Analisi matematica 2 - Appunti

SERIE NUMERICHE

RICHIAMO ALLE SUCCESSIONI

successione reale funzione che ha come dominio IR e: notazione {a_n} Caratteri di {a_n}

• CONVERGE se lim a_n esiste ed è reale
• DIVERGE POSITIVAMENTE se lim a_n = +∞
• DIVERGE NEGATIVAMENTE se lim a_n = -∞
• INDETERMINATA se lim a_n non esiste

{a_n} verifica DEFINITIVAMENTE la proprietà (P) se {a_n} verifichi (P) ∀ n>N

TEOREMI

• se {a_n} è convergente, è limitata
• se {a_n} è limitata e definitivamente monotona, è convergente
• se {a_n} è limitata e definitivamente crescente/decrescente, allora diverge positivamente/negativamente
• lim (a_n) =0 se e solo se lim |a_n| =0

TEOREMA DI SOSTITUZIONE

lim a_n = l g: I → IR, I intorno di l

• se l ∈ I e g continua in l
  • ⇒ lim g(a_n) = g(l)
• se l ∈ I e lim g(x) = m
  • ⇒ lim g(a_n) = m

TEOREMI DI CONFRONTO

• _{n → +∞}a_n = l

_{n → +∞}b_n = m

a_n ≤ b_n → l ≤ m

• _{n → +∞}a_n = _{n → +∞}c_n = l ∈

R

a_n ≤ b_n ≤ c_n → _{n → +∞} b_n = l

• _{n → +∞}a_n = +∞

a_n ≤ b_n → _{n → +∞} b_n = +∞

• _{n → +∞}b_n = -∞

a_n &care; b_n → _{n → +∞} a_n = -∞

Esempio:

- Successione geometrica di ragione q ∈ R

_{qⁿ}

_{n ≥ 0}

_{n → +∞} qⁿ =

0 se

|q| < 1

1 se q = 1

+∞ se q > 1

0 se q = -1

~0~ se q <-1

Esempio:

- a_n = n^α , α ∈ R

_{n → +∞} n^α =

∞ se α >0

1 se α = 0

0 se α <0

Teorema del confronto asintotico

Date due serie a termini positivi _k=0^∞a_k e _k=0^∞b_k, se a_k e b_k sono equi-grandi; cioè lim_k→∞ a_k/ b_k = l ≠ 0 reale, allora le due serie hanno lo stesso carattere

Esempio

^∞∑_k=0 k / k+1 ; lim_K→∞K / K+1 →∞ per K→∞ diverge ⇒ le serie diverge

Criterio della radice

Date una serie a termini positivi _k=0^∞a_k, se esiste lim_k→∞ ^k√|a_k| = l allora:

• se l < 1 CONVERGE
• se l > 1 DIVERGE POSITIVAMENTE
• se l = 1 NON SI PUÒ DIRE NULLA

Criterio del rapporto

a_k > 0 (strettamente positivo) (necessario)

se esiste lim_k→∞ a_k+1/ a_k = l ⇒ stesse condizioni del criterio della radice

OSS

se si può applicare il criterio del rapporto allora si può anche applicare il criterio della radice ma non è detto viceversa

cioè se esiste lim_k→∞a_k+1/a_k = l esiste anche lim_k→∞^k√|a_k| ma non il contrario

SERIE DI FUNZIONI

SUCCESSIONI DI FUNZIONI

Sia X ⊂ ℝ, n ∈ ℕ, sia f_n: X → ℝ ∀n ≥ n₀.

Si dice SUCCESSIONE DI FUNZIONI la famiglia {f_n}_{{n ≥ n0}} convergere PUNTUALMENTE se la successione numerica {f_n(x)} converge (n → ∞)

L’insieme A ⊂ X dei punti in cui {f_n(x)} converge puntualmente si dice insieme di convergenza puntuale.

FUNZIONE LIMITE f: A → ℝ :

* f(x) = lim_{n → ∞} f_n(x) ∀x ∈ A

f_n → f puntualmente in A (si legge f_n converge puntualmente a f) se: lim_{n → ∞} | f_n(x) - f(x) | = 0 ∀x ∈ A (si ricava da *)

f_n → f uniformemente in A (f_n converge uniformemente in A) se: lim_{n → ∞} sup_{x ∈ A} | f_n(x) - f(x) | = 0

Sia g: A → ℝ, si dice NORMA UNIFORME (O INFINITA) di g su A:

||g||_∞,A = sup_{x ∈ A} |g(x)|

=> la condizione di convergenza uniforme può essere riscritta come:

lim_{n → ∞} || f_n - f ||_∞,A = 0

N.B. La condizione di convergenza uniforme implica quella puntuale, ma NON viceversa

Teorema di Abel

(solo nel caso R > 0)

1. Se ∑_k=0^∞ a_kx^k converge in x = +R → converge uniformemente in ogni [a, R] ⊂ (-R, R]
2. Se ∑_k=0^∞ a_kx^k converge in x = -R → converge uniformemente in ogni [-R, b] ⊂ [-R, R]

OSS.

Nel caso ∑_k=0^∞ a_k (x - x₀)^k l'insieme di convergenza A sarà:

A:

• {x₀} se R = 0
• (x₀ - R, x₀ + R) ⊂ A se R > 0
• ℝ se R = +∞

Criterio della radice

Se esiste &lim;_{k → ∞} √^k|a_k| = l , allora:

• 0 se l = +∞
• R = 1/l se l > 0
• +∞ se l = 0

Criterio del rapporto

Se esiste &lim;_{k → ∞} |a_k+1|/|a_k| = l , allora:

• 0 se l = +∞
• R = 1/l se l > 0
• +∞ se l = 0

Integrali Doppi

R = [a, b] x [c, d], f : R -> ℝ

∫_R f = ∫_R f(x, y) dx dy = ∬_R f = ∬_R f(x, y) dx dy

volume del cilindroide compreso tra il rettangolo di base e il grafico della funzione

Teorema

sia R = [a, b] x [c, d] se f : R -> ℝ è continua allora f è integrabile su R

Teorema di Riduzione

siano R = [a, b] x [c, d], f : R -> ℝ integrabile

1. Integrazione per fili orizzontali:

∫_R f = ∫_c^d ( ∫_a^b f(x, y) dx ) dy

2. Integrazione per fili verticali:

∫_R f = ∫_a^b ( ∫_c^d f(x, y) dy ) dx

Integrali Doppi su Insiemi Misurabili

sia Ω ⊆ ℝ² limitato, si dice funzione caratteristica di Ω X_Ω: ℝ² -> ℝ

X_Ω(x,y) = { 1 se (x,y) ∈ Ω 0 se (x,y) ∉ Ω

Ω è misurabile se dato un R che contiene Ω esiste ∫_R X_Ω

misura di Ω (area) = |Ω| = ∫_R X_Ω

Teorema

Ω è misurabile se e solo se la frontiera ( ∂Ω ) ha misura nulla

Cambiamenti di variabile in integrali tripli

Coordinate cilindriche

• x = r cosθ
• y = r sinθ
• z = z

det J_φ = r

Coordinate sferiche

• x = r cosθ sinφ
• y = r sinθ sinφ
• z = r cosφ

det J_φ = r² sinφ

0 <= φ <= π

Coordinate ellittiche

• x = r_ar cosφ sinφ
• y = √r_{r r} sinφ sinφ
• z = √r_c r cosφ

det J_φ = r · a · b · c

Si usa quando in x c'è l'equazione di un ellissoide x²/a + y²/b + z²/c=1