Appunti di Algebra lineare

20102

I equivale

di

e

e'equivalente

sbagliato dire prendere

I, in

devo

che e

ma

e a AG1

-proprieta' orientato

vettori vettore (vedi

cose

dei applicato -

-

·riflessivital

simmetria

. I

·transitivita

↳ farcile operazioni

posso

Somma:

regola parallelogramma

del

-proprieta

commutativa x x

y 1

+ +

=

-proprieta' associativa () x)

(w

(1 y

w

+ +

+ +

= importante invertire operazioni

orientati)

(vettore

-elemento le

neutro per

non -

oppostol

opposto (verso ve -v

-

prodotto sol

modulo

influisce

-

prodotto lse e

esterno negative,

vettore sul

scalare cambi

uno

x

(11V V

-elemento FV

neutro =

-h(kw) (T)

(nw)

= distributive

-proprieta lineari

vettorialidescrivono spazi

spazi

((x,y)/x,yzR)

= assiomi

perchesi

R verificano

vettoriale

spazio

di

esempio

-

y)

(a,b) (a

(x,y) x,b +

= +

+ xity)

(t

t(x,y) =

(0,01

2 = (

x (x,y) y)

x,

=

- - = -

-

1(X,y) (1.x;1-y) (xiy)

= =

h(k(x,y)) (hkx;nky)

h(kxiky) nk(xiy)

= =

= finite

tipo

finiti l'orologio elementi

ricomincia

le

che gli

ore

campi con

i 21/02

come vettoriale

vettori geometrici Fis

spazio ISOLO

· vettori

l'origine,

vissata correlo punti

" ai

I 2

in il

fissato di valori definire

cartesiano, che

anche coppie

piano correlo a

vanno

un veHOre

yBl

=( XB,

-C

I prodotto

a yAl scalare

(XA, + con

X =(Xc,yc)

y v

+

"A

- triangoli

i congruenti

sono

I XA

xB +

Xc =

-

nell'indeterminata

Insieme polinomi

RK) come

coeff vettoriale

dei reali spazio

a

x

. (Go fai) I classici algebral

xr

R[x) acx polinomi

di

dex am

.

+ +

+ +

= ... x3)

(3x2

x3)

(1 3x2

q(x)

P(x) 1

2x 2x

= = +

+ +

+ = + +

polinomio

elemento nullo

neutro: inversi

polinomio:

esiste segni

opposto del con

13) x3

7(1

7P(x) 7

7 14x

2x + -

+ - =

= complessi

numeri ([x)

anche con

-> -

matrici RC

vettoriali

le M(mxn,

spazi

anche sono

. I e ne

↓. numero

I

are

I au

(ais) e

A =

= e elementi

operazioni della

gli matrice

le

effettuare

posso oppure

con

-> matrici

20 più

tra

RR" come

insieme funzioni vettoriale

insieme

che spazio

delle da

vanno x reale

a campo

un

· un

R)a4,4 (E

(B!)

R)

= (Xi)

(f:(1,3

(f: coppia numerireali

ordinata

R x di

= +

+ =

- -

g)(x): f(x)

R(8 g(x)

f,g:x + +

+ = k(f(x))

(kf)(X)

f: R, keR

x =

= (f(x))

f)(x)

1 =

- - 13x41,2,33

(1,23x32,2,3) f:(1,23x91,2,33

1 R

=>

-

= +

ciness

in I Rncs) R)

=M(2x3, Biunivocal

(corrispondenza

matrice isomori

sono

-- perche' lo spazio

determinano stesso

(2,2)(2,3)

(2,1)

2 - la isomorte

anche trasposta

matrice sono

sua

e

una vettoriali

spazi

sotto (RY)

vettoriale

el di e'

sottoinsieme spazio non uno cond

ma

uno

un -> necessaria

7

in 0,0

(ad

vettoriale esempio

R2 l'elemento

spazio neutro

manca

E ↳ rispetto

lese e chiuso alla produtto

somma al

e

R I risultati

=i appartengo

operationi

delle no

somma

es. la all'insieme

loro volta dal quale sono

a

Stati elementi dell'operazione

gli

scelti

2x2/a,b,ce,cfo)

[x) (a

R 2

c'e'

bx polinomio grado

il non di

e'

nullo

non perche

=

2 + +

= /a,b,ce)

R ex e

(x) {a spazio vettoriale

bx uno

2

= = +

+ 24/02

funzioni

applicazioni

lineari addittive

che e

sono omogenee

f(x)

additivitay, f(y)

e f(y x)

= + = +

f(kX) kf(t)

VEV;

omogeneità: KER:

V =

lineare: in

combinazione operazione spazio

convettori lineare

combinatione e

Siano la

di lineare

ER,

sianox,d....

