Appunti Algebra lineare

A A A A d

t t

( ) ( )

−1 −1

t t

= =I =Id

A A A A d

Lezione 22

Struttura dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare

- Caso 1: sistema omogeneo

Ax=0

L’insieme delle soluzioni è il ker, definita K la dimensione del Ker,

l’insieme delle soluzioni si scrive come

+

x=c v …+c v

1 1 k k

Nota bene: x=0 è sempre una soluzione

- Caso 2: sistema non omogeneo

Ax=b ∈ ℑ

Il sistema può avere una soluzione (c’è l’ha se e solo se b , cioè allo

x

span delle colonne di A), supponiamo che si sia una soluzione ,

0

allora tutte le soluzioni sono del tipo

−c +…+c

x=x v v

0 1 1 k k =b

x A x

Verifica: sia una soluzione

0 0

Sia x un’altra soluzione Ax=b

( ) = =b−b=0

A x−x Ax− A x

Allora 0 0

=c +…+c

x−x v v

Ma allora 0 1 1 k k

x

Porto a destra e ho finito, tutti gli x con la forma data sono soluzione

0

( )

+c +…+c = + +…+ = =b

Ax= A x v v A x c A v c A v A x

0 1 1 k k 0 1 1 k k 0

+5

Es: x+ y−z=3, 2 x z−w=2

( ) ( )

−1 −1

1 1 0 3 1 1 0 3

−1 −2 −1 −4

2 0 5 2 0 7

⇒−2 =−4+7

w=t,z=s -2y+7z-w=4 y+7 s−t=−4 →−2 y s+t

7 1

y=2+ s− t

2 2 7 1 5 1

=3+ +

x+ y−z=3 → x z− y=3+ s−2− s t=1− s+ t

2 2 2 2

5 1

x=1− s+ t

2 2

(x (−5,7,2,0)+t (1

, y , z , w)¿(1,2,0,0)+s ,−1,0,2)

Lezione 23

Determinante n

è una funzione che prende in imput n vettori di e restituisce in

→ R

⇔

output un numero, il quale viene 0 i vettori sono linearmente dipendenti

funzione che prende in imput una matrice e restituisce un numero

→ n ×n

Indice:

1. Definizione n

Det: (n vettori in ) numero

→

R

( ) =1

det e , e , … , e

D1. base canonica come matrice sarebbe quella

→

1 2 n

identica

D2. Se tra gli n vettori ce ne sono 2 uguali, allora Det=0

( ) =λDet (v )

Det v , v , λ v , λ v , … , v , … , v

D3. (se moltiplico per uno

λ

+1

1 i−1 i 1 n 1 n

dei vettori, allora il Det si moltiplica per )

λ

D4. Le somme escono fuori

( )

+ ^

det v ,… , v v ,… , v

1 i i n

( ) + ( ^ )

det v ,… , v , … , v det ⁡ v , … , v ,… , v

1 i n 1 i n

2. Prime conseguenze

D5. Se scambio due vettori tra loro, il determinante cambia segno

( ) ( )

=−Det

Det v , … , v , … , v , … , v v , … , v , … , v , … , v

1 i j n i j i n

Dim:

( )

+v =0

v , … , v ,… , v

1 i j n

( ) ( ) ( ) ( )

¿ + +det +

det … , v , … , v det … , v , .. , v , … … , v , … , v , … det … , v , … , v , …

i i i j j i j j

Gli altri 2 hanno somma nulla da cui viene la tesi

D6. Le combinazioni lineari escono fuori

( ) ( ) ( )

+ =c +…+

Det v , … , c w …+ c w , … , v det … , w , … c det … , w , …

1 1 1 n n n 1 1 n n

Dim: uso la D4 per far uscire le somme e uso la D3 per fare uscire le

costanti

D7. Se uno degli n vettori è combinazione lineare dei restanti, allora

Det=0 v

Dim: suppongo che sia una combinazione lineare degli altri, cioè

1

=c +…+

v v c v allora

1 2 2 n n

( ) ( ) ( ) ( )

=det + =c + =i

Det v , v ,… , v c v …+c v , v ,… , v Det v , v , … , v c Det v , v , … , v termini sono

1 2 n 2 2 n n 2 n 2 2 2 n 3 3 2 n

( )

v , … , v

D8. Se sono linearmente indipe de ti , allora per forza di cose si

1 n

ha Det=0

Dim: se sono linearmente indipendenti allora almeno uno si può

scrivere come combinazione lineare dei restanti, e a quel punto applichiamo

la D7

3. Caso speciale 2× 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

+d =aDet +d + +d =acDet +adDet +bcDet

Det a e , c e e e , c e e bDet e , c e e e , e e , e e , e

1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1

In conclusione Det=ab−bc

( )

a b =ad −bc

Det

In termini di matrici c d

Lezione 24 ( )

a b c

4. Determinante 3 ×3 d e f

g h i

( ) ( ) (

+ +c + + + +i =aDet + +e + +h + +bDet

Det a e b e e , d e e e f e , g e h e e e d e e f e , g e e ie e , … , …

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 2

Espandendo tutto si anno circà 27 termini, di cui molti nulli perché

contengono vetttori ripetuti, alla fine i termini ≠ 0 sono 6 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+bfg +cdh + + +

aei × Det e , e , e × Det e , e ,e × Det e , e , e ceg × Det e , e , e bdi × Det e , e , e af

1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3

( )

Conclusione: Det aei+ bfg+ cdh−ceg−bdi−afh

Regola di sarrus:

Lezione 25

5. Determinante e algoritmo di gauss

Se A e una matrice , e ci lavoro alla gauss, si hanno due

n ×m

operazioni:

