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CINEMATICA del PUNTO
VARIABILI CINEMATICHE
- POSIZIONE (m)
La posizione può essere individuata attraverso il raggio vettore &vec{r}, che congiunge l'origine O del sistema di riferimento con il punto P. La posizione di P, chiamata nel tempo t, &vec{r}=&vec{r}(t)
&vec{OP} = &vec{r}(t) = x(t)û_x + y(t)û_y + z(t)û_zdove x(t), y(t), z(t) sono le leggi orarie (equazioni del moto)
- VELOCITÀ (m/s)
Considerando due posizioni di P (una al tempo t e l'altra t + Δt), si indica come variazione tra &vec{r}(t + Δt) e &vec{r}(t) il vettore spostamento Δ&vec{r}
Δ&vec{r} = &vec{r}(t + Δt) - &vec{r}(t)La velocità media di un punto in un intervallo di tempo è data dal rapporto degl spostamenti Δ&vec{r} e l'intervallo di tempo necessario a percorrerlo Δt
&vec{V}_m = Δ&vec{r} / ΔtSe Δ&vec;{r} viene suddiviso in spostamenti infinitesimi d&vec;{r}(t) ciascuna percorso nel tempo dt, possiamo trovare la velocità istantanea che è data dalla derivata della posizione rispetto al tempo
&vec{V}(t) = d&vec{r}(t) / dtquesto vettore è sempre tangente alla traiettoria e sull &vec;{V}(t) = &vec;{r}(t)
Dato che d&vec{r}(t) = x(t)û_x + y(t)û_y + z(t)û_z = dt
&vec{V}(t) = dx(t)/dt û_x + dy(t)/dt û_y + dz(t)/dt û_zINTEGRALE
Se conosci &vec;{V}(t) posso calcolare &vec;{r}(t) dato che ds = &vec;{V} dt ovvero
r(t) = ∫_{t_0}^{t} &vec{V}(t) dt + &vec{r}(t_0)Da questo formalismo si calcola troviamo che
v_m = -∫_{t_0}^{t} v(t) dt / t - t_0ACCELERAZIONE (m/s2)
- L'ACCELERAZIONE MEDIA è il rapporto tra la variazione di velocità (Δv) e l'intervallo di tempo (Δt) che annulla questa variazione.
am = Δv / Δt
- L'ACCELERAZIONE ISTANTANEA descrive la rapidità di variazione temporale ad ogni istante.
Questa viene definita dal vettore velocità rispetto al tempo e dal vettore posizione rispetto al tempo.
a = dv / dt
a = d2r / dt2
- Dato una v̅ = Vxî + Vyĵ + Vxž → a = dVx/dt î + dVy/dt ĵ + dVz/dt ž
- Dato una r̅ = x̅ · î + y̅ · ĵ + z̅ · ž → ă = d2x / dt2 î + d2y / dt2 ĵ + d2z / dt2 ž
- Conoscendo a posso ricavare v(t) partendo da v̅ = a · dt assumo v(t) = v(0) + ∫0t a̅ dt
v(t) - v0 = a (t - t0)
Moto Circolare
È un moto la cui traiettoria è rappresentata da una circonferenza.
Dato che s(t) = Rθ(t), θ(t) = s(t)/R
r(t) = R (costante) θ(t) = variabile
x(t) = R cosθ(t) y(t) = R senθ(t)
In un moto circolare ac (acc. centripeta) è sempre ≠ 0.
Moto Circolare Uniforme
V = cost
ω = dθ/dt
La velocità angolare istantanea è la derivata rispetto al tempo dell'angolo θ(t) che descrive la posizione angolare del punto.
Dato che s(t) = R θ(t) allora ds(t) = R dθ(t) ds(t)/dt = ds/dt = v/R
Se non ho che ω = dθ/dt = v/R
Nel moto circolare uniforme il modulo di v è cost, quindi le doppie dotanze sono:
ω(t) = ω0 = cost s(t) = s0 + vt
An = v2/R = ω2R
Moto Circolare Uniformemente Accelerato
Oltre all'accelerazione centripeta si considera anche quella tangenziale (aT).
