CAP
1 ALGEBRALINEARE
matrici e sistemi
LINEARI
QUADRATI
è e
di tutte
un un ea.de
DEF lineari
sistema grado considerate
LINEARE simultaneamente
insieme primo
è
detto
sistema
DEF se
un ammettealmeno
compatibile una
soluzione
lineare senon soluzioni
ammette
incompatibile
due le
hanno
se
DEF sistemi
lineari stesse
sono soluzioni
esattamente
equivalenti del
esercizioPER
CASA sist
as
stabilire o lineare
se
esistono soluzioni
G
zytz. sz. z
a R
allo scalare
spazio prodotto
introduzione norma
casonoto na a del
Y
r e
u vettori
u
u applicati
piano nell'origine
III
Y II
utw
2
sorta
di vettore R fa
R w L
unoscalare u
PER u
e
e u
U
prodotto K esempio
e R'conle
lo è
che di scalare
vedremo e uno
spaziovettoriale
uno
per
prodotto
spazio somma
operazioni
I
BASE I
CANONICA e
Es Y
e useatuse
dadinate una
di v11
il usa
o
vettore
un
norma e
Lunghezza lunghezza
o
inn
ossi n
o o il
tu
wii ilWii
il
ut
triangolare e
disuguaglianza ha wil
w w
scalare null cosa
e u
v
prodotto ha cosa ma
wto o
uswe ma
vettori infatti
u cu.ws
o o
cv.ws o
si o
ORTOGONALI supponendo usa
percalciare cv.ws aw vana
scalare
formula prodotto il
v11
tra vusitut.vus.ua
scalaree vcu.us
tuava
relazione norma
prodotto R'è
la di
basecanonica ortonormale
esempio l'esito
les slleall
1 s
f ve
in
caso
generale
Yu ng
vie per è
ner
Ith per
It uno
uno re
scalare
somma prodotto spaziovettoriale
p
diR en
BASE Ef
CANONICA o esto
ortonormale è dei er
t
e vettori
una lineare e con
vi un
coefficienti
en in
combinazione
tunen
vsestuaeat
f p
p
p tuy
tua.gg
of
R
es e en èa
dati a una
e ce.es
DEF scavare
prodotto uswstvawat
numero
p
wy allora
ato sa
ato
se a
scalare v e o
proprietà
prodotto vais Voiture
non una warn
nun twi
vale
la vi
anche nun
e
in triangolare
disuguaglianza didue
di tra vettori
a
scalare
cavaysatwarz relazione
disuguaglianza prodotto norma
neri ha la
vi un
si astenuti
Alle
MATRICI
INTRODUZIONE è di reali
tana
DEF
una
matrice ordinati
una numeri colonne
righee
per
di
me n colonne
dirigere
numero numero
az a
are an III n
es
a demertocenaenti mon
ais ais Amatrice
ain
ai
ai ans am am ER
oss ne
in se matrice à
colonna vettore
particolare la
riga
me
se matrice aan
di
matrici elemento
sonno elemento
per pera
prodottoperonoscalarenerimonpacotottigueenenti
somma 1
H
210
1 a
a
è
e di
le scarce
e uno
uno per
spaziovettoriale
Mm con somma prodotto
operazioni
man
matrici
BASE
CANONICA
00 000
o
I
io 1
0
o 00
DI
MATRICI
PRODOTTO ma dimensioni
compatibili
servono
inalconicasipossofaeuprodottodiamatrici
facile
caso matricerigaematricecolonna
prodotto B
A e EM.HR
Mantel
asa an è
È
AB Casa tana
adstadt
an È in
in
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per
matrice
intermedio prodotto
AEMm.HR eran
a
era a
to en
t esserescrittointoriamatriciale
può
quindeasistinearedimea
assasa an incognite
aisaiaain
a
an
an a AEM a DEI
MATRICE COEFFICIENTI
it IERI DI
VETTORE INCOGNITE
amst
am amman
am era vettore
DETERMININO
A
A A _e
usist
esercizio risolvere I
211
a a
esercizio 84 4 Esistorogeneo
a di
del
caso matrici
GENERALE prodotto
A
Emma E
B
A C
Ben 2stoa asto
è a
B
oss
non non
dimensioni
calcolare compatori
perchè
possibile
PROPRIETÀ MATRICI
PRODOTTO M M
A C
R a
R e CaB
B Bc
E
E
e c
Mm
ASSOCIATIVA a AB B
a
a
Btc a
c Btc ca
alla
somma
distributivarispetto
matrici e TRIANGOLARI
QUADRATE han
di
Def ordine en
una n onn
matrice righe colonne
QUADRATA
an an an
A
A r
e
Man ah diagonaleprincipale
an ann
proprietàspecialimatrici
quadrate è
è
è che
aB Ba ab.ba
detto
ma
l'unico incui sia sia non
caso possibilecalcolare
II I
A BY
es A
BY B.AE
del cioè talecheA a ta
a e
I II un
e
In
esiste neutro matriceidentita
l'elemento prodotto
IT
determinante ha
che
è
dee zeri la
tutti
triangolare sotto
una
matrice
una
matrice quadrata diagonale
principale
superiore
a
arean
a di
SISTEMILINEARI
Risoluzione TRIANGOLARI
la
Def dei
matrice
sistema
un coefficientitriangolare
LINEARE
TRIANGOLARE
anno
assistant da
t
ta
a anni
a
A
ess 1 2 II B
3 incompatibile
zytz
sfi.IE
G I
NEI
3 sta
es x cosa
drasticamente succedendo
aytz.se z
32 6 3 nera
2
e 32 1
a
z vere variante
condizioni
ridondante incognite
nera cenano
variante yet
considero
y
dalla
sala z
ricavo stay
stata p
delsist
le a
sanzioni a te
sono a
variare parametri
daa
ha o
o soluzioni
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dipendenti
sistema
questo
lineari
dei
sistemi
teorema triangolari
risoluzione
A R
E
Man TRIANGOLARE
a ai eran ha
sista
via ui
aito e
a
1 allora
n
se sia unica
soluzione
qualunque a
tutta nona non
non singolare
diagonaleprincipale eri
ha asistè
la a e
alcuni
azero
2 se per
almeno incompatibile
diagonale singolare
principale eri
altri asistha
e
per o sanzioni
risoluzionediSistLin emetododi
eliminazione
diGauss
quadrati
è A a
deeun e con matrice
quadrata
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QUADRATO
asnx.es
assist
È è
anni
di
di
metodo Gauss
eliminazione
sist.in
con
risolvere parametri a0
è
es a
I risolvere variare di
a di a
più
avantipersist
non matrice
una ciappuccinearecalcolare vettoriale
e
calcolare
per
quadrati rango sottospazio
s ataleche
dato sist a a
unsist.sicon
strategia matrice cerchiamo
un matrice
con
quadrato triangolare
si
se sist
equivalenti
S A
I
esempi so cerone
scambiare
è
concesso
sx tasso
s a p
sa triangolare
3
asta
s è
s ma s
non a
mangiare equivalente
te di s
sua al Axe
si
metodo Gauss sistema
questomotivo associata
matrice
per completa
opera
de
aan
Ale 9 È
ann
ans
tasso
sx è
riga
s
2 perun dazero
una num
diverso
moltiplicare concesso
tata
s
t ta
3 si
segata
esempio taceva
s o
n s s
s
s s
s o
s s a manzo
cosa se
succede o
fatta
si ho la unneo
aaaa
per
e moltiplicato unica
ottengo
a a o
a
sui
sistemi
lemma
FONDAMENTALE EQUIVALENTI
tanno
aut a
tax
s reo
isistineari sono
s'go.int equivalentiperchè
am
bteca.at a
anno anni ten
Batt
1
DIMOSTRAZIONE di
che
devo sé
a si
soluzione
dimostrare soluzione
ogni disiè as
soluzione soluzione
ogni anni
tanvn
che ae
siasowzonedes Bsvat
vn
vs favst
gasvst
supponiamo Bnme b
Bru
Bava
riavat telavat
B a
tann
Brun o
quindi si
uè di
soluzione ancora
cioè
si
di
sia w a
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_con quindi
anno against
s'e'equivalente
go.int rcswat.i.tbnwn.es
bstelaswat.i.tanwn.at
about.itbnwn poichérepossodividereperniazaea
nè as
soluzione
ossisiappucaacheasistapiazea
le sua dette
matrice elementari
completa sono
Riassumendo concesse scamacrearigene
operazioni operazioni o
moltipuccremargaperummero
sostituiremargaconiasommadenangastessaeamiatta
riga
Def di
chiama di persisterequadrata
si Gauss dansistiquadratosconmatricea
eliminazione trasformazione
procedimento
resist a
sicon
matrice medianteoperazionielementari
equivalentetriangolare as
esempio è Gantz a
a z 03
un 121 da
in
considerolamatricecompieta sanganuanata
IIII
III o
3 sa so
sansa ah n
sansa sanganuanata o o sostanza
sangatransa
vogliono area
A'non toni
zero e'singolare
voglioforcomparirezenava ha
axe
quindi
sistema soluzione
quannavesiaders
unica la
AI
anche unica
sanzione
quindi vera
defidataaernnarsauadratachanoalamatricemangolareotterotadaaranteeliminazioneacauss
è
detta
altrimenti singolare
Aédettanonsingolareseguerementisuuadagonaieprinapaleasonotonnonnoni
Aè
112
esempio singolare
a a
13
a o1 001
o
teorema disisti
risoluzione quadrati
a s sara
dei è
di
unae
e allora
sia a
quadratamatrice un
sistema unica
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coefficienti non singolare
a
dimostrazione a
das
si a
chiamo tramite Gauss
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triangolareottenuto ha siera
sist s
al unica
su unica
fondamentale
lemma soluzione soluzione
equivalenti
grazie ha ètutta
da
la
disist a
al si nona
teorema unica
soluzione non
non
risoluzione diagonale
triangolari
grazie principale singolare
ha
A
ossi da la nona
sisti
caso almeno soluzione o
o
quadrati
particolare omogenei sempre
dal Aè e solo non
non
teorema ama
soluzione
singolare
precedente è
A soluzioni
singolare o
DI
MATRICI
DETERMINANTE QUADRATE
è la a
ad data è
a datacon e
matricequadrata un o
passioneassociare numero proprietà
ogni singolare
forma
a calciacon densita
determinate
si una ricorrenza
per
detare
casona an azz aria
assi
as an
det an
ns
caso an
an assidel del
tassi
detta
an
as an as
as a a e ma
e a a
a daa sariga
a latesina
la la
dimanda
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matrice
notazionecenano colonna È tua
a
Def e
a dataè dataandata andata
e dilapace
andata formula
con
se manca a
naso a aetas ingoia riga
prma
Eat
il è diaos
data dettocofattoreo algebrico
numero complemento s
data s
det datato
s
fa
a a
211 a a
aa
s
a s
dea non
o
esempio singolare
sedete
1 I 1
a 0 0
det
esempio Io dat
a
det
a a
3 3
o s o
DEL
PROPRIETA D ETERMINANTE
detIn In
1 identità
matrice aha
Aè data data
se a a
in uguali o
o righe colonne
particolare o
singolare has
A data
1 tutta
nona
se o
colonna
riga
o
n'è daa data
a data
a
se scavando
ottenuta colonne
righeo r non
adet
sola tuttala
sola ke
sesimonaca puo
te
corona
una viene
un matrice
se
o
una per
riga quindi per
per a
mompucato
numero detta andata
Aè deta
se assa ann
triangolare
bè ad diariana de
daa allora
se a
un
una detto
ottenuta multiplo
sommando riga
riga
B detadetb
di
Binetdetta
Teorema e
DILA
PLACE
TEOREMA FORMULA
vites
r daa
ai la i
un
siaA e sia esima
matrice
n e
ottenuta colonna
esima
dimenando riga
G dai
data chiama algebrico
si cofattore
o complemento ai
Il faina
essi
i
lo data
dela rigaè
is data
la detti
n a
esima asceta detain
per piace ai
per
ogni ai in
sviluppo fatta fatta
è
lo dela data
la
n detti
colonna
tes esittantaetant
tesina a aetas
per piace
per
ogni aetas
ai
sviluppo
E
MATRICI
INVERTIBILI CALCOLOINVERSA
r
è
di sia
a
l'inverso un a
numero è o
l'uniconumero
non
invertone se
o
tea t
a
se ax a
o t t
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