Analisi matematica 2 - Appunti

Tipologie di serie numeriche

Serie a termini positivi

∑_k=0^∞ a_k quando a_k ≥ 0

Se una serie è a termini positivi, o converge o diverge positivamente.

Criteri di convergenza per serie a termini positivi

Teorema del confronto

Se 0 ≤ a_k ≤ b_k, allora:

se la serie di b_k converge, la serie di a_k converge e si ha: ∑_k=0^∞ a_k ≤ ∑_k=0^∞ b_k

Se la serie di a_k diverge, la serie di b_k diverge positivamente e si dice:

• a_k minorante di ∑_k=0^∞ b_k
• b_k maggiorante di ∑_k=0^∞ a_k

Esempio

Serie armonica ∑_k=1¹⁰ 1/k

Si osserva che 1/k ≥ ln(1 + 1/k). Dato che ∑_k=1^∞ ln(1 + 1/k) diverge, anche ∑_k=1^∞ 1/k diverge positivamente.

Esempio: ∑_k=1²⁰ 1/k ≤ ∑_k=2^∞ 1/(k(k-1)) - telescopica e converge a 1⇒ b converge (non si sa a quale valore).

Criterio integrale (o di Maclaurin)

Poniamo a_k = ƒ(k), data ∑ a_k a termini positivi. Se ƒ : [k₀, +∞) → ℝ è continua, positiva e decrescente, allora:

∫_k0^∞ ƒ(x) dx ≤ ∑ a_k ≤ ∑ a_k. Se il carattere della serie è lo stesso dell'integrale improprio.

Corollario

Se la serie converge a S allora ∀ m ≥ k₀:

∫_n+1^∞ ƒ(x) dx ≤ r_n ≤ ∫_n^∞ ƒ(x) dx. S_n + ∫_n+1^∞ ƒ(x) dx ≤ S ≤ S_n + ∫_n^∞ ƒ(x) dx.

Esempio

∑^∞_k=1 1/k^α, α > 0

ƒ(x) = 1/x^α, ƒ : [1, +∞) → ℝ è continua, positiva e decrescente.

∫₁^∞ 1/x^α dx converge se α > 1, diverge se α ≤ 1.

Serie a segno arbitrario

∑_k=0^∞ a_k, a_k con segno arbitrario

Definizione

La serie converge assolutamente se converge la serie dei valori assoluti ∑_k=0^∞ |a_k|.

La serie converge (semplicemente) se converge ma non assolutamente.

Teorema

Se una serie converge assolutamente, allora converge (non viceversa) e si ha |∑_k=0^∞a_k| ≤ ∑_k=0^∞ |a_k|.

Operazioni algebriche su serie

Somma

Date ∑_k=0^∞a_k = S e ∑_k=0^∞b_k = T ⇒ ∑_k=0^∞c_k = S + T, c_k = a_k + b_k

Se S + T non è una forma indeterminata (es. ∞ - ∞)

Se una è indeterminata e l'altra converge, la serie somma è indeterminata.

Moltiplicazione per uno scalare

λ ∑_k=0^∞a_k = ∑_k=0^∞λa_k, λ ∈ ℝ \ {0}

Se ∑_k=0^∞a_k = S ⇒ λ ∑_k=0^∞a_k = λ S

Prodotto di serie numeriche

∑_k=0^∞ c_k, ∑_k=0^∞ ∑_α c_k = ∑_k=0^∞ ∑_α ∝

Prodotto alla Cauchy

c_k = ∑_j=0^k a_j β_k-j = a₀ β_k - a₁ β_k-1 + ... + a_k β₀

Proprietà

Se ∑_k=0^∞ α_k e ∑_k=0^∞ β_k sono assolutamente convergenti

⇒ ∑_k=0^∞ α_k ∑_k=0^∞ β_k = S ⋅ T

Serie di funzioni

Successioni di funzioni

Sia X ⊂ ℝ, n ∈ ℕ, sia f_n: X → ℝ   ∀ n ≥ n₀.

Si dice successione di funzioni la famiglia: {f_n}_{n ≥ n0}.

Converge puntualmente se la successione numerica {f_n(x)} converge (n → ∞).

