Appunti di Algebra lineare

Teorema sull'indipendenza lineare dei vettori

Siano dati i vettori x₁, x₂, ..., x_n in uno spazio vettoriale V e le applicazioni lineari f₁, f₂, ..., f_n che portano tutti i vettori in V. Se i vettori x₁, x₂, ..., x_n sono linearmente indipendenti, allora le applicazioni lineari f₁, f₂, ..., f_n sono indipendenti.

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che le applicazioni lineari f₁, f₂, ..., f_n siano dipendenti, cioè esistono i coefficienti a₁, a₂, ..., a_n non tutti nulli tali che a₁f₁(y₁) + a₂f₂(y₂) + ... + a_nf_n(y_n) = 0, dove y₁, y₂, ..., y_n sono vettori dipendenti.

Consideriamo il vettore v = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n. Poiché i vettori x₁, x₂, ..., x_n sono linearmente indipendenti, la combinazione lineare v = 0 implica che tutti i coefficienti a₁, a₂, ..., a_n sono nulli.

Dalla precedente uguaglianza f(v) = f(a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n) = a₁f₁(x₁) + a₂f₂(x₂) + ... + a_nf_n(x_n) = 0.

Quindi, per ipotesi, le applicazioni lineari f₁, f₂, ..., f_n sono indipendenti.

forapplicazioni wnonDefinizione immaginidiff l'insiemedi definisce (nucleosia lineare, si kerffiv controw come delleKerf=(XEV/fX) QwIdiw,del cioenullavettore =W WwKerF ->. ImFosservazione ewhEVIf= spaziosottosiafiv divwlineare, herf= e=in AHiF i (Xz) 2(z) f(x) Vzekerf22kzekerf,gof(x) f(X1Siano f(xz) f2X, 2· = +=== ++ + =+ +F(k) kf(Y)f(x) 0,2kfRR· 2k.2 k.kekerrSiano Ekerf, cioe === =- -echiuso quindi spazioprodottorispetto escalare,Ker f somma solounoa pereiniettivitàeTeorema nucleo- {2}feliniettivasiaf: solo=wlineare, kerfsese ev =iniettivitàDimostrazione nucleoe- V W{2}f e'iniettiva Kerf* - eowdi2 fmaf(X)Sia (8).1f(x)cioeker,ke = = = kert={2}poiche'r einiettiva, abbiamo e, dunque{2} iniettivaker f fe* = - f(VI) f(xz)dimostrare xz.Devo che k== =- cioxz)f(x) f(xz)abbiamo 0f(xf(x) f(xz)Da 1-kzfKerF.e ==- = -= +=Dunque =e quindi 12.- e =RY/F(x,y,z)R3 (x,y,0)F:es: =+- eR3/f(x,y,z) (0,0,0,))((x,y,z)eR3/(x,y,0)2 ((x,y,z) )(yfd0mF/f(x) 2ker f == =

===0(y=8 a)+(i)E kerrx = =--1y 0= ((x,y,0)/x,yER)=Im z 0=-Definizione fibra(fissato), fl ell'insiemesiat:v fibraWooW ditlasia su di attraversowowe wo-(VeV/f(x) (w0) (wo)w0) *-F r= ==osservazioni** WoImr1(Wol quando=(Qw)** Fker=** vettoriale(wol cuiWo=e Qunelsolo casospazio inuno un'applicazionefibraStruttura lineareTeorema didella- * SYotXIXEKerry;linearesiafiv (W)sia Votker=risultaWofImA,ew= =qualsiasi**/Wo.dove un vettoreto e Nullita' Rango+Teorema -siaf. siavettoriale lineare,elineare spazio towfinitamente generatoV conw-dimkerft dimImt=risultar: dimv.- un 1013nullita rangoDimostrazione Nullitat rango- XK) basedibasesia BudivestendiamoBx=(X1, Kerr, chetalee2, unaauna..., (dimV=n)(x di klBv dimkertbase v.z,xz,...,Xk,Xk n,1,...,= =+dimostrarevoglio ImFdimche n-K.= diproviamof(Xn), ImFconn-kef(Xk+11, (W1BI Wrl baseSiano che unaWr=w== r.= =...,,...,che dai vettoriW....,mostriamo generatoImfe Wr:· generico XV.immagine unottenuto vettoredi unvettoreIl ImF

vettore di comeew Buebaseconsideriamo osserviamo che:

la f(x ankn)f(x) I lineare1Xkx xkk xkw ... I...= += =+= ++ +1++ anf(Xn)xkf(Xk) 1)=21f(X1) 1f((k ...xk...+ ++ + ++ +! Wr! We-kerkk↓ 1 , ..,.n Wr....xkw 1w +1+= + WrySpandW....,di quindi ImF=linearewelcomb.Dunque reW1,...,mostriamo indipendenti.(invettoriche sono· Iw1,....combinazione lineareprendo vettoreugualedi mostriamonulla,alouna che....nulli.necessariamente;coeff, devono essere BrF(Xn)Scriviamo laDa B1f(Vk+1)+...B1W1+BcWzt... 2BrWr 8+ e per= + =linearita Brn)f(BIXK+... eno dunque:=+ BrYn=bak...bexBrInfker-SpanG...,Yky BEXK1...B1XK+ quind... + e1 bkkk BrUnB1Xk+1-...-b 1.V1 +...= + =- Bu), iindipendenti vettori(perchepoiche......, baselinearXI, dellasonoVA...... In cioe' l'unicaBrcoefficienti nulli, BIBi particolareinbi devono B......essere 0,e == quellalineare Bc somma nullo, banale,comb. BrWr che comeha il vettore eWet... + indipendenti.lin.dunque sonoEre...IR2 aR2e"isomorfoRR2 R2 eunisomorfismoIR2: + 2