..... vettori v, e am

E

2, 2nX

+ 2,2 ... +

+

Definizione

Span/V;;

Um): combinazioni

tutte

insieme lineari

le

di

↳ vettori (generatoril

spazio dai

vettoriale div generato

sotto comb.lineare=comb. chiuso

lineare

Somma

. chiuso

Scalare:comblineare

Comb.lineare.

·moltiplic. -

IR2

V

CS: = I (1,0)

=

(1,33 (0;1)

A I =

= b1/a,beR) b(0;))(a,be(R) ((a,0) (0,b)/a,b+R)

(ai (a(1,0)

Span(1,3

Span A = =

+

= +

+ = (2)

=((0,b)/0,beR =

RR2

es: ((i);(0);(2))

A = c(i)(a,b.cfR)

b(d)

(a(d) 12

Span A = + =

+

y I di lunghetta

versori 1

es

-

. . . . . . ,

- : lineare

combinatione

B (x,y) x1 y1

= = + -

1 I

I X P(3,3) (0,1) (2,1)

(1,0)

31 1

31 22 x =

= +

= + +

+

+

(esempio precedentel

=E, /2,1) combinazione 1

lineare

e di

NB:

1 1

e

Definizione ..m]

SV, dipendenti

A di

dice

di

insieme vettori

si insieme

vettori linearmente

un = scrivere

si

almeno combinazione altri

degli

puo'

quando lineare

come

e (i) (i)

2(6) (con

23 inversel

3(0,j):(1,8); tutte le

A = = +

e

Definizione

i dipendentiquando

........ combinatione

vettori sono linearmente esiste

In una

1: nulli)

lineare abbia il

banale che

tutti nullo

somma vettore

non n on come

d.k tutti

& dz,..,

dr, an nulli

d2Xzt con

ann non

... +

+ =

Definizione combinatione

l'unica

vettori indipendenti

quando

linearmente

....... In sono

i abbia quella banale.

lineare che il vettore nullo

come e

somma

1 solo

dnIn per

+dck2+... 0

x x2

2,4 xn

=

+ = =... = =

Definizione: linearmente indipendenti

ordinato spazio

insieme dice

si base

Un di dello

generatori

vettoriale.

(I; 2) 2 vettoril

I (=

base cardinalita'

una Stessa

di

es: di

numero

e -> de

(16); ()) R2 Dimensioni

e di rettoriale

base dello spatio

2

una i =

=

(y t2B 0

18) (=8

B(i)

x(8) =

-

=

+ -

=

(15); (5) s e' base

una

(15); (2)) e' base

una

()]

( ();

(8); e' base

non una R

di

due

Cerchiamo

es. anzi

base,

una ()

(8) (8) i

(1,2ik) i

B B

= =

con genera

=

=

= = = R3=spanB

RE lineare

scrive cioe'

vettore B,

ogni comb.

si deivettori

di di

come

() x(8) 3(8) z) in

zksonolinearmente

- e

indicende seme

= + +

+ = R3

detto di

base canonica

(();(?);(=) e RSS

mostriamo che A

A pan

= I

(a a

(Eai-

(2) b(i) c(i) -

ce

a(8) ->

-

+ +

=

(2) x)(8) z)(=)

z)(i)

=(x (y (x

y x (8)

= y

t c(i)

+ (8)

+ b(i)

- + - - +

+ perchea

e'uninsieme indipendenti

divettorilinearmente

A

- =

+ +

3010 b

per 0

c

a =

= =

((i):(2); (8)} 2.(2)

(2)

dipendenti

linearmente perche

sono

0 =

= R3

e' di

base

una

non

->

((8); 18); (

= base RS

una di

questa e

nemmeno

=

Osservazioni: n)

3K,X....

l'insieme vettori

A nullo, linearmente

i sono

se il

contiene sempre

vettore

· =

dipendenti, base contenere il

quindi nessuna nullo.

vettore

pur

-Un 0

=

+OXn-1

inFaHi, combinatione

ho

1 banale

1.2

OtOkt... lineare non che

una

=

+ definizionel

nullo/sioppone

ha il alla

somma

come vettore linearmente proporzionali,

vettori

Due se solo

sono

nulli dipendenti se

ex e

. non y

7

cioe' /1= inFaHi:

KER AX, qualche

Siano cioe' BF0;

dipendenti, 2700

2y+B

il 0 per

= xf0),

(posso

abbiamo y=-B*

Sia quindi perche

dar xy=-BK

x4+BI=

2FO, 0

proporzionali;

dunque sono

yev dipendenti perche' coefficiente

cioe'

14-A=& sono il

allora

se

viceversa, y=AK yec

1F0.