L'insieme A ⊂ X dei punti in cui {f_n(x)} converge puntualmente si dice insieme di convergenza puntuale.

Funzione limite f: A → ℝ :   f(x) = lim_{n → +∞} f_n(x),   ∀ x ∈ A.

f_n → f puntualmente in A (∀ x legge f_n converge puntualmente a f) se: lim_{n → +∞} |f_n(x) - f(x)| = 0,   ∀ x ∈ A (∀ x ricava da ∀ x).

f_n → f uniformemente in A (f_n converge uniformemente in A) se: lim_{n → +∞} sup_x∈A |f_n(x) - f(x)| = 0.

Sia g: A → ℝ, si dice norma uniforme (o infinita) di g su A: ‖g‖_∞,A = sup_x∈A |g(x)|. ‖g‖_∞,A = sup_x∈A |g(x)|.

 ⇒ La condizione di convergenza puntuale può essere riscritta come: uniforme: lim_{n → +∞} ‖f_n - f‖_∞,A = 0.

N.B.: La condizione di convergenza uniforme implica quella puntuale, ma non viceversa.

Teoremi

Criterio di convergenza uniforme

Se:

1. f_n → f puntualmente in A
2. Esiste { M_n }_{n ≥ n0}, M_n ∈ ℝ tale che |f_n(x) - f(x)| ≤ M_n, ∀ x ∈ A
3. lim_n→∞ M_n = 0

Allora: f_n → f uniformemente in A

Convergenza uniforme e continuità

Se:

1. f_n : [a,b] → ℝ continue
2. f_n → f uniformemente in [a,b] (N.B. non puntualmente)

Allora: f è continua in [a,b]

Passaggio al limite sotto segno di integrale

Se:

1. f_n : [a,b] → ℝ integrabili
2. f_n → f uniformemente in [a,b] (N.B. non puntualmente)

Allora: lim_n→∞ ∫_a^b f_n(x) dx = ∫_a^b lim_n→∞ f_n(x) dx

Passaggio al limite sotto segno di derivata

Se:

1. f_n : [a,b] → ℝ di classe C¹ e f,g : [a,b] → ℝ
2. f_n → f puntualmente in [a,b]
3. f_n → g uniformemente in [a,b]

Allora:

1. lim_n→∞ f_n'(x) = lim_n→∞ f'_n(x)
2. f_n → g uniformemente in [a,b]

Serie di funzioni

Sia {{f_k}}_k≥k0, e definisce serie di funzioni la scrittura formale ∑_k=k0^∞f_k

Successione delle somme parziali: S_n(x) = ∑_k=k0ⁿf_k(x)

∑_k=k0^∞f_k converge puntualmente in x̃ se {f_k} converge puntualmente in quel punto, cioè se esiste lim_n→+∞S_n(x̃)

Si dice insieme di convergenza puntuale A l'insieme dei punti in cui ∑_k=k0^∞f_k converge puntualmente

∑_k=k0^∞f_k converge assolutamente se ∑_k=k0^∞|f_k(x)| converge

∑_k=k0^∞f_k converge uniformemente a S in A se {S_n} converge uniformemente a S in A

Schema Convergenze

Convergenza puntuale ► Convergenza assoluta ► Convergenza uniforme ❌ Non implica

Oss. ∀x ∈ A   (A insieme di convergenza puntuale) lim_k→+∞f_k(x) = 0   (perché ∑_k=k0^∞f_k(x) converge)

Teorema di Abel (solo nel caso ∑ R > 0)

1. ∑ a_k x^k converge in x = +R ⇒ converge uniformemente in ogni [a, R] ⊂ (-R, R)
2. ∑ a_k x^k converge in x = -R ⇒ converge uniformemente in ogni [-R, b] ⊂ (-R, R)

OSS. Nel caso ∑ a_k (x-x₀)^k l'insieme di convergenza A sarà: { ^x₀ x = 0 A = { {k₀-R, x₀+R}^cA x> R>0ℜ x > R→+∞}

Criterio della radice

Se esiste lim_k→∞ |a_k|^1/k = l, allora:

