Appunti completi Analisi 2

Aula 2

1. Funzioni di più variabili

Sia D numerico se A è dominato da un sottoinsieme di Rⁿ.

• Di generale Rⁿ {x₁, ..., x_n} e l'unione della m-line coincidente.
• Ad norma di P, la distanza di P dall'origine O(0,0) P ≈ √x₁² + √.

Intorno sferico:

• Dato P₀, si definisce intorno sferico centrato P₀ e raggio Z se si indica con R.
• B(P₀, r) ≡ {P ∈ Rⁿ; ||P - P₀|| < r}

Punti di accumulazione e punti isolati:

Dato A⊂R dato P₀, si dice che P₀ ⊂ P. P₀ è accumulazione per A se esiste BP₀ containo punti di A.

• ∀Z⊂BP₀(P₀, r) ⊂ A\{P₀}; ∃i>0}

Un punto P₀ al dire intorno ad nodo di accumulazione per A, poi ne è in un intorno stretto di P₁ int A .

∃BP₀(P₁∩A\{P₀}, ∃i>0}⊃ ∀ ∃ ⊂ ⊂ B(P₀, r)⊂A\{P₀∪[].

** Punti interni riservi aperti/chiusi:

Per A ⊂ numeri ed A ⊂ si trova intorno di ne tutto contenuto in A.

Per P₀ ad frontiera per A, per ogni suo intorno contiene un più di A offro di un complementare.

A⊂R_n si dice chiuso se il suo complementare è aperto.

Chiusura date un insieme A̅ é più piccolo insieme chiuso ordinale A→Ā.A̅→_RA.

Funzioni reali di più variabili:

Dominio d'in se per quali di il variabile ²

• Grario: G(f)⊂(iRⁿ, y): ∈(i,x,y) ⊂ A; y = f(x,y_3) (E un sottoinsieme diR²).
• Mei metodo per individuato il grado sopra il inverse e unite via.

Se z = f(x,y); allora; {(x,y,z); Z}

Limiti:

Sia f: A→R. A⊂R. Sia P₀ punto di accumulazione per il dominio A di f.

• Dimise che f(x) → L per P_→P₀. ∀ϵ > 0 ∃ δ > 0 per P_ ≠ P₀, (P₀ B(P_∩P_0,_δ))→|f(x) - i|<ϵ, ∀
• Sia f_ _{L - ∞}}

Sia P₀ punto di accumulazione per il dominio ⊂ A di f definito in P₀ con per P (p, q) (p₀, q₀).

f : A ∩ Q 3 P₀ : P ∈ A ∩ (p ≠ p₀, q ≠ q₀) → g (p, q) ∈ R

Th. dei succifiti di funzione:

Se per P₀ ≠ 0 la funzione f ⊂ A ammette un limite ed questo è unico.

Th. della permanenza del segno:

Se per P₀ ≠ 0 la funzione f (p, q) tende ad un limite finito L ≠ 0 ∃ un intorno di P₀ per cui risulti: ∃ intorno di punto A tale che ∀ intorno P per la funzione ha lo stesso segno del limite.

Th. del confronto delle successioni:

1) Se due funzioni g (p, q) : h (p, q) tendono allo stesso limite L per P →P₀ in g (p, q) ≤ f (p, q) ≤ h (p, q) allora f (p, q) →L.

• d (x, y) ≥ 0 f per x →p₀ allora g (p, q) = l g (p, q) : L.

2) Se in un sem. intorno di P₀ si ha |g (p, q)| ≤ |f (p, q)| = pag p o significa g = 0 allora anche f (p, q) = 0

3) Se in un sem intorno di P₀ si ha |g (p, q)| ≤ |f (p, q)| = pag per f (p, q) = 0 allora anche f (q₀, q) = 0

Continuità della f (p, q):

Sia f: A ⊂ A ⊃ P₀ ∈ P ⊂ un punto di A è P accetto in f è continua se P_x0 o P_y0 è un punto di accumulazione per il domino di f si ha che la definizione di limite:

∀P ∈ V (P₀): P ∈ A, f (p, q) - f (p₀, q₀) ∈ 0 ⊃ ic o

e si mantiene al limite di ogni P₀ di uno dominio.

Se la f è continua in tutti i punti appartenenti all'insieme numerico (intervallo, prodotto cartesiano o composizione) → f è funzione continua.

Th. di Weierstrass:

Sia f: A → R continua in A (chiuso e limitato) → assume max e min assoluti in A

Derivate parziali:

Rispetto alla 1^a variabile: ∂f = lim [f (x + h, y) - f (x, y)] / [h, x = x₀, ∂_{x, y}(x, y)∈A

Rispetto alla 2^a variabile: ∂f = lim [f (y + h, x) - f (y, x)] / [h, y = y₀, ∂_{y, x}(x, y)∈A]

f si denomina e si assumete derivate parziali in ogni punto del suo dominio.