4

di e dipendenti,

se aggiungendo all'insieme

linearmente allora vettore

· sono

Um,

V2,

X, un

dipendenti,

abbiamo in

vettori FaHi:

ancora Xn....

IX, fe, XnXnx.....

dipendenti,

linearmente allora

vettori XX,

-se sono

i anche

linearmente nullo

dipendenti aggiunge il

sono se vettore

I fx, Xn}

linearmente

sono dipendenti,

vettori allora X,

s,

-se i linearmente

sono dipendenti 27/02

sono quando

dipendenti

linearmente piano

vettori generano

2 un 20230227

indipendenti dipendenti

Definizione:

L'insieme .... spazio vettoriale

dello vel base

In

di per

ordinato quando.

vettori una

n)

ve cioe' V

Span=(X,,...,

generato Un,

da u.... =

- In indipendenti

-...... linearmente

sono

Base coordinate

Teorema e

- di

C....... se

vettori ogni vel

se

e'una solo

Siano di Unl vettore

B

v, base

......, n e

= lineare cioe'

comb. esiste

si K....,

scrive di

unico

modo n,

in sola n-upla

e

come una

una

reali che

ordinata Xn.

x

dinumeri tali n

de....

d, +

=

Definizione: dai

(K, date

sono

vev

Se Un) base diun

allora vettore

le

div,

e' coordinate

B vz, una

= ...

dell'unica

coeff, In

che VtxzVz...

combinazione X=

lineare tale an

x, +

6 =(1i])(X,y)

RRP x1

la base canonica

in

es: y1

con +

= X

coordinate rispetto B

base

di

[v)B ( .,xn)

d, x2

= B

, . .

(x,

[v]B

YB()= n) applicazione

osserviamo fissata v,

Bdi

base e

che x....,

una =

YB:

R, v R

4

lineare da a -

Base

Dimostrazione coordinate

e

- EV unico

mostriamo

(V.. ogni scrive

Un) modo

si in

che

v,

base

B di vettore

Sia = ... di

lordinati

dei B.

combinazione lineare vettori

come

supponiamo ve BnY

dn=

due

si in

scriva modi

che x+...

v x, t... e

B,

+

= +

Scritture coincidono, quindi

che le due

mostriamo Bz Xn=

Bn

d2

di B1, =

= ...;

Se membro membro

sottraggo ottengo:

a

(Bikt

(4,k xnkn) BnXn) (dn-Bn)

(X-- Bi) Xn

&

x Xit

X 0

+

...

= + +

+ = =

+

-

- ... ....

lindipendenti,

poiche....... Bm

In 0

sono Bc

abbiamo dm

ac

-Bi = =

=

= - -

...

cioe 2m BM.

B,,

x ac B2

= = =

, ...

ogninel si unico che

modo mostriamo

scrive in nn,

I

come dex...

x +

= +

IX,

l'insieme e' di

base V.

B n)

...., una

= cioe'

ogni

vel scrive spand...

abbiamo

Poiche ny

si I

sopra, vax...., n

come =

v

generano linearmente

Notiamo indipendenti:

Un sono

che ...... &fV; poiche' si abbiamo

il

consideriamo in

vettore a,1,....

1

scrive che

unico, ne

modo

un =

K,

cioe so

cioe' necessariamente,

+Oh X,

-ONOUst... no

0

<n= In

X,=12=...- ...

.

indipendenti B

linearmente una base.

e

e

c/a,b,ceR),ax

R22[x) (ax eR

es:V bx bx c 0vx

= =

+ + +

+

= alo;

(x) 1)

span/x: identital

R principio

solo se

se b=o, polin.

per

c

= e 0

x: =

(x)

Rz

B di

1)

(x 2, e

= base

x, una c)

fax (a,b,c)

YB(ax quindi

dim

bx che

bx coordinate sono b

c 3

=

+ +

+ +

= -

3

3

&B:RR=2[x] => a,b,c,de

((id)

2,R) R)

M(2

es: =

x

7,9) (88) (88) a(687

(38) c(987

(88) b(88) a78:)

+

+ + =

: - +

+

span((88), to*), 708), Toe)}

ordine 2

M(2x2,R) ai

generatori

sono

= ↑

(a) la lineare

generica combinazione generatori

dei vettori

e

189):

