Appunti del corso completo di Analisi matematica 2

ANALISI II

SERIE NUMERICHE

Considero una successione {a_n}_n∈N ⊆ R: la somma finita

a₁ + a₂ + ... + a_N indica con S_N, tale da:

S_N = ∑_n=1^N a_n

Questo termine si chiama SUCCESSIONE DELLE

SOMME PARZIALI, o successione delle ridotte

parziali N-esime.

Il limite per N che tende a infinito di S_N ci dà informazioni

sulla somma parziale N-esima.

∑_n=1^∞ a_n è una SERIE di termine generale a_n.

1) CONVERGE se lim S_N = l con l ∈ R

2) DIVERGE se lim S_N = + ∞

3) è INDETERMINATA se ∃ lim S_N

La convergenza della serie non è influenzata dalla convergenza

di a_n (può convergere anche se a_n diverge).

Considero due serie ∑a_n ∧ ∑a_m, allora:

∑_n=m0^N a_n = a₁ + ... + a_n-1, posso scrivere S_N = k + ∑_n=m0^N a_n

Se prendo una successione d_n e una β_n = k + d_n, se β_n converge

converge anche d_n.

Per la serie si può partire da qualsiasi termine m₀, in quanto

la convergenza dipende dalla "coda" della serie, ovvero dagli

ultimi infiniti termini.

esempio: ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ oscilla tra -1 e 0, quindi non ammette limite e

è indeterminata.

Per le serie numeriche NON valgono le proprietà della somma

(non posso spostare gli addendi) dell'ordine: si può cambiare solo

nelle serie a CONVERGENZA ASSOLUTA.

TEOREMA DI CAUCHY

Suppongo di avere ∑a_n convergente. Dato che S_N = ∑_n=0^N a_n, posso

scrivere S_N - S_N-1 + A_n → S_N - S_N-1 = A_n,

dato che S_n converge la differenza fa 0 per n che tende all'infinito

quindi:

∑_n=1^∞ a_n è convergente, allora lim_n→∞ a_n = 0

condizione necessaria per la convergenza: il limite del termine ge-

nerale esiste e = 0

-1-

^∞Σ_m=1 ^m/ₘ₊₁ · x^m, dove x e' un parametro assegnato.

Applico il criterio del rapporto:

^lim_n→∞ ^m+1/_m = ^(m+1)/x · x = x

Se x ∈ [-1,1) la serie converge se x ∈ (1,+∞) la serie divergeSe x = ±1 ^(m+1) diverge

Questa serie chiamano serie di potenze, e convergono semprein un intervallo aperto di convergenza puo convegere anchenegli estremi (ma molto lentamente).

Considero la serie di potenze ^∞Σ_m=0 aₘ · (x-x₀)^m e applico il criterio del

rapporto:

Il limite è:

^{dmm+1/(x-x₀)}/_m! |x-x₀|, API limite e:

|x-x0| ^lim aₘ ^{m+1               |x-x₀|}/aₘ!

Definisce R raggio di convergenza:

^lim_n→∞ ^a_n₊₁/_aₘ!

la serie converge se |x-x₀| < R e diverge se |x-x₀| ≥ R

la serie ^∞Σ_m=0 aₘ(x-x₀)^m si comporta come un plinio negli intervalliaperti del tipo (x₀-R, x₀+R)

SERIE DI POTENZEChiamiamo g(x): ^∞Σ_m=0 aₘ(x-x₀)^m e calcolo ^lim_n→∞^|a_m+1|/_aₘ

R = {¹/_t se t ≠ 0          ∞ se t ≠ 0

Abbiamo visto che la serie converge perx ∈ (x₀-R, x₀+R) e non converge se x ∈ (R-R, x₀+R)

La serie g(x) può essere derivata è integrata termine per

la serie in questa proprio serve ANALITICHE!

^{ex = xm/m!_m!E_N(x) = |C|xN/m!1}

Se scrissi x e faarcio tendere n a 0, la serie tende a 0Una serie converge se ilikteam^∞Σ_m=0

differenza serie di taylor

Una serie convergere se ^>(&limit;)_m→∞

Prenviando e' sirvetti a vàialioe, ne i casi rioi

Esempi: ^{d dx2ex = x.n-m-xm mdx e=edxummy, sevendo}

^{d dx} ⎿ ^x⎾ ^{et dt = ∞Σ_m=0/_m!m}

x ^∞Σ_m=0/_m!

