Appunti parte 1 Fondamenti di automatica

FONDAMENTI DI AUTOMATICA

il dello

ozale dove

Esame:scritto accertare voto scritto

con peova puoi o

fare (9(ful

ozale 3. dinamico controlli

compoziamento

PROGRAMMA problema di

5.

modelli

del sistemi o controllore)

<prospetti

Imiroduzione del

1. G. Sistemi retroazione

modelli a

Sistemi 6. dai

2. Sistemi a

e (feedback) campiona

2.01 28-02-23

INTRODUZIONE (30ze)

o ACQUA

a.C.

250 AD

OROLOGIO

modello

=> Hes

> -

--I annu

- "

SebaT

010

risezva

di sentazione

X

- problema:

regolaze ea poztata

dal

Es che

diacqua passa

7 di alimentazione

serbatoio

I

-8 modo

E di misuzazione

in in

quello

che costante

sia

- ~I

serbatoio -> --

misurazione

di ---- Wa

regolatore di

Wait le

Inventa

James

1780 ore

48 w

-

i W

->

-

↳ kV

c =

macchina

vapore

a velocita

veicolo aumenta

i a

se dall'

allontanano

due masse

queste si centrifuga.

forza Se

ea

albezopez arricinano

si

masse

diminuisce le

eav

↓ di

ut

Il colletto: la quantità

aumenta

se che azziva

vapoze alla

macchina

(contrario)

v4

se

di

stabilità

dimostra

Maxwell la meccanismo

questo

FONDAMENTALE

SCOPERTA 6

↓

amplificatore: e d

GU

Abbiamo 6 y

un >y = +

7

d disturbo

=

6 guadagno

=

Black 1927 due

mel propose disturbo

schemi cancellare questo

per

OPERAZIONALE Gu+d I

6 > ⑧

e Gu

+V

I +

x

-v

-0 d

-

d)

z(6u

Gu 2d

d zy

y v

= =

+ u

= = + +

2d

w v

u

= =

- -

RETROAZIONE dd

+

I

e W >I

6

- -

{v BG 1

Gu

0v Boy

Byw

u = -

= - = -

B6) 0d

d(1 Gu d 1

8

y

Gu u

Boy = +

+

y + =

- +

= B

G 1 d

y 0 1

= + ↓

B6 B6

1 +

+ disturbo

Trascuzabile

S

uscirapcopozzionale u

a

da

dipende Gmada

non

ingressi

manipolabie

non

I

Processo/Implan controllare

ingress uscite

,

↳

manipolable controllo

stato ↓ misurabil

uscite

↓

W Z

e D >

3 ↓X riscaldato

ambiente ad

di

problema ana

un dell'aria

Ti T:

Temperatura

ingresso

calda in

I -

> "apertural

regrea

C:

TO Te Chiusura

valvola

della

7 -

I

~ore

controll dell'

Temperatura

T: mell'ambiente

I azia

T Tm

= dell'ana

In:

Temperatura di

condotta Uscita

mel

↓Te

/ Te:

Temperatura

TI esterna

+O >I

P

>

c -

3 - ata*-Y"

-

- Temp

↓

I im

I ambiente

TO

oblet TE

vo: misurable

Il prende

controllore le uscite

Problema possibile

più

faze

obiettivo To

controllore:

del

e a

=

-Tot)

T(t) A >t chiusol

Canello

SCHEMA RETROAZIONE

IN

CONTROLLO

DI d

"

20 Z

u

C 7

3 7

I ↓Y *

d(t)

zo(t) ammissible

* 0

obletro:

z(t) t

= t

presenza di Trasduttor

Sensori apeziol

Canello

CATENA

IN DIRETTA

CONTROLLO

SCHEMA DI ↓

e

z0 0, z

> FdCt)

z0(t)

obleTiro: vt

zCt) ammissible

to

=

= <questo

Du DCzo

sed del

drogaggio

nel

0 =

= =

= semiconduttor

dispositivi

1 a

p

c -

= quindi

implementato deve

Il controllore computer, avere

un orga

su un

è (ATUATORE)

Trasforma

che che della

elettrici

segnali

mo sono

ingressi

in

I

manipolabie

grandezza degli

fisica ingressi

[Indice

Tempo TNRI fluidità

protrombina da indicazione

di su

del sangue rischio

emorragia

rischio

Trombos Le le

rosse e

D a 8

③ blu zone

sono

a me rischio

a

di

zona

fluidità

CO2zeG

a TWR

*

i L

-

-

t 01/03/23

1.02

imgressy Uscite

u =

=

e usclie:

ingressio

-X sono

se al me p

7 we(t)

u(t) Ru

= : -> mingress

um(t)