12 applicazioni lineari invertibili infinite Esistono da R^2 a R^20: R^2 -> R^20 è una applicazione lineare invertibile. Infatti, consideriamo il vettore (0,0) in R^2. Esiste un unico vettore (x,y) in R^20 tale che T(0,0) = (x,y). Proviamo che T è un isomorfismo fornendo un isomorfismo esplicito. Ricordiamo che R^n è uno spazio vettoriale di dimensione n. Quindi, per ogni vettore (x_1, ..., x_n) in R^n, abbiamo una funzione f(x) = (x_1, ..., x_n) che è lineare. Infatti, la funzione f è iniettiva e suriettiva, come g. Fissata una base B = {v_1, ..., v_n} di R^n, ogni vettore x in R^n può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base B, cioè x = x_1v_1 + ... + x_nv_n. Quindi, esiste una funzione g(x_1, ..., x_n) = x in R^n tale che f(g(x_1, ..., x_n)) = (x_1, ..., x_n). Evidentemente, g o f sono funzioni lineari, e inoltre gof = I_n e fog = I_n, dove I_n è l'identità in R^n. Quindi, f e g sono isomorfismi tra R^n e R^n. 13/3 dimensioni Teorema - isomorfismi e dimensioni vettoriali Due spazi vettoriali sono isomorfi solo se hanno le stesse dimensioni. Dimostrazione: Siano V e W spazi vettoriali. Supponiamo che esista un isomorfismo T: V -> W. Allora, per ogni vettore v in V, esiste un unico vettore w in W tale che T(v) = w. Fissiamo una base B = {v_1, ..., v_n} di V. Ogni vettore v in V può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base B, cioè v = x_1v_1 + ... + x_nv_n. Quindi, esiste un unico vettore w in W tale che T(v) = w. Pertanto, la dimensione di V è uguale alla dimensione di W.

suriettiva risulta dimaxquindife dimw.v=dim dimwDunque basi (V,K,..., undue diB Wn)(W,Siano basebase div,AA W,W2,e = = . ...W-R"YB:YA: coordinatelineari U-Rn,L applicazioni che ognidi ledanno vettoreisomorfismi.sonoconsiderando:4 ti v X2Wzt...(X,,x11t...tAnkn Xn) XaW1 XnWnx2,.., += +--e' isomorismo nequindi mortiisosonounYB(F w).YA:v ==NB:F(Xz) W1=↳ (z,0,..,0) OWz.OWn1X12 0kzt... +1Wz0Xn W1= =++ + >YA 4R" e'fa:v isomorFismo!un- linearif.RFIRS.Quali applicazionilesono. sia F(1): linearita' risultanecessariamente lapera,f(x-1)f(x) x f (1) x.a= ==un WeE IR a funzionilinearida solo del f(x)=axtutte tipoinle sono leapplicazioni conefissato.a canonicaBasesono R" R?Quali lineariapplicazionile da in. ~f(xxen xnen)F(x,x2,..xn) x2f(e)I(X,,x2,...,xn) xf(ex)yeR xz2zt xnf (en)+= + ++= += ......+e - f(ei)GIR ai ==x anaz+ InX,a1= + .... RR*-Rapplicazioni lineariF.le sole tipofunzionitutte dellesono e(aie Fissatilf(Xz,...,xn) maxn= I numeridieldipolinomio grado

deialmenoseomogeneo a unonin x...., zero)abbiamodiverso ilaltrimentida zero, numeroRM!R"Quali applicationilinearile dasono a· (y1,y2,...,un)...,Xn)f(x2,x fi(xax....., linearedove xn) conf,yi==, -GIRAxxzt... xnany= xxa X1+= += EnbnXnbzxztbxxx I...yc = + -+iEn (nC2Xzt....=C1X1 xn+ R" RMLe Funzioniapplicazionilineari disole letutteda tipoquestosono ea IR" Rmogniapplicazione associamodaAd matrice,biunivocoin modolineare unaa primo polinominullildi loe' polinomimatrice omogeneideila deicoeff,che gradol'applicazione lineare.che descrivonoF matriceapplicazione associataLA Alineare alla= IacXzt axn aanx MaaX1 I+= +1 e... bnInbzxc+...En b1 xI = 1 ++" (n (nCzXzt....C1X1 C C2xn++ = . . ..R3R2CS:F: +F(x,y) y) lineareapplicatione(x y,3x,2x= + -F(21) IF(er) 1 (21) 0)