INTEGRALI MULTIPLI
1. Integrali doppi su rettangoli.
Sia R=[a,b]x[c,d] un rettangolo contenuto in 2 e denotiamo la sua area con |R|=(b-a)(d-c).
Consideriamo una partizione P di R in m x n rettangoli
Ri,j=[xi-1, xi] x [yj-1, yj]
dove
a = x0 < x1 < x2 < ... < xm-1 < xm = b
e
c = y0 < y1 < y2 < ... < yn-1 < yn = d
Sia ora f : R → R una funzione limitata e poniamo
mi,j = inf f {(x,y) : (x,y) ∈ Ri,j},
Mi,j = sup f {(x,y) : (x,y) ∈ Ri,j}.
3. Domini semplici e formule di risoluzione
Un sottoinsieme D⊂ℝ² si dice DOMINIO SEMPLICE RISPETTO ALL'ASSE Y se ∃ φ₁, φ₂∈C([a,b]) : φ₁≤φ₂ e
D= { (x,y)∈ℝ² : x∈[a,b] e y∈[φ₁(x),φ₂(x)] }
mentre si dice DOMINIO SEMPLICE RISPETTO ALL'ASSE X se ∃ ψ₁, ψ₂∈C([c,d]) : ψ₁≤ψ₂ e
D= { (x,y)∈ℝ² : y∈[c,d] e x∈[ψ₁(y),ψ₂(y)] }
Dato che la frontiera è costituita da grafici di funzioni continue si dimostra che i domini semplici sono misurabili. Inoltre un dominio semplice è chiuso e limitato.
Visto che l'integrale intero 0∫1 et3dt non si riesce a risolvere proviamo a risolvere rispetto a x
∫y=01 (∫x=0y2 ey3 dx) dy = ∫y=01 ey3(∫x=0y2 dx) dy
= ∫01 et3 [ x ]0y2 dy = ∫01 y ey3 dy = [ ey3⁄3 ]01 = e-1⁄3
ESEMPIO 3.
Calcolare il volume dell'inserione delimitato dai piani y = 0, z = 0, z = 1 − x + y e dalla superficie y = 1 − x2.
Consideriamo come dominio D = { (x,y) ∈ ℝ2 : x ∈ [ −1,1 ], y ∈ [0, 1−x2] }e come funzione f(x,y) = 1 − x + y
Allora V = ∬D f(x,y) dxdy = ∫x=−11 (∫y=01−x2 (1 − x + y) dy ) dx
Il valore medio di una funzione f: D → R
su D di misura non nulla si definisce come
D = 1/|D| ∬D f(x, y) dx dy
Esempio
Calcolare il valore medio della funzione
f(x, y) = (1 - 2x)·y
sull'unione D = D1 ∪ D2
|D| = |D1| + |D2| = ∫01 √x dx + ∫12 1/x dx = [2/3 x3/2]01 + [-1/x]12 = 7/6
∬D1 (1-2x)·y dx dy = ∫01 (1-2x)(∫0√x y dy) dx
= ∫01 (1-2x) x2 dx = [x2/4 - x3/3]01 = -1/12
∬D2 (1-2x) y dx dy = ∫12 (1-2x)(∫1/x21 y dy) dx
= ∫12 (1-2x) 1/2x4 dx = [-1/6x3 + 1/2x2]12 = -11/48
Quindi
D = 1/7/6 (-1/12 - 11/48) = -15/56
= ∫-11 [y - xg + y22]1-x2o dx
= ∫-11 [(1-x2) - x(1-x2) + (1-x2)22] dx
= 2∫01 ((1-x2) + 12 (1-2x2+x4)) dx
= 2 [32x - 2x33 + x510]10 = 2( 32 - 23 + 110) = 2815
ESEMPIO 4.Calcolare il volume della sfera di raggio 1.Poniamo il centro nell'origine e calcoliamo il doppio del volume della semisfera.
V = 2 ∫∫√1-x2-y2 dx dy{x2+y2≤1}
= 2 ∫-11 ( ∫-√1-x2√1-x2 √1-x2-y2 dy) dx
= 2 ∫-11 (∫-π2π2 √1-sin2 t * cos t dt) dx
= 2 ∫-11 (1-x2) (∫-π2π2 co
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