Appunti completi Analisi 2

Analisi 2

Funzioni di più variabili

Scena funzioni in cui il dominio è un sottinsieme di Rⁿ.

R² è l’insieme delle coppie (x,y) composte da valori ∈ R, che vengono interpretati come punti o vettori a seconda della necessità.

• In generale Rⁿ, (x₁, ..., x_n) è l’insieme delle n-uple ordinate.

Se un insieme P di Rⁿ ha distanza di P dall’origine O(0,0) = |P| = √∑p_i², ∀p.

La distanza tra i due punti P e Q è la norma del vettore differenza → d(P,Q) = ||P-Q||.

Intorno proprio:

Dato P₀ ∈ Rⁿ, dato ε > 0, si definisce intorno sferico di centro P₀ e raggio ε e si indica con

B(P₀, ε) = {P ∈ Rⁿ | |P|_P0 | < ε}

Si definisce intorno tronco B* intorno sferico privato del centro P₀.

B*(P₀, ε) = {P ∈ Rⁿ | 0 < |P₀, P| < ε}, P₀ ∉ B^*

Punti di accumulazione e punti isolati:

Dato A ⊂ Rⁿ, dato P₀ ∈ Rⁿ, si dice che P₀ è P₀ di accumulazione per A se ogni B* di P₀ contiene punti di A.

∀ε>0, ∃ P ∈ B*(P₀, ε) ∈ [A∩B*(P₀, ε) ≠ ∅]

Un punto P₀ ∈ A si dice isolato se non è di accumulazione per A, cioè se ∃ un intorno sferico di P₀ privato di A:

∃ B*(P₀, ε) : [A∩B*(P₀, ε)] = ∅ ∀ ε > 0 : B(P₀, e) A e P₀.

Punti interni, insiemi aperti/chiusi

P₀ ∈ A interno ad A se ∃ un intorno di P₀ tutto contenuto in A.

P ∈ P^I A di partew per A ogni suo intorno contiene una p.di di A che è di uno sculpabuntur

A ⊂ Rⁿ si dice aperto se ogni suo punto è interno.

A ⊂ chiuso se è uno sculpabuntur è apice

Chiusura di un insieme E:A il più piccolo insieme chiuso contenente A = A

Funzioni reali di più variabili

Dominio e funzioni in quasi di l variabili

Grafico: G(f)|f : E ⊂ R² → R , (x,y) ∈ A, z = f(x,y) 3 (E un sottinsieme di R² )

• liv . metodo per disegnare il grafico sopra il livev e unavo

Se c = {( x,y) ∈ A : f(x,y) = z }

Limiti:

Sia f : A ⊂ Rⁿ, a ∈ Rⁿ Sìa p_o ,p .pto di accumulazione per il dominio A di f.

In di un roe dineing chef (l’po)f(P) ∈ R per P : P ∈ A; → ∀ε>0, ∃δ > 0, P ∈ A, |P_o P| < δ → |f(P<|. )|f(P₀, δ) → |δ| (ε). |ε| ε.

Sia f : A → R, A ⊂ Rⁿ e p_o : "lim"

P: lim

Analisi 2

1. Funzioni di più variabili

Sia dato un insieme A ⊆ Rⁿ. Una funzione in A si definisce su un sottinsieme di Rⁿ.

Rⁿ è l'insieme delle coppie (x,y) composti da valori ∈ R che vengono interpretati come punto o vettore a seconda della necessità.

In generale Rⁿ (x₁, ..., x_n) è l'insieme delle n-uple coordinate.Se P ∈ Rⁿ, la distanza di P dall'origine O(0,0) IRⁿ = √P₁², ∀p_i

Se la distanza tra due punti P e Q è la norma del vettore differenza → d(P,Q) ≡ ||P-Q||

Intorno aperto

Dato P₀ ∈ Rⁿ, dato r > 0 si definisce intorno sferico (o centro) P₀ e raggio r e si indica con:B(P₀, r) = {P ∈ Rⁿ | ||P|| < r }

Si definisce inoltre intorno bucato B' intorno sferico privato del centro P.

B'(P₀, r) = {P ∈ Rⁿ | 0 < |P₀, P | < r, P₄, P₃ }

Punti di accumulazione e punti isolati

Dato A ⊂ Rⁿ, dato P₀ ∈ Rⁿ si dice che P₀ è un p di accumulazione per A se ogni B' di P₀ contiene punti di A:

∀r>0 ∃ P ∈ B'(P₀, r) : A ∩ B'(P₀, r) ≠ ∅

Un punto P₀ ∈ A si dice isolato se non è di accumulazione per A, cioè se ∃ un intorno bucato di P₀ tale che l'intersezione tra A e tale intorno è vuota.

∀r > 0 ∃ B'(P₀, r) ⊆ A : A ∩ B'(0, r) = ∅ ∧ ∃r>0 : B(c, r) ⊂ A e 0