I. Scambiare 2 righe → Det cambia segno

+

R R b R

II. Sostituire riga con

j j i

L’operazione 2 in versione molto grossolana non cambia il

+b

R → a R R

determinante, in versione normale con , in

a ≠ 0

J J i

conseguenza alla fine dell’algoritmo otteniamo una matrice a scala, se

sappiamo calcolare, il suo det, allora abbiamo finito

6. Sviluppi di laplace

I. Rispetto alla 1° colonna sia A la matrice n ×n

n

∑ i+1

( )= (−1 )

Det a a × Det A

i , 1 i , 1

=1

i

( )

a b c

A= la formula ci dice che :

Es: d e f

g h i

( ) ( ) ( )

e f b c b c

( )=a −d +

Det A × Det × Det g × Det

h i h i e f

II. Rispetto alla j-esima colonna

n

∑ i+ j

( )= (−1 )

Det a a × Det A

i , j i , j

=1

i

I segni si prendono a scacchiera

III. Rispetto alla i-esima riga

n

∑ i+ j

( )= (−1 )

Det a a × Det A

i , j i , j

j=1

7. Teorema di binet

Se A e B sono matrici , allora

n ×n

( )=Det ( ) ( )

Det AB A × Det B

Conseguenza: sia A matrice allora:

n ×n

⇔

I. A è invertibile DetA ≠ 0

II. Se esiste l’inversa allora

1

( )

−1 =

Det A ( )

Det A

Lezione 27

8. Applicazioni:

Formula misteriosa per vettori ortogonali

→

( )

¿ ¿ ¿ ( )

v v v −v −v −v

→ v w w , v w w , v w w

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

w w w

1 2 3 ( ) ( )

v , v , v−3 e a w , W , w

Dico che il vettore scritto è perpendicolare a 1 2 1 2 3

( )

v v v

1 2 3 =v −v +

0=Det Det A Det A v Det A

v v v

Consideriamo 1 1,1 2 1,2 3 1,3

1 2 3

w w w

1 2 3 ( )

⃗ =

v v , v , v

Corrisponde al prodotto scalare tra e il vettore prodotto

1 2 3

dalla formula misteriosa

Metodo di cramer

→

Ho un sistema di n equazioni in n incognite non omogeneo

Ax=b

Suppongo , allora la soluzione è unica

Det ≠0 ( )

Det a

1

=

x i ( )

Det A

A

Dove è la matrice ottenuta a partire da A sostituendo la I-esima

i

colonna con b ( )

2 5 3

det −1

1 1

( )

{ 2 1 3

+ +3

Es: 2 x y z=5 −1

1 1

A y= che risolvo con 2 sarrus

−1

1 0

x−z=1 ( )

Det A

−1

1 1

+

x− y z=−1

formula per matrice inversa

→

Per calcolare l’inversa di A si può usare il seguente algoritmo.

A

I. i, j

II. Segui

III. Trasposta

IV. Divido per Det

( )

1 0 1 det=−1+0+8+1−0−12=−4

Es: −1

2 3

1 4 1

¿ ogni posizione scrivo Det A

1) i , j

( )

−13 −1 9

−4 0 4

−1

1 1

2) applico il pattern dei segni

( )

−13 1 9

−4

4 0

−1 −1

1

3) trasposta

( )

−13 4 1

−1

1 0

−4 −1

9

4) divido per il determinante

( )

−1

13 −1

4 4

−1 1 −1

= A

0

4 4

−9 1

1

4 4

Quindi in conclusione per calcolare l’inversa di una matrice possiamo usare

Gauss a partire da (A,Id) per arrivare a (B|Id), oppure con il metodo usato ora

dei determinant

Lezione 28

Rango di una matrice

Def: sia A una matrice m× n

- Si dice R-rango di A il massimo numero di righe linearmente indipendenti

- Si dice C-rango di A il massimo numero di colonne linearmente

indipendenti

- Si dice D-rango di A il massimo K per cui una sottomatrice con

k × k

Det ≠0

Possiamo dire che R−rango=C−rango=D−rango

Lezione 29

Rango e sistemi lineari

Teorema di Rouchè-capelli

consideriamo un sistema lineare con m equazioni in n incognite, lo possiamo

scrivere come Ax=b ( )

⇔ )

Il sistema ha soluzione se ci sono soluzioni, queste

Rango A 0=ango( A '

dipendono da un numero di parametri uguali a n−rango( A)

Lezione 31

Basi ortogonali

Def: { } n

∈

siano dico che costituiscono una

v , … , v R

1 n ∀

¿ >¿

v , v 0 i≠ j

- Base ortogonale se i j

- Base ortonormale se sono una base ortogonale e in aggiunta

{

0 se i ≠ j

| |

| | ¿ v , v ≥

∀

=1

v i=1 ,… , n questo è come dire che i j

i 1 se i= j

{ } n

⊆

Esempio classico: la base canonica è ortogonale, siano v , … , v R

1 n

vettori non nulli e a 2 a 2 ortogonali, allora per forza sono una base

Dim: basta che dimostrare che sono linearmente indipendenti, sia

+

c v c v =0 una loro combinazione lineare nulla faccio il prodotto clalare

1 1 n n

v

con i ∀

+…+ < >+ <v >¿ < > =0

0=¿ c v c v , v ≥ c v , v …+c , v c v , v per forza c i=1 , …. , n

1 1 n n i 1 1 i n n i i i i i

Per produrre una base ortogonale uso Gram-schmidt è un algoritmo che

{ }

v , … , v

prende in partenza una base qualunque e restituisce alla fine

1 n

{w }

,… , w

una base ortogonale :

1 n

{ } { } ∀

=span

Span v , … , v w , &helli