Appunti di Fondamenti di automatica - primo parziale

Osservando la trasformata di Laplace:

• Radici del polinomio a denominatore della TdL = POLI della TdL, importanti per il comportamento del segnale.
• Radici del polinomio a numeratore della TdL = ZERI della TdL.

Se i segnali sono LIMITATI (né div né conv), come seno coseno o gradino, i poli stanno sull'asse IMMAGINARIO. Altrimenti, vedi esponenziale, sull'asse REALE, se a<0 -> parte reale<0 -> converge, STABILE | se a>0 -> div.

TdL della derivata di f(t): TdL dell'integrale di f(t): Se derivare vuol dire moltiplicare per s, integrare vuol dire dividere per s.

Proprietà delle TdL:

• Lineare = trasformata della somma du funzioni uguale alla somma delle trasformate dei singoli addendi.
• TdL della derivata.
• TdL dell'integrale.

Quando le condizioni iniziali sono nulle e il sistema è lineare tempo-invariante causale a derivata finita posso scrivere:

Formula dei residui (o sviluppo di Heaviside): si

cerca di mandarea 0 il denominatoresia di A che di B.

Oss: il residuo del polo p è il coniugato del residuo del polo p.

Anti trasformata fratta:

Si procede con lo sviluppo in FRATTI SEMPLICI:

Questo ci permette di scrivere l’antitrasformata di F(s):

Riassumendo: Se F(s) è una funzione razionale fratta strettamente propria con tutti poli semplici, allora la sua antitrasformata sarà una combinazione lineare di esponenziali i cui esponenti sono proprio i poli di F(s).

Se i poli NON fossero tutti DISTINTI, i poli diventeranno sempre gli esponenti MA i coefficienti non sono più costanti e saranno polinomi di grado la molteplicità del polo -1

Analisi della risposta di un sistema e Analisi Modale:

Modello I-O:

obiettivo:Date le condizioni iniziali e l’andamento dell’ingresso u(t) si vuole determinare l’andamento incognito dell’uscita y(t).

3 passi:

- dato u(t) determinare la sua TdL

- determinare Y(s) a partire da U(s) tramite

l'uso di G(s) • anti trasformare Y(s) per tornare al dominio del tempo.

Modello di stato:

Obiettivo: Dato l'ingresso u si vuole determinare la risposta dell'uscita y(t) e quella dello stato x(t).

Il fatto che la risposta complessiva è data dalla somma di LIBERA (per condizioni iniziali nulle) e FORZATA (per ingresso nullo), va sotto il nome di Principio di Sovrapposizione degli effetti.

Calcolo della risposta all'impulso:

Calcolo della risposta a gradino (costante):

L'uscita si porta asintoticamente (per t—>inf) al valore di regime y=u con un transitorio oscillante di pulsazione=1.

La pulsazione è uguale alla parte immaginaria dei poli.

Il transitorio si esaurisce con costante di tempo che coincide con il valore del reciproco cambiato di segno della parte reale del polo.

Oss: la risposta del sistema ha carattere oscillatorio se sono presenti nella funzione trasferimento poli non reali con parte immaginaria diversa da 0.

Considerazioni

generali: forma generale di Y(s) che dovremmo poi antitrasformare:

Oss: La risposta è sempre una combinazione lineare di modi (funzioni del tempo) del tipo:

• modo impulsivo
• modi pseudo-esponenziali (esponenziali se j=1)

Il numero totale dei modi impulsivi è pari al grado del denominatore di Y(s).

Oss: La presenza di poli complessi coniugati di molteplicità n origina nella risposta 2n modi pseudoperiodici:

Detti MODI NATURALI o modi del sistema.

In generale il denominatore di Y(s) ha poli distinti reali poli complessi coniugati, dunque il numero totale dei poli distinti sarà r= l+2h e avrà

Si definiscono modi naturali di un sistema LTI le funzioni temporali associate ai poli reali e complessi coniugati, quelli relativi ai primi sono modi aperiodici mentre i secondi pseudo-periodici.

Oss: la risposta libera del sistema è una combinazione lineare di questi modi.