1(t)

y(t) X

= RP puscite

->

:

yp(t) (definite

tER

continuo: stante

tempo a ogni

ingresso uscita a

e Tempo)

del

au(t) ay(t) Temperatura in

es: stanza

una

Wiz Wiz

0 0 valou

in

discreto: ha Inter:

ingressi

uscita tempo tempo

e a 0,1,-1,2...

d z

te

au(t) protrombina

es:

ay(t)

Y 7

i Y 7

t

↳ i

il

1

- t

↳

il

1

-

CAUSALITA"

PRINCIPIO discreto)

At dipende

(t)

che dal

(sla valou

continuo e

passai

y

MCt),

di

presenti ot dipende

che

Questo i

dice hanno una

che struttura

principio sistemi

a

da peinaplo.

questo

ES. CONDENSATORE

i

↳ (r(t)

* q(t)

C =

t

a

V =c.drct)

ict) 1q(t)

le

rappresento sistema: = d(t) dt

i ict)

e 1

drct)

= 3 yi(t)

(v =

7 = = C

dt

dy(t) 1 u(E

I d

dt

secondo modello: c.duct)

V

e (i yy(t)

= 3 =

7 = ↓t

df(t) f(t)

2)

f(t

ho decivata eim

ea emiricordo che = + -

E 0

dt >

- E

ug) r(t)

(t) ein

c

y = -

↳

2 0

>

- E !

dipende futuri

da

bene perchè valori

va

non -

-

invece

modello

Nel in

rispettato principio

palmo è

ugual?

Se modello

sono Terzo

1v(t)

ict)

RESISTORE: = R

i i

7 e

S = yct) Ruct)

3 y

v =

7 , = zuct)

y(t) =

V

e i

= 3 Y

7 =

Funzionano: dipendono dagen

due

Tutte causa ingress

sono e

e

diu(t)

present poi?

Quindi soddisfi prendo

che

voglio Se

le sistema principio

questo e

doum si l'uscita

faz che

devo univocame

sia

um sistema imgresso,

e

definita.

in dall'ingresso all'uscita

Questo dipende

ovviamente no

che che

meno e

all'istante stato

che

dallo

Dipende del

to. genezato

sistema è

stato

dato

abbiamo

che

dagli impassato

ingress,

au(t) Lo del

stato iniziale si assume

sistema

e MCt),t?

dagen to

genezato ingressi

it u ↳Y

to ↳ S

Questi DINAMICI

chiamano:

sistemi Si

L'idea che che nel

ciò melle:

condensa

avviene passato si

tutto

e SISTEMA

VARIABILI DEL

STATO

DI tER

a(t) tempo continuo

X In

x(t) = x (t) E discreto

t -> tempo

im

2 : variable di STATO

in

xn(t)

CONDENSATORE

i

↳ i E

e 1

C = 3

a >y

7 =

V xdy(t) u(t)

q

· y =

= =

(dy)

·y v 1u(t)

= = =

/*

ja* ct)dt -O

dt /act)dt

ct0)

= x =

-

- variabih

una di

La di er

condensatore lo

stato

è

un e

carica

anche extensione

INDUHORE

e

zu l'uscita è

Ldict)

~4 r eacozzente

=> = é

elImgresso ea

e

dt condensa.

(duale

Tensione

i

y

V =

ll = 73 7

flusso e

Il di

di variabile anche

Imduttore eo

una stato

un e

e

ea cozzente

In peendo: condensatore

genezale su

v

i imduttore

su modelementi

di

variable

Le con

al

sistema sono:

stato un

in

memoza Sa vailable di

2 Stato

34

i C aict)

A I

(0)

devo conoscere e

in(0) come >t

sapere

per 0

COMPOCTa

SI variable, di delle

se a:

no masse le 2

posizioni

stato

le sono

delle

le velocità 2 masse

masse e

Abbiamo dinamico

sistema

un di

vaziable Stato

m =

Ra

x

e

P

mi RP

R y =

e 73 7 puscite

riferiment

m (S)

oedine di

n Stato

= SISO

abbiamo

1

se 1 ep

n = = abblamo MIMO

1 p>1

se > e

n

CLASSIFICAZIONE SISTEMI

DEI A

1. Tempo CONTINUO x(t)

et)

24

I stato

a

x

·O f(t,x(t),uct)

x(t) = =

EquazION

ingresso i

USCITA xm(t)

= uct)

g(t,X(t),

y(t) duscITa

(equazione

=

discreto

Tempo

2.

