S(f,R) - S([[f]])s(f,R) - s([[f]]) < ε1 E.V.D.}

FORME DI CANTOR

{f: [a; b] -⟶ R f continua (4)

Th { f è uniformemente continua: ∀ ε > 0 ∃ δ: 1/_n-1 | x_n - x_n-1 | => | f(x_n) - f_(x) | < εper assurdo : ∃ ε₀: δ < 1/mix | x _n - x_n* |) => ( |f(x_n) - f(x_{n*sub>)| < ε0con {xn} ⁿ 0 m sono due successioni composte in [a;b+ quindi per il thé è posso estrarre se sotto successioni : { xm^{sexnse⟶ x nk⟶ xe il th ponte : λ se per la (4) f è continua f(xn)⟶ f(x)f(xn⟶ f(<}}

lim | f(x_{n)⟶ f(x) lim f(< epsilon}

se ∫ è continua e limitata => f è integrabile secondo Riemann

sup{|f|:x∈[a;b]}=m

{f:[a;b]->R

{f continua (1)

Tm ∃ε>0 ∃P: S(f,P)-(b-a)p