Accelerazione angolare
α = dω/dt = 1/R dV/dt = aT/R
α = cost aT = cost
Conoscendo α(t) possiamo ottenere:
ω(t) = ∫ α(t) dt = ω0 + α(t - t0) → ω = ω0 + αt (ω0 t0 = 0)
s(t) = ∫ ω(t) dt = s0 + ∫ [ω0 + α(t - t0)] dt = s0 + ω0 t + 1/2 α(t - t0)2
DINAMICA del PUNTO
3 LEGGI di NEWTON
1° LEGGE di NEWTON
(contenente il PRINCIPIO di INERZIA di Galileo)
Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità: resta in stato di QUIETE se è fermo (v = 0) o si muove di moto RETTILINEO e UNIFORME se v = cost.
La variazione di velocità di un corpo è dovuta all’azione di una forza.
FORZA = grandezza che esprime e misura l’interazione tra sistemi fisici.
È una grandezza VETTORIALE (F = Fx i + Fy j + Fz k)
L’intensità di una forza può essere misurata con il DINAMOMETRO.
fa = lb
fb = la
2° LEGGE di NEWTON
F = m · a
F = m · a = m · dv/dt = m · d2r/dt2
{ Fx = m · ax = m · dvx/dt = m · d2x/dt2
{ Fy = m · ay = m · dvy/dt = m · d2y/dt2
{ Fz = m · az = m · dvz/dt = m · d2z/dt2
m = massa inerziale
La massa esprime l’inerzia del punto, cioè la sua resistenza a variare il proprio stato di moto.
LA FORZA DETERMINA UN’ACCELERAZIONE DEL PUNTO
(variazione della sua velocità nel tempo)
3° LEGGE di NEWTON
(principio di AZIONE-REAZIONE)
Se un corpo A esercita una forza FA,B su un corpo B, il corpo B reagisce esercitando una forza FB,A su corpo A.
Le due forze hanno stessa direzione, stesso modulo, ma verso opposto (sono uguali e contrarie) FA,B = -FB,A
Piano Inclinato
Piano Inclinato Liscio
|N| = |PN| = 0 → si annullano
ma = |PT|
PN = P cosΘ
PT = P senΘ
ma = mag senΘ
a = g senΘ → moto uniformemente accelerato
Piano Inclinato con Attrito
|PN| + N = 0
ma = |PT| - Fac
per muoversi |PT| > Fas
P senΘ > μs N = μs P cosΘ
- senΘ > μs
- → tg Θ > μs
→ a = g (senΘ - μd cosΘ)
a = 0
se a = 0 , allora senΘ - μd cosΘ = 0
tg Θ = μd → equilibrio dinamico
PENDOLO SEMPLICE
In punto materiale si appone tramite un filo ideale e oscilla lungo un arco.
- T - lunghezza filo
- T - tensione filo e forza
- mg - forza peso
RN - risultante lungo le dire sole forze
RT - risultante tangenziale alle forze
RN = T - mg cosθ
RT = -mg senθ
T - mg cosθ = m • aN
-mg senθ = m • aT
Dato che aT = d²s/dt² e ds = L dθ → aT = L • d²θ/dt²
aN = v²/L
Sostituendo nell’equazioni precedenti otteniamo:
(m • v²/L) - T - mg cosθ
m • L d²θ/dt² - mg senθ = 0 → d²θ/dt² + g senθ = 0
Equazione differenziale del moto del pendolo
Per piccole oscillazioni possiamo assumere sen x ≈ x
(l’apertura dell’oscillazione è così piccola che questi due valori possono essere considerati uguali), quindi abbiamo:
d²θ/dt² - g/L θ = 0
Dato che ω² = g/L La legge oraria del moto è:
θ(t) = θm sen (ωt + Φ0)
Φ0 - angolo che alcune condizioni iniziali
Il PERIODO del moto è T = 2π/ω → T = 2π √(L/g)
Legge oraria dello spostamento: S = L • θ
Velocità v = ds/dt = L • dθ/dt
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