E f(t,x(t),u(t))

1)

x(t TtZ

+ =

g(t,x(t),u(t))

x(t) = INVARIANTI

SISTEMI TEMPO

-u(t) del

ax(t) mel

ay(t) caso

Tempo

Sistemi

- en come

y

c

x invaaamil

ex(t)

(t)

x

7 3 3

8 dipendono

non

dat

f(x(t),n(t))

x(t)

S =

f(x(t),u(t))

)

x( t =

g(x(t),u(t))

y(t) =

LINEARE

SISTEMA

X(t)

S B(t)u(t)

A(t) x(t)

= +

x(t) = D(t)u(t)

(t)

y(t) ((t) x +

=

ct) una

A matrice

è

quadeata anc

S n

(t) x

m

an

ACt) R

->

= am(t)

am(t)

m(t)bm(t) n

S m

x

b

B(t) R

= ->

bm(t)

nt)

b P

(n(t)

S x

(n(t) x

(Ct) R

= ->

(p(t)

(p(t) ↓p(t) x

dp(t) n

S

D(t) R

= ->

dn(t)

dn(t) INVARIANTI

LINEARI TEMPO

SISTEMI

E X(t) Br(t)

Ax(t) +

=

x(t) Du(t)

(x(t)

= + Tempo)

dal

(mon dipendono

D

B, matria

C, costanti

A, sono

Es. 1

ne -

uct

vCti crc(t) x(t)

)

y(t

= =

⑧

- VC

x =

9

V

e Vc

y

= S =

> ↳

1 en

1,p 1

m = =

=

E =

+v(t) ma x

Rict) RCdr(t)

v(t) Vc(t)

+

= V

e r

=> =

ict) cdr(t)

= B

dt - -7

u(t)

1x(t)

y(t)

RCx(t) 1

E X(t) +

E

u(t) -

= RC

+

= RC

(t)

) x

y( 0x(t)

= 8m(t)

t y(t) +

= ↓D

1 2.0302103/23

fatto COSI:

dinamico

Un sistema è

R4

=

x 9

=M di

RP vaziabiti

n stato

e =

>ye

S

7

mingress puscite X

Y1 1

e X

e 1 =

= y X

= Y2 2

wa i

i i Xn

um 01.031

(1.02 del

di

com le 1ezIA

stato viste

eq.

1) dice dice

altrimenti

0,

AUTONOMO

sistema si si autonomo

non

Se m =

s' lineate dice eineaze

Sei non

si

é

non OTA:

INGRESSO-USCITA N

MODELLI z(t)

-(t) =

Dz

(t)

(TC)

Tempo CONTINUO

1. dell'uscita dipende

di

decivata ordine

La da:

n d* D*

=

z(t) z(t)

d tk

y(t),

Diyct) 0(t,b4 DYct) ...uct)

-

= Doz(t) (t)

.

. .

. z

=

2. Tempo DISCICTO uct-1), n)

-1), -n),

6Ct,

(t) y(t

y(t u(t

y = -

. .

. . .

.

. più

↳ risolve

semplice, si

sempre SIS0?

diventa

come modello ingresso-uscita

un nel invazlanie

tempo

continuo

Tempo

1. boDYu(t)

a1D4,t)

(4y(t) b1DYuct)

any(t)

2Dyct)

..... an +

= +...

+

+ +

+

- -

1Du(t) bauct)

bn

+ +

- oef.

-> COSTANT

discreto

Tempo

2. 1) 1)

m)+...

am-2y(t-n+ b

bou(t)

(+

a1y(t) u(

any

y(t) =

+... +

-

= + +

+ + +

- m)

uct

br -

+

...

ESEMPIO 1 X

cra

Be

3 9

R

i4 I

u S

= VC

&y =

7

I o S'150

n 1

1,

2, m p

= =

= VC

X 1

x =

E invariante -

tempo

sicuramente IL

xz

Cameno Rambla

che

che dicano

al

non

Tempo

nel

È n

saza

einenze perchè

A 2x2 2

exmatrice

e =

&1 1x2 zu

2

E x

S 1

E 4x1 +

-

-

ic =

il

iR 2

= w x2

+ 1

x

= +

+

+

* iR 42

R.

Vc 1

= 1

x

LXz =

diz

L

vc =

x

= =

dt

ic CdVc

= dt

0

X 1 B(x)

X 1

A +

-

⑧ X

Xz 2

X1 De

L'uscita nondipende

+Du quindi

c da 0

y = m, =

x2 3

I

1 c equazion

(10)

-

- RL di STATO

B 0

b

= = =

=

A SISO

LTI

l ⑧

I

I i dDvc

2

u +

= + dDv

Din

Drc

Dr +

+

= #Dic Dy(t) 1bm(t)

1y(t)

Dy(t)

v = +

-

-

= - C

Y

vc =

Dy cD2y

Du qy

= + + Ingresso

equazione USCITA

SISO

LTI

no vaziabili di coincide

di stato

diff modello

ordine del Uscita

con inge.

eq.