Risposta all'impulso (modello di stato): caso particolare:

Risposta

all'impulso per generiche condizioni iniziali x(0) e ampiezza dell'impulso u. Oss: per un sistema LTI la risposta forzata risulta dunque essere la convoluzione tra la risposta impulsiva e l'ingresso, dove la risposta all'impulso è definita come l'antitrasformata della funzione di trasferimento. Risposta ad un gradino unitario: Oss: per un sistema LTI TC, la risposta all'impulso/gradino unitario è la derivata/integrale della risposta al gradino/impulso unitario. Analisi in continua: Risposta ad un ingresso costante in continua a gradino: GUADAGNO IN CONTINUA del sistema, definita se e solo se a(0)=0. RISPOSTA TRANSITORIA y(t): RISPOSTA A REGIME è una combinazione lineare dei modi PERMANENTE e TRANSITORIO del sistema, i cui coefficienti dipendono da x(0) e u. Il prodotto di G per l'ampiezza dell'ingresso (dc) costante. Stabilità: Nel contesto dei sistemi dinamici si intende per stabilità del sistema la

sistema in generale la sensibilità o la robustezza della risposta (andamento uscita o dello stato), rispetto a a perturbazione della causa che l'hanno originata, cioè lo stato iniziale x(0) e l'ingresso u(t).

Per sistemi LTI:

Stabilità asintotica:

Un sistema LTI si dice ASINTOTICAMENTE STABILE (AS) se e solo se a fronte di qualunque perturbazione x(0) sullo stato e di una qualunque perturbazione impulsiva u(-)=u (-) sull'ingresso, ritorna asintoticamente (t→inf) all'evoluzione nominale.

La perturbazione: è una combinazione lineare dei modi naturali del sistema, non fa nient'altro che aggiungere quindi una combinazione lineare.

Un sistema LTI è AS tutti i suoi modi naturali sono convergenti a 0.

Il modo dicesi convergente (a 0) se

Teorema: Un sistema LTI TC è AS il polinomio caratteristico del sistema ha TUTTE le radici con Re(s)<0.

Stabilità BIBO:

Sistema LTI si dice BIBO-stabile se

Condizioni per la

stabilità BIBO:

• G(s) deve avere TUTTI i poli Re(s)<0 (affinché la risposta forzata sia limitata)
• F(s) deve avere TUTTI i poli con Re(s)<0 ed eventuali poli semplici Re(s)=0 (affinché la risposta libera sia limitata.

Teorema: Un sistema LTI TC è BIBO-stabile se:

• G(s) ha tutti i poli con Re(s)<0
• F(s) ha tutti i poli con Re(s)<0 oppure poli semplici Re(s)=0.

NB Se il sistema è AS, allora è anche BIBO-stabile, ma non vale il viceversa! Regola di Cartesio: ad ogni permanenza di segno ho una radice con Re(s)<0, ad ogni variazione di segno ho una radice Re(s)>0. Criterio di Routh-Hurwitz: serve per calcolare in modo semplice le radici. Un sistema con polinomio caratteristico a(s) è AS, cioè ha tutte le radici con Re(s)<0, se e solo se TUTTI i coefficienti della prima colonna sono concordi e la tabella è ben definita (il pivot non è mai nullo). Inoltre ad ogni permanenza di segno nella prima colonna ho una radice con Re(s)<0.

colonna corrisponde una radice con parte reale negativa, ogni variazione corrisponde ad una radice con Re(s)>0.

Parametri caratteristici del transitorio: Ricorda che tutti questi parametri caratteristici dipendono solamente da h(t) e non da y, y, G(0), dunque solo da poli e zeri di G(s).

Sovraelongazione (di quanto si supera in percentuale il valore di regime) valore del picco negativo, si ha quando inizialmente prende la strada sbagliata.

Tempo di salita, tempo che la risposta impiega per raggiungere il valore finale (=1 per la risposta normalizzata). Da una misura sulla rapidità del transitorio.

Tempo di assestamento. Tempo che la risposta impiega ad arrivare e non uscire mai dalle due linee tratteggiate.

