Appunti di Fondamenti di automatica

PROVA SCRITTA

1. TEST A SCELTA MULTIPLA (7/30) (APRILE MAGGIO) Può esser fatto in precedenza
2. ESERCIZIO (12/30)
3. ESERCIZIO (12/30)

• PROVA ORALE (15/30) -> semplificato verbalizzazione
• Si discute la prova scritta
• Slide di riferimento -> Test di autoverifica simili ai test
• ESONERO fra udibilità solo per la prima prova scritta estrufa
• Chi frequenta (Primi di maggio) Dopo Pasqua

C'è un libro di testo -> fa riferimento alle slide

GIOVEDÌ FINISCO ALLA 9.15 O 9.30

AUTOMAZIONE

• CONTROLLO, ATTUAZIONE, MISURA
• PARADIGMA/ALGORITMO

=> ricavare un modello matematico per risolvere il problema del controllo

Linguaggio comune per descrivere il problema di controllo

AUTOMATICA => mantenere un comportamento desiderato senza l'intervento dell'uomo

• => Feedback => misura => attuatore => SISTEMA IN FEEDBACK

PROBLEMA DEL CONTROLLO

Determinare il valore da attribuire alla variabile di controllo per in modo tale che l'andamento della variabile controllata risulti sufficientemente prossimo a quello desiderato e assicurare che il valore delle variabili indipendenti entro certi limiti.

M = modello

= variabili di controllo = variabili incoste

= effetto = variabile di riferimento

elementi fondamentali:

• sistema, processo, impianto sotto-controllo mai estrarre un modello matematico (es. differenziale)
• modello matematico + sistemi dinamici
• variabili indipendenti o di ingresso: variabili di controllo e incerte
• variabili dipendenti, o di uscita: variabili controllate e manovrabili
• variabili di riferimento

segnali di ingresso = grandezze legate al sistema esterno e le grandezze

(T = effetto legato alla potenza non forno ad esempio)

variabili su cui direttamente posso agire

segnali di uscita = variabili che sono modificate dalle grandezze di ingresso

segnali di ingresso

• variabili su cui posso agire (sistema di condizionamento)
• variabili su cui NON posso agire (sole, il pot. persone che sciano) ∉ tramite una sonda

variabili di controllo

variabili incerte

variabili di riferimento = sono il mio target, le grandezze obbiettivo del sistema

serve per confrontare le variabili di uscita e agisco a secondo di questo riferimento

CONTROLLORE AUTOMATICO

qm = ingressi manovrabili

qr = ingressi non manovrabili

_yd = effetto

è importante definire le variabili di ingresso e gli effetti

C = danno C c’è

LEGGE DI CONTROLLO = impianto come dove onca overento

il controllore deve agire a le variabile di riferimento _yr che può essere diversa da _yd

yo può essere anche un segnale che viene nel tempo

informa al controllore degli ingressi manovrabili modificandone il carico ma anche le prestazione

il controllo in catena aperta

dimostrazione:

d[_c(t)]

[_c(t)]

= [^_-1[^_-cc[^_-c[^c[^_-l[^_-c[^{i - _c(x - _c)]}(r)]]]

= ^d(t)]

→ modello del mio sistema

x = Ax + Bu (forma completa), A,b = matrici

→ Lega l'ingresso con lo stato

y = x₁({{REDACTED}}/{{{REDACTED}}// - i)_u(t)

→ quando uniamo lo stato

ESEMPIO

β = coeff. di attrito

modello quasi scritto

vedando _non ^{ed conoscere}le ^{condizioni state}

. u(t)

^{energia cinetica di attrio}

^{energia elastica (potenziale)}

^{lo stato state}

^y → sistema ^daremos alle ^{3-grandi caratteri} del Corvo

SISTEMI DINAMICI → CLASSI

SISTEMA MECCANICO in 3D

potenziali e velocità

Se avesi un corpo rigido → 3 gradi di euler e 3 scalotrati creatore

Esempio: condensatore

_C

y(t) = u(t); i(t) = 1/C i(t)

S = stato ↔ x(t) = ∫_−∞^ti(c)dc, quanta carica si è accumulata

↦ rappresentazione globale I/u

u(t); a(u(t) = i(t) = c

φ = mappa di transiente globale dello stato

Proprietà di linearità: l'integrale è un osservatore lineare

Proprietà di tempo-invarianza

Esempio: nastro trasportatore

y(t)

• V = velocità del nastro
• L = lunghezza del nastro
• T = L/V = ritardo

μ(t) = portata in ingresso al tempo t

y(t) = portata in uscita al termine del nastro al tempo t

y(t) = μ(t-τ) = GLOBUS I/U y(t) = F(μ_cau,t)

Sistema dinamico causale x₀ = merma distribuita sul nastro primo di 0

I/S/U ↔ y(t)=ψ(0,t,x₀,μ[0,t]) funzione elm. describe come è distribuito la merma sul nastro del tempo -τ a 0. Ovvero come μ(t) distribuisce sul nastro da -τ a 0

x(t) = μ_[t-τ,t]

Y(s) = ^-2s+1/_{s(s+4)²(s+2)} + ^5s+3/_(s+4)(s+2)

quando μ(t) = 0 si ha 2 anticipatrici: s₁ = -1, s₂ = -2 → 2 esponenziali e^-t ed e^2t

≠ 0 → converge a 0 → l'effetto λrappo alla condizione iniziale

∞ dono a c → l'effetto λretto all'ingresso c'è un termine costante s₂ = -2, 0 ed e^2t

condizioni Δ cos

→ soluzione omogenea → t e^-t

→ dono al seer alvo tema di volo finale lim_{t → ∞} y(t) = lim_{s → 0} sY(s) = ¹/₂

→ ciò → aldato domia dal tempo al limite costante → 1₁²/1(t)

Antitrasformata di Laplace

Data F(s) ^∞/₀ f(t), F(s) = razionale fretta perché NON ci sono rimedi nel tempo

F(s) = ^Q(s)/_{∏i=1ⁿ (s-Pi)}

- n-radici reali e distinte (molteplicate m=1)

f(t) = Σ_i=1ⁿ k_i e^P_it · 1(t)

Ks = lim_{s → Pi} F(s) - formula di Heaviside

- n-radici reali e molteplicità m_i

f(t) = Σ_i=1ⁿ Σ_j=1^m_i K_is ^tj-1eP_it

Esempio

F(s) = ^4s/_(s+2)(s+1)² = ^Vns/_s+1 + ^Vnos/_(s+1)² + ^K₃/_(S+2)

3copia di radici compleane e coniugate pi, pi*

F(s) = ∑

Ks = |p|¹ polanome naturelle (>0)

K_{ik = Re [pi-Jw F(s)] W=wi}

1(t) = ΣK_ie |p_i log

=2wi |Eus