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INTEGRALI MULTIPLI
1. Integrali doppi su rettangoli.
Sia R = [a,b] x [c,d] un rettangolo contenuto in R2 e denotiamo la sua area con |R| = (b-a)(d-c).
Consideriamo una partizione P di R ai mxn rettangoli
Ri,j = [xi-1, xi] x [yj-1, yj]
dove
a = x0 < x1 < x2 < ... < xm-1 < xm = b
e
c = y0 < y1 < y2 < ... < yn-1 < yn = d
f : R -> R una funzione limitata e poniamo
mi,j = inf { f(x,y) : (x,y) ∈ Ri,j } ,
Mi,j = sup { f(x,y) : (x,y) ∈ Ri,j } .
Definiamo la SOMMA INTEGRALE INFERIORE
di f relativa alla partizione P le somme
s(f,P) = Σi=1m Σj=1n mij |Rij|
mentre la SOMMA INTEGRALE SUPERIORE è
S(f,P) = Σi=1m Σj=1n Hij |Rij|
Si osservi che se P e P' sono due partizioni di R allora
s(f,P) ≤ S(f,P')
Poniamo
s(f) = sup { s(f,P) ; P partizioni di R }
S(f) = inf { S(f,P) ; P partizioni di R }
allora s(f) ≤ S(f)
Diciamo che f è INTEGRABILE su R se
s(f) = S(f)
Il valore di tale uguaglianza si dice INTEGRALE DOPPIO di f su R e si indica con i simboli:
∬R f(x,y) dxdy o ∬ta ∬dc f(x,y) dxdy
3. Domini semplici e formule di riduzione
Un sottoinsieme \( D \subset \mathbb{R}^2 \) si dice DOMINIO SEMPLICE RISPETTO ALL’ASSE Y se ∃ \( \varphi_1, \varphi_2 \in C([a,b]) \) ; \( \varphi_1 \le \varphi_2 \) e
\( D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; : \; x \in [a,b] \; e \; y \in [ \varphi_1 (x), \varphi_2 (x) ] \} \)
mentre si dice DOMINIO SEMPLICE RISPETTO ALL’ASSE X se ∃ \( \psi_1, \psi_2 \in C ([c,d]) \) ; \( \psi_1 \le \psi_2 \) e
\( D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; : \; y \in [c,d] \; e \; x \in [ \psi_1 (y), \psi_2 (y) ] \} \)
Dato che la frontiera è costituita da grafici di funzioni continue, si dimostra che i domini semplici sono misurabili. Inoltre un dominio semplice è chiuso e limitato.
ESEMPIO 4.
Calcolare il volume della sfera di raggio 1. Poniamo il centro nell’origine e calcoliamo il doppio del volume della semisfera.
V = 2 ∫{ x2+y2 ≤ 1 } ∫√1-x2-y2 dydx
= 2 ∫-1 1 ∫−√1−x2 √1−x2−y2 dydx
Poniamo y = √1-x2 sin t cos t dy = √1-x2 cos t dt con t che varia in [ −π/2 , π/2 ]
= 2 ( ∫-1 1 √1−x2 ∫-π/2 π/2 √1−sin2 t . cos t dt)dx
= 2 ∫-1 1 (1-x2 ) ∫π/2 -π/2 cos2 t dt)dx = π ( ∫ -1 1 (1-x2 )dx = 4π/3
Ricordando che per una matrice quadrata invertibile M si ha che
det M = 1/det(M-1)
allora
det | ∂(u,v)/∂(x,y) | = det | -y/x2 1/x1 1 = ( y + x/x2 )-1 = -x2/y + x
Così
∬D αxdy/x2 = ∫u=12 ∫v=13 1/xy + x
=∫u=12 ∫v=13 du/dv = log(2) ∙ log(3)
ESEMPIO 7.
Calcolare il volume della sfera di raggio R. Come nell'esempio 4 calcoliamo il doppio del volume della semi-sfera di centro O. Questa volta usiamo però le coordinate polari
V = 2 ∬R√R2 -- x2 ≤ y2 √R2 -- x2 dxdy =2 ∫2πθ=0 ∫ √R2 -- ρ2, ρ dρ dθ R R =4π ∫ √R2 -- ρ2 ρ dρ = 2π √t ∙ dt = 2π [2t3/2/3]R2
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