MODELLO MECCANICO ↑X

w f

X, v

=

X:

1-> posizione massa u = S

f 7

k y

1, velocità

~:

M massa

le 8

S 1,p 1

m =

=

, 111 22 =

X

f drct)

BU

Ma kx a =

= - - dt

MdVCt) f kX-BV

= - (1 C

e

at =

x

x 1

=

E 42 kx1 Bx2 E

u

= - (t)

- Ax(t) Bu(t)

* +

=

di

M STATO

eq.

21 Du(t)

(x(t)

y(t) +

=

x 2

=

x2

y = I ( (01)

A D

= 0

c

BB =

=

=

* - 1,p

2,m 1

n = =

=

SIS0

LTI

INGRESSO/ USCITA

EQ f BU

Ma kx

= - -

kx

MDY BY

u

= - -

MD2y() BDyct)

ky(t)

Duct) - -

= modello

D2y(t) Dy(t) y(t) 4buct)

= LI SIS0

- - + ingresso

- USCITA

Abbiamo i

diversi due

due C M

legat

sono

molto

sistemi ma

visto =

1

R = B

1

L = K

07/03/23

2.09

TRASFORMATADI LAPLACE (unlex calcolare le uscita

risposte in

di dinamico

un sistema

uct), $ sy(t) (a finital

causale

Lineaze dimensione

invalante

tempo

R 0

ne

4 =C ↑ y(t)

r(t) 0 f(t), f(a,b) R

di

supponiamo segnale

avere +

un

f(t)

a dif(t)

di

Trasformata Laplace

La

ne +

edaTacome((f) (f(t) =

F(s)

= -

e t

< 0

0 eavaciabile complessa

dove s è

(il

(Se

iy(s)

uct)(u(s),

L a1(t)

gradino

segnale

prendiamo i a

E kt

2 0

>

f(t

) 1(t)

= = 1

<0

0 st

0

&

je gest

<1) I

= -

= -

=e ⑧ Se o,

- c

-(0 c)t wt

50 g

+ -

+

e 1kt

=- =

↳ 0 quando converge

= è s

l'integrale

solo ed

calcolato in

rimane

mi

-[1(t)] 1

= S

a1(t)

1 st

0 7

)]

f(t) ([A

1ct)

A 1ct

= =

esponenzial

sono anche segnati

importanti i

ea+

f(t) R

1(t) ac

= ate-stdt cs

a)8

x =

i az

= -

=

I ac0 1

7 =

0 S-A

1t]

Sea Fac

= a

-

di avere questo segnale

supponiamo 1(t)

Bea

f(t) ?

A1(t) -[1] =

+

=

+ ) B/test

/Arct) e-stdt A/

Bea1Ct) st

-

e +

+ =

⑧ -

⑧

I sta

(A B)s Aa

I a

=> +

=

+ - a)

S(S -

PROPRIETA cineaze:((Af1 Bfz) Bc[f2]

AL[f1]

e

2) idL

La + = +

segnale

prendiamo co

armoni

un

sim(at)1(t)

f(t) =

xf(t) 3wt

w = -

Sin(w7) e e

e =

> 23

*

⑧ T

= erte) Secata

1Ct)

-(Simat E

= -

1

StIW

23

-2(sw stiw) s eemara

=

- w2

+

Trasformata del coseno

&

·2 -[7] 5

= w2

+

t

7

2 T

= TaL?

della

fatte del

radici denominatore

le

come polinomio a

sono

Le chiamano

radici chiamano radia del ERI

pol, le numeratore

si si

In S

3w

8 0,

a Res

*

* 04a 0

=

a<0 JW

5 del

poli segnale

al

I relazione

sono compoziamento

importanti

in

stabilità

di andando redecespoe

vede

le si mella

concetto pazie

a

GLO

CUI

Im AUTdL

PROPRIET cineaze:((Af1 Bfz) Bc[f2]

AL[f1]

e

2) idL

La + = +

122f]=[te-stat

f(t)

supponiamo di 1

avere FCS)

=

jf(t)([)

↑(t) ?

=

= /e /sec-/

/

-28 sta at)

+

= - t =

=

=e-st/estat

SL[f]-fo

(2f]

2) dezivaiadif(t)

Id

La della rale = I

(80) S2f]

2 = -

=/Icoldo ?q(0)

((g)

q(t)

peendiamo 0

segnale

le = =

C

(t) f(t)([f3 q(0)

5[g) s[9]

& =

=

= -

f)[f]

22g) = coldar

gct=

dell'integrale fct),

3) di

Latal vale:

ovrezo

Ix[f]

2[9] = 1(t)

f(t) t segnale a

rampa unitati

= F =-

+

a es

sdt

(t

(2f] e-