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MECCANICA
CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE
si considera il sistema di assi cartesiani:
TRAETTORIA:
luogo geometrico delle posizioni occupate dal punto nel corso del tempo.
- le lunghezze si misurano in —> Metro (m)
- il tempo —> Secondo (s)
(SI) —> (SISTEMA GIORGI)
MOTO RETTILINEO:
si introduce il concetto di velocità
velocità media: vm = Δx/Δt = x2 - x1/t2 - t1, [v] = [L]/[T] = m/s
velocità istantanea: limΔt→0 x(t+Δt) - x(t)/Δt = dx(t)/dt
Se è conosciuta la funzione x(t):
x = x(t) ∀t si ha => v(t) = dx(t)/dt
Se è conosciuta la funzione v(t):
dx' = ∫v(t')dt' —> x(t) = x0 + ∫t0t v(t')dt'
(Legge Oraria del Moto Rettlineo)
E posso riscrivere la velocità media
vm = x(t) - x0/t - t0 = 1/t - t0 ∫t0t v(t')dt'
Caso Semplice: Moto Rettilineo Unifome
- moto in cui la velocità rimane costante:
v(t) = v0 = cost
x(t) = x0 + ∫t0t v0 dt' = x0 + v0 (t - t0)
spesso si sceglie t0 = 0 :
{
x(t) = x0 + v0 t
v(t) = v0
- Se la velocità non è costante → v - v(t) → è necessario descrivere quanto velocemente cambia
- accelerazione media: am = (v2 - v1) / (t2 - t1)
→ [a] = [L] / [T]2 = m/s2
- accelerazione istantanea: a(t) = lim Δv / Δt, Δt → 0
- dv(t) / dt = d2x(t) / dt2
si ha dv = a dt → scrivo:
∫v0v(t) dv = ∫t0t a(t') dt' → v(t) - v0 = ∫t0t a(t') dt'
→ v(t) = v0 + ∫t0t a(t') dt'
Caso Semplice: Moto Uniformemente Accelerato
- l'accelerazione è costante:
{
a(t) = a0 = cost
v(t) = v0 + ∫t0t a0 dt' = v0 + a0(t - t0)
E se scelgo t0 = 0 -->
{
a(t) = a0
v(t) = v0 + a0t
Moto Nello Spazio 3D
Leggi orarie
r: r(t) = {x - x(t) y - y(t) z - z(t)}
Posizione del punto tramite coordinate cartesiane:
r = vettore posizione -> r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k => r(t) = {x(t) y(t) z(t)}
Posizione del punto tramite coordinate polari:
P(t, θ, φ)
Posizione del punto tramite coordinata curvilinea:
P = (forma traiettoria, s(coordinata curvilinea)) => Vscalare = ds/dt
Vettorialità => Moto Nel Piano (2D)
Da velocità vettoriale a scalare:
V* = ds/dt = st Vscalare u
Vavg = r2 - r1 t2 - t1 = Δr/Δt velocità vettoriale media
Vinst = lim(t2-t1)→0r(t2)-r(t1) Δt→0Δr=dr/ dt
In component:
{(x, y)dx(t)/dt dy(t)/dt}
Seconda Legge di Newton:
Fint = m · a
- CASO FORZA PESO
P = mg
- CASO REAZIONE VINCOLARE
a. "Il piano è in grado di esercitare una Reazione Normale."
P + N = 0 → N = -P → ||N|| = |P| = mg (se solo P agisce su m)
- IN GENERALE:
Se un corpo è appoggiato su un piano ed è sottoposto a forze ⊥ al piano la sua "cinturate" è R:
N = -R
- Se il piano è liscio è in grado di esercitare solo N:
Il modulo di N è tale da compensare la componente ortogonale di R:
N aumenta tanto quanto serve fino a un limite: CARICO DI ROTTURA DEL PIANO
PIANO LISCIO INCLINATO
F = ma → P + N = ma (legge vettoriale)
- x₁) Px + Nx = max
- y₁) Py + Ny = may
{ (Px - Psinα) + (Nx=0) = max
(Py - Pcosα) + (Ny-N) = may = 0
|R|sinα = ma → a = gsinα
N - Pcosα = mg cosα
Lavoro di una forza & Energia Cinetica
Lavoro Elementare
δW = F⃗ · ds⃗
In particolare si hanno 3 casi in base a come i vettori F⃗ e ds⃗ tra loro:
-
per θ < π/2 —> F⃗ · ds⃗ > 0 —> W > 0
-
per θ > π/2 —> F⃗ · ds⃗ < 0 —> W < 0
-
per θ = π/2 —> F⃗ · ds⃗ = 0 —> W = 0
Lavoro di una forza:
WAB = ∫AB dW = ∫AB F⃗ · ds⃗
Casco particolare: F⃗ = cost.
- modulo
- direzione
- verso
si ha: WAB = F⃗ ∫AB ds⃗ = F⃗ · Δs⃗
Il lavoro è il prodotto scalare di due vettori.
Prodotto scalare:
a⃗ · b⃗ =
- axbx + ayby + azbz
- a·b · cosθ
- ab// · b · a‖‖
PER LE FORZE CONSERVATIVE
WAB = - (UPB - UPA)
TEOREMA DELLA CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA
EKB - EKA = WAB = - (UPB - UPA)
si definisce ENERGIA MECCANICA EMecc. = EK + UP
CONSERVAZIONE IN MECCANICA
EMecc.B = EMecc.A = costanti
{ EK = 1⁄2 mv2 UP = somma di tutte le UP potenziali}
Se ci sono anche Forze non Conservative?
WAB = EKB - EKA ma WAB = WABcons. + WABnon cons. = - (UPB - UPA) + WABnon cons.
=> EKB - EKA = - (UPB - UPA) + WAB
=> (EKB + UPB) - (EKA + UPA) = WABNC
EMecc.B - EMecc.A = WABNC
( Se ci sono forze non conservative l'energia meccanica non si conserva)
COROLLARIO:
f(x) (grafico)
f(x+dx) ≈ f(x) + df e df = f' dx = dF⁄dx dx
IN GENERALE:
f = f(x,y,z) (differenziale di f)
d2 (dx,dy,dz)
DERIVATA PARZIALE:
df = ∂f⁄∂x dx + ∂f⁄∂y dy + ∂f⁄∂z dz (Differenziale di f)
GRADIENTE: grad(f) = ( ∂f⁄∂x, ∂f⁄∂y, ∂f⁄∂z )
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
