Appunti di Fisica I – Energia, sistemi di punti e corpo rigido

DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI

Centro di massa di un sistema di punti

Si definisce come centro di massa di un sistema di punti materiali il punto geometrico

la cui posizione è individuata dal raggio vettore.

Teorema del moto del centro di massa: il centro di massa si muove come un punto

materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la

risultante delle forze esterne. Il moto è determinato solo dalle forze esterne, l’azione

delle forze interne non può modificare lo stato di moto del centro di massa.

()

Prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi: = m =

Proprietà del centro di massa:

• La sua velocità è eguale alla quantità di moto totale divisa per la massa totale,

ovvero la sua quantità di moto m è eguale alla quantità di moto totale P;

• La sua accelerazione è determinata dalla risultante delle sole forze esterni

agenti sul sistema.

Conservazione della quantità di moto

Principio di conservazione della quantità di moto: quando la risultante delle forze

esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema rimane costante nel tempo e il

centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete.

Teorema del momento angolare

∑ ( )

L = -> momento angolare totale di un sistema di punti materiali rispetto

ad un polo O; detto raggio vettore

()

Seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi: = e costituisce il

teorema del momento angolare: se il polo O è fisso nel sistema di riferimento

inerziale o coincide con il centro di massa, anche se quest’ultimo non è fisso,

l’evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è determinata dal

momento delle forze esterne rispetto ad O; le forze interne non influenzano L.

Conservazione del momento angolare

Principio di conservazione del momento angolare: se è nullo il momento delle forze

esterne che agiscono sul sistema il momento angolare si conserva.

()

La condizione = 0 si può verificare quando:

• Non agiscono forze esterne, il sistema è isolato: allora L si conserva rispetto a

qualsiasi polo per il quale x = 0; in questa situazione in cui è anche

()

= 0, si ha pure la conservazione della quantità di moto, P = costante;

• Il momento delle forze esterne è nullo rispetto ad un determinato polo, ma non

rispetto a qualsiasi polo, pure in presenza di forze esterne; pertanto si ha

conservazione del momento angolare solo se calcolato rispetto a quel polo.

Sistema di riferimento del centro di massa

Caratteristiche:

• L’origine è nel centro di massa;

• Gli assi mantengono sempre la stessa direzione rispetto agli assi del sistema

inerziale e possono essere assunti paralleli a questi;

• Si tratta in generale di un sistema non inerziale: infatti il moto del sistema del

centro di massa è traslatorio, ma non necessariamente rettilineo e uniforme;

()

ciò avviene solo se = 0 così che = 0.

∑

La quantità di moto totale del sistema, P’ = , risulta nulla se misurata nel

sistema di riferimento del centro di massa, anche se i singoli termini sono in

generale diversi da zero.

Teoremi di Kӧnig

Primo teorema di Kӧnig (per il momento angolare): L = L’ + x m = L’ + .

Il momento angolare del sistema si può scrivere, nel sistema di riferimento inerziale,

come somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa, , e di

quello del sistema rispetti al centro di massa. 1

′ ′

2

Secondo teorema di Kӧnig (per l’energia cinetica): = + m = + .

,

2

L’energia cinetica del sistema di punti si può scrivere, nel sistema di riferimento

inerziale, come la somma dell’energia cinetica dovuta al moto del centro di massa,

, e di quella del sistema rispetto al centro di massa.

,

Teorema dell’energia cinetica

() ()

∆

+ = - =

, ,

Il lavoro complessivo fatto dalle forze esterne ed interne che agiscono su un sistema

di punti materiali è uguale alla variazione dell’energia cinetica dello stesso sistema tra

la configurazione finale e quella iniziale.