Derivate direzionali:

Sia f: A → R, A 2 R aperto, P₀ = (x₀, y₀) ∈ A

Fissata una direzione v (h, k) con h² + k² = 1 si definisce la derivata direzionale di f in P₀ lungo v come lim [f (x₀ + th, y₀ + t^h) - f (x₀, y₀)] / t per t ≠ O e se tale limite f si limita → f è derivabile lungo v con d(x₀, y₀) ∈ f

Differenziabilità:

Sia f: A → R, A2 c aperto R ∩ A. Supponiamo che f sia derivabile in P₀ f è DIFFERENZIABILE in P₀ (∂_u, x, y):

• dx f (x, y) = dy f (x, y) dy - f f (x₀, y₀) ≤ E

3.

Sia l = ∫_a^b |φ'(t)| dt: lunghezza dell'arco orientata

Integrali curvilinei di varietà.

Sia γ: [a, b] → ℝⁿ un arco di curva regolare col vertice γ, e sia ƒ: A ⊂ ℝ uno di n-variabili.

A ⊆ ℝⁿ → ℝⁿ

Si chiama integrale curvilineo di ƒ lungo γ: ∫_a^b ƒ φ(t) |φ'(t)| dt

Proprietà: l’integrale curvilineo è invariante per parametri equivalenti e cambio di

⇒ cambiando dom.:

• g: [c, d] → [a, b], derivabile, invertibile
• Se g der.essere:
• ∫_a^b ƒ(φ(t)) |φ'(t)| dt = ∫_c^d g'(x(t)) |φ(g(x(t)))| dg(x(t))

Quindi si g varia, l’integrale non cambia

Curvatura:

Bisogna introdurre il vettore t_γ = T(t_₂), k(t)

K(t) := T’(s) = T’(s); N(s) = N(t); N (t) = nuovo numerale

La curvatura numerale fa variare della traiettoria:

Se k(s t), 0 → y e cerca

Raggio di curvatura:

1/k(s) se y non curva nello spazio si definisce un altro vettore B = T^ ∧ N

B(s): verso Biunivoco

T,N,B: terna univoca

3. Campi vettoriali

Forme differenziali

Definizione del pacchetto di campo vettoriale su ℝ³ = Emo è la funzione che ad ogni punto associa un

vettore

F: A → ℝ³ A ⊂ ℝ³ aperto, F(x,y,z) = ∫(x,y,z) ƒ(x)(y,z); b(x,y); c(x,y,z)

• Ad campo vettoriale è associata una forma differenziale (lineare)
• ω(x,y,z) = a(x,y,z) dx + b(x,y,z) dy + c(x,y,z) dz
• Su generale si ω un'applicazione lineare L: ℝ³ ℝ
• Se coordinato A: matrici tipo A: [u v] A: v
• ω(x,y,z) = a(x,y,z) h₁ + b(x,y,z) h₂ + c(x,y,z) h₃ = ⟨F(x,y,z), h⟩

Integrali tripli

[a₁, b₁] x [a₂, b₂] x [a₃, b₃] ⊂ R. limitata su Q = [a₁, b₁] x [a₂, b₂] x [a₃, b₃].

Si definisce l'integrale triplo ∫∫∫_Q f(x,y,z) dxdydz

Secondo teorema, se A ⊂ Q e R continua su ∫∫∫_A f(x,y,z) dxdydz = ∫_A f(x,y,z) dz dy dx cioè si può ridurre in una unica integrale.

Sia A ⊂ R diminuita A di due variabili (teorema Fubini - Tonelli) se è integrabile su A la funzione estendete f(x,y) su Z.

La 4a è la misura tridimensionale di A (Volume) è: m(A). ∫∫∫_A A dx dy dz.

Facilità di calcolare

Integrazione per per fix = deve valere che A = { (x,y,z) : (x,y) ∈ D, g₁(x,y) ≤ z ≤ g₂(x,y) } D dominio regolare del piano { x,y } g_i = g₂ continue

Sia f : A → R continua, vale che: ∫∫∫_A f(x,y,z) dxdydz = ∫_D ( ∫_g1(x,y)^g₂(x,y) f(x,y,z) dz ) dxdy

Integrazione per strati e deve valere che A = { (x,y,z) : h₁ z ≤ h₂, (x,y) ∈ D(estra) }.

Dove h ≤ h₁, h₂, continua che D(estra) è un dominio regolare.

Sia f : A → R continua, se è integrabile vale

∫∫∫_A f(x,y,z) dxdydz = ∫_D ( ∫_h1(z)^h₂(z) f(x,y,z) dydx dz ) dzdy dx

Applicazioni dell'integrale triplo

Massa di un corpo con densità δ(x,y,z) che occupa una regione A dello spazio:

M = ∫∫∫_A δ(x,y,z) dxdydz = ∫_D ∫_h1(v)^h₂(v) hδ(x,y,z) dxdydz

Baricentro di un corpo si riduce a B(x₀, y₀, z₀)

x₀ = 1/M ∫