780) d

b lin.

i indipendenti

vettori

cioe' sono

0 generatori

per c

a = = =

=

Ezz) 1)

B (Ex, e'

= M(2x2,

base di

Ezz, Ez, una

(2x2,R)

M

dim 4

=

(799]) (a,b, c,d)

fi = V?

spazio vettoriale

esiste base per

sempre uno

una

Definizione: finitamente vettori

velgenerato finito

si di

dice generato

spazio da

se numero

uno un

base

della

Esistenza

Teorema -

spazio finitamente

vettoriale base

generato ammette

ogni una

Dimostrazione. Esistenza della base

2kkk/2,

(dek -R]

4k

Span(X,,

v

Sia X,.., +

=

= +

...

Dimostrazione. Esistenza della base

2kkk/2,

(dek -R]

4k

Span(X,,

Sia v X,.., +

=

= +

... xx)

(V....,

B

lin. Indip allora

sexs,.... Formano base

una

sono

In =

⑧ scrive

di

allora

lindipend. questi combinazione

x

sel,..., altri

lin.

si

sono come

uno degli

· Spand,., XXL V

.,

sia XII, V

abbiamo

V...+GA

Uk che

x, span

= = =

4 2x}

(xk 2k 1kk

..

= + +

+ 1

-

- un

+A-1XI-al}

=(xXz dk(A

...+

Gk-zXk-

S + 1)

21)k+

=((x

ierando si ottiene (2k 1)kk

da xkxk

...

+ + 1 + -

- -

}

=Span(Y,

risultato V....Xk-

il

Teorema-Dimensione la cardinalità

stessa

hanno

diuno vettoriale

basi

le spazio

Tutte

Definizione di

cardinalita' detta dimensione

e'finitamente generato,

se di

la base v

v una e

/com#=

#B cardinalital

dim v=

leuwar

- spazio vettoriale siano:

v e

Sia uno div

K, generatori

X...., A

· Indip. div

linearm.

Vettori

,

W, n

· ...,

risulta nIK. (

/se generato

el esistono indipendenti

linearm.

vettori, vettori

UK+

da in

non 1

v Dimensione

Dimostrazione -

Xx,Xz,..,XneA (we,w....,w) che

B

Sia mostriamo

div. x

Basi

2 n

= =

= generatori

consideriamo indipendenti,

... il lemma ken;

In per

A

me...

e

scambio lemma,

gli insiemi nk

sempre il

per

ottengo,

e k.

condizioni

l'unica n

le

soddisfa

uguaglianta entrambe

che e =

lemma deduciamo

Dal che:

vettori dipendenti

dimv=h,

Se allora linearmente

* n+1 sono Wn)

l'insieme V.

fUlin.indip. e'

se B

allora,

dimv= di

base

(W,...,

n Wn

W,wz... una

* e =

complanaril

paralleli

(non ne

completamento base

della

Teorema - (finital dim=n;

e'uno di

spazio dimensione

vettoriale

sev ken), allora vettoritali

linear. esistono

(con

indip.

X..... sono

e che

e n-k

(V

B ..,Wm) base

e'

...,Xk,wk+ una

= c 1, .

ne

k

n -

Dimostrazione Completamento base

delle

- XA3=

V/soHospazio

considero span/X,,...., (VI,...Xk)(k=n)

base

la

abbiamo

sespan),..., X6 V

=

· - · W

espan(X_,...,

wev, Xk]

Span(e,..,k3qV-

esiste

se maw ~

· indipend

quindi X...,

XI, linear

sono

II, w

spande..., dime

considerando

ripeto di

il x,w),

processo finitezza

iterando, la

con

arriviamo di V.

completare base

a

a una (V VI

1

vettoriali

su sottospazi

Operationi spazi soHtosp. Vett

Vel. di

e spaz. w

U,

spazio:Unw=soHospazio

to: un

di

intersezione sottospati sotto di v

e ↓

eunv chiusi

xche' Y, W)

chiuso

X Unw(,u1

V2: new I

+

Eunv

· ew)

chiusi

new Xfunw(Xf4nx

EE:

chiuso che (generalmente)

sotto e'

Fatto: unione spazi

di non spazio

un sotto

unione Ur

->

wit

wa

........ e'operazione chiusa

a non

1

+

~ 7

①

"più sotto

il piccolo"

Qual vuw?

spazio div contiene

che

è (somma spazil da unione

Definizione sono

di 2 I

soHospazi di V.

Siano wa

ne l'insieme di

delle somme

Si dei

definisce vettori

utw new

come

3y u,w=w)