= e^xtem -^x-m

= e^x-1

È importante saper riconoscere quando una funzione è continua.

Le operazioni tra funzioni continue sono a loro volta funzioni continue.

P₁(x, y) = x e P₂(x, y) = y sono a loro volta continue perché sono le proiezioni degli assi.

CONNESSIONE PER ARCHI

Un insieme D in R² è detto connesso se, presi x₁ e x₂ ε D, posso mandare da x₁ a x₂ senza uscire dal dominio.

D in R² non è connesso se ∃ A, B aperti di D t.c.:

1. A ∪ B ≠ ∅
2. A ∪ B = D
3. A ∩ B = ∅

Quindi se posso spezzare in almeno due pezzi un insieme, questo non è connesso.

Non ho modo di collegare x₁ e x₂ senza uscire dall'insieme D.

Un insieme è connesso se ∀ A, B aperti, A ∩ B ≠ ∅ sempre

TEOREMA:

prendo φ: I → R, sarà: (inf(φ), sup(φ)) ⊆ φ(I)

⇒ L'immagine di un intervallo è un intervallo.

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

Sia f: D ⊆ R^m → R^k continua e D ⊂ R^m connesso, allora

⇒ g(D) è connesso (l'immagine continua di un connesso è un connesso)

DIM: (per assurdo o per tnominale), suppongo una tesi non vera ricaviamo una contraddizione.

Suppongo che g(D) non è connesso, quindi:

si ripeter : ∃ A, B aperti di g(D): A, B ≠ ∅, A ∪ B = g(D) e A ∩ B = ∅

Chiamiamo Ā = g^-1(A) e B̅ = g^-1(B) con Ā e B̅ aperti di D (perché g è continua).

1^a osservazione: Ā, B̅ ≠ ∅

2^a osservazione: Ā ∪ B̅ = D

3^a osservazione: Ā ∩ B̅ = ∅ perché se esiste x nell'intersezione x non va in A né in B, ma dovrebbe

(nel suo supporto A ∩ B̅ = ∅

Quindi D non è connesso = contraddizione.

(nella tesi avevo D connesso e g(D) non connesso)

- 10 -

DEF:

f: D ⊂ ℝ² → ℝ e differenziabile in x₀, y₀ ∈ D se ∃ h e k numeri reali t.c.

lim_{(x,y)→(x0,y0)} (f(x,y) - f(x₀,y₀) - h(x - x₀) - k(y - y₀)) / √((x-x₀)² + (y-y₀)²) = 0

USANDO LE MATRICI

Considero il piano tangente alla funzione in X₀ in ℝ^r :

Z = z₀ + ∇^T(x₀) . (X - X₀)

Se il piano di arrivo ha dimensione > 1, f : ℝ^m → ℝ^k e come devo scrivere f(x).

f(x) è un vettore di ℝ^k, (x-x₀) è un vettore di ℝ^m e la norma è presa in ℝ^k.

Il gradiente è allora una matrice n x k, chiamata MATRICE JACOBIANA, ed esprime il differenziale in forma di algebra lineare.

La formula diventa:

lim_x→x0 (f(x) - f(x₀) - f'(x₀)(x-x₀) + Θ(∬(x-x₀)∬) = 0

CONSEGUENZA:

Suppongo che f sia differenziabile in x₀ (devono esistere tutte le derivate parziali).

Ottengo che f'(x₀) = f(x) + f'(x₀)(x-x₀) + Θ(∬(x-x₀)∬)

Quindi lim_x→x0 f(x) = f(x₀) → la funzione è continua.

Se la funzione è differenziabile in x₀, allora è continua in x₀.

La differenziabilità NON dipende dalla coordinata

Somma, prodotti, rapporti e composizioni di funzioni differenziabili sono ancora funzioni differenziabili.

Le proiezioni degli assi x, y e z sono differenziabili, così come somme, prodotti, potenze, seno e coseno.

DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA

Prendo la composizione ℝⁿ ⊃ D

g : ℝ^k → ℝ^mf : ℝ^k → ℝ^m

g(f(x)) ∈ ℝ^m

con f e g differenziabili