Sistema del 1° ordine:

Sistema del 2° ordine (privi di zeri e con due poli complessi coniugati con Re(s)<0):

Avendo definito questi parametri posso considerare che:

Considerazioni sull'effetto di ZERI/POLI aggiuntivi:

• zero aggiuntivo negativo = aumento della Sovraelongazione
determinare il comportamento del sistema NLTI intorno a un punto di equilibrio. Per fare ciò, si utilizza la linearizzazione, che consiste nell'approssimare il sistema non lineare con un sistema lineare. Questo viene fatto calcolando la derivata parziale delle equazioni del sistema rispetto allo stato di equilibrio e valutando le derivate in quel punto. In questo modo si ottiene un sistema lineare che approssima il comportamento del sistema non lineare intorno al punto di equilibrio. Stabilità degli equilibri:Un equilibrio è detto stabile se, per ogni stato iniziale sufficientemente vicino all'equilibrio, il sistema rimane vicino all'equilibrio nel tempo. Un equilibrio è detto instabile se, per ogni stato iniziale sufficientemente vicino all'equilibrio, il sistema si allontana dall'equilibrio nel tempo. Un equilibrio è detto marginalmente stabile se, per ogni stato iniziale sufficientemente vicino all'equilibrio, il sistema rimane vicino all'equilibrio nel tempo, ma non converge ad esso. Controllo dei sistemi NLTI:Il controllo dei sistemi NLTI consiste nel progettare un controllore che permetta di ottenere una determinata risposta del sistema. Questo viene fatto utilizzando tecniche di controllo come il controllo retroazione di stato, il controllo retroazione di uscita, il controllo retroazione di stato completo, il controllo retroazione di uscita completa, il controllo retroazione di stato parziale, il controllo retroazione di uscita parziale, il controllo feedforward, il controllo a cascata, il controllo adattativo, il controllo ottimale, il controllo robusto, ecc. Analisi delle risposte dei sistemi NLTI:Per analizzare le risposte dei sistemi NLTI, si utilizzano tecniche come l'analisi del tempo di salita, l'analisi del tempo di assestamento, l'analisi della sovraelongazione, l'analisi della banda passante, l'analisi della risposta in frequenza, l'analisi della risposta in fase, l'analisi della risposta in ampiezza, l'analisi della risposta impulsiva, l'analisi della risposta al gradino, l'analisi della risposta al rampa, l'analisi della risposta al sinusoidale, l'analisi della risposta al rumore, ecc. Queste sono solo alcune delle principali tecniche e concetti utilizzati nell'analisi e nel controllo dei sistemi NLTI.

determinare un'approssimazione lineare del sistema nell'intorno dell'equilibrio (x, u, y). Se cambio equilibrio, cambia anche la linearizzazione!

Stabilità di un equilibrio: L'equilibrio (EQ) del sistema NLTI si dice STABILE se a piccole perturbazioni dell'equilibrio x corrispondono piccole perturbazioni dello stato x(t) rispetto all'equilibrio x per ogni t>0. L'eq si dice LOCALMENTE ATTRATTIVO se GLOBALMENTE ATTRATTIVO se Un eq può essere attrattivo ma non stabile, può essere stabile ma non attrattivo. L'eq si dice AS se è sia stabile che attrattivo, se poi è globalmente attrattivo si dice GLOBALMENTE AS (GAS).

Teorema di linearizzazione di Liapunov: Oss: se il SIS è CRITICAMENTE STABILE, quindi ha tutti gli autovalori con Re(s)<0 e alcuni con con Re(s)=0, allora il teorema precedente non fornisce nessuna indicazione sulla stabilità dell'equilibrio. Inoltre il teorema ha solo

validità locale, quindi non ci dice niente sulla stabilità globale.

Analisi nel dominio della frequenza di sistemi LTI:

La risposta in frequenza del sistema non è che la F.d.TG(s) del sistema stesso valutata sull'asse immaginario cioè per s=j con che varia da -inf a +inf.

Teorema dell'analisi armonica:

Dato sistema LTI TC AS con G(s) come F.d.T in risposta ad un'ingresso sinusoidale, il sistema fornisce una risposta per t→inf che converge alla seguente risposta a regime permanente

Oss:

Diagrammi di Bode:

Si tratta di un modo per per rappresentare graficamente la risposta in frequenza G(J ). Il diagramma è in scala logaritmica.

Diagrammi di Bode di G(s):

Si può rappresentare il diagramma di Bode facendo la somma dei singoli fattori: