Appunti di Algebra lineare

Vettori

Un vettore è un segmento orientato

Ogni vettore ha una direzione, un verso e un modulo

Due vettori si dicono paralleli se hanno la stessa direzione

Due vettori si dicono uguali se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo

Due vettori si dicono opposti se hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto

Dati due punti che indicano l’inizio e la fine del vettore noi li indichiamo con

⇛AB

La somma di due vettori non paralleli è la diagonale del parallelogramma che ha i vettori per lati

In sistemi di coordinate i vettori possono essere scritti come

⇛OP

dove O è l’origine.

Se le coordinate di P sono (x₁, ..., x_m) allora

⇛OP = (x₁, ..., x_m)

Vettori

Un vettore è un segmento orientato

Ogni vettore ha una direzione, un verso e un modulo

Due vettori si dicono paralleli se hanno la stessa direzione

Due vettori si dicono uguali se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo

Due vettori si dicono opposti se hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto

Dati due punti che indicano l'inizio e la fine del vettore noi li indichiamo con _A^→_B

La somma di due vettori non paralleli è la diagonale del parallelogramma che ha i vettori per lati.

In sistemi di coordinate i vettori possono essere scritti come _O^→_P dove O è l’origine.

Se le coordinate di P sono _x1, ... _xm allora _O^→_P = (^x₁, ... ^x_m)

Im ℝ² i vettori si indicano con

Im ℝ³ i vettori si indicano con

La somma di due vettori è quindi:

Il modulo di un vettore è

La moltiplicazione con scalare è:

• la direzione è quella di
• il modulo è
• il verso è uguale a se
• opposto a se

indica un vettore di lunghezza 1 con direzione e verso di

indica l'opposto di

è il vettore di modulo 0

Dati due punti P e Q il vettore compreso tra di essi si trova

Il prodotto tra due vettori può essere scalare o vettoriale in base al tipo di risultato che restituisce

Il prodotto scalare tra due vettori e :

si indica con

se →

equivale anche a dove d è l'angolo compreso tra e

Se è perpendicolare a allora

Il prodotto vettoriale tra due vettori :

si può fare solo a partire da

si indica con

restituisce un vettore perpendicolare sia a che a

In si trova:

Il modulo è: dove d è l'angolo compreso tra e

se è parallelo a allora

La proiezione di un vettore lungo la direzione di un vettore :

si indica con

MATRICI

Una matrice è una tabella m×m contenente numeri ∈ ℝ.

Si indica con

dove _ij... sono gli elementi della matrice e i, j indicano gli indici di righe e colonne.

dove n è il numero di colonne e m il numero di righe.

Una matrice m×1 corrisponde ad un vettore.

L'insieme delle matrici m×1 si chiama ℝⁿ