• R = {0} se l = +∞
• 1/l se l > 0
• +∞ se l = 0

Criterio del rapporto

Se esiste lim_k→∞ |a_k+1|/ |a_k| = l, allora:

• R = {0} se l = +∞
• 1/l se l > 0
• +∞ se l = 0

Serie di Taylor (funzioni analitiche)

Sia \( g \in C^\infty (x_0) \), si dice serie di Taylor di \( f \) centrata in \( x_0 \)

\[\sum_{k=0}^{+\infty} \frac {g^{(k)} (x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]

\( g \) sviluppabile in serie di Taylor (o analitica) in \( x_0 \), se:

\( R>0 \) la serie converge a \( g \)

OSS. \( g \in C^\infty (I) \) non implica che sia analitica

Serie di Maclaurin se \( x_0 = 0 \)

Teorema (per stabilire se una serie è analitica)

Sia \( g \in C^\infty ([x_0 - \delta, x_0 + \delta]) \), \( \delta > 0 \)

Se esistono \( M>0, k_0 \geq 0 \) tali che

\[\frac {|g^{(k)}(x)|}{k!} = M \frac {K^k}{g^k}\]

\( \forall k \geq k_0 \)

\( \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \)

Allora \( g \) è analitica in \( x_0 \) e \( R \geq \delta \)

Altri metodi (più semplici)

Se esiste \( M>0 \) tale che

\[\left|g^{(k)}(x)\right| \leq M\] allora \( g \) è analitica in \( x_0 \) con \( R \geq \delta \)

Se esiste \( M>0, k_0 \geq 0 \) tali che

\[\frac {|g^{(k)}(x)|}{k!} \leq M^K \] \( \forall k \geq k_0 \) allora \( g \) è analitica

Sviluppi notevoli

• \[e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \, \forall x \in \mathbb{R}\]
• \[\cos hx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k!} x^{2k}, \, \forall x \in \mathbb{R}\]
• \[\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} , \, \forall x \in \mathbb{R}\]
• \[\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k, \, x \in (-1,1)\]
• \[\frac{1}{x} = \sum_{k=0}^{\infty} (ln(1+x))^k nx^{-1}, \, x \in (-1,1)\]
• \[ln (1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k, \, x \in (-1,1)\]
• \[arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1} \]

Convergenza delle serie di Fourier

Convergenza quadratica

Se \( f \in L^2_{\mathbb{R}} \Rightarrow \) la sua serie di Fourier converge in norma quadratica

\( \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \| f - S_n \|_2 = 0 \) (non è necessario che sia regolarizzata)

Identità di Parseval (corollario)

Se \( f \in L^2_{\mathbb{R}} \Rightarrow \)

\(\int_{-\pi}^{\pi} | f(x) |^2 dx = 2\pi a_0^2 + \pi \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2)\)

Corollario (lemma di Riemann - Lebesgue)

Se \( f \in L^2_{\mathbb{R}} \) i suoi coefficienti di Fourier sono infinitesimi.

Integrali doppi

R = [a, b] x [c, d], f: R → ℝ

∬_R f = ∫_R f(x, y) dx dy = ∫∫_R f(x, y) dx dy

Volume del cilindroide compreso tra il rettangolo di base e il grafico della funzione.

Teorema

Siano R=[a,b]x[c,d], se f: R → ℝ è continua allora f è integrabile su R.

Teorema di riduzione

Siano R=[a,b]x[c,d], f: R → ℝ integrabile

1. Integrazione per fili orizzontali

∫_R f = ∫_c^d (∫_a^b f(x, y) dx) dy

1. Integrazione per fili verticali

∫_R f = ∫_a^b (∫_c^d f(x, y) dy) dx

Integrali doppi su insiemi misurabili

Sia Ω ⊆ ℝ² limitato, si dice funzione caratteristica di Ω χ_Ω: ℝ² → ℝ

χ_Ω(x, y) = { 1 se (x, y) ∈ Ω 0 se (x, y) ∉ Ω}

Ω è misurabile se dato un R che contiene Ω esiste ∫_R χ_Ω misura di Ω (area) = |Ω| = ∫_R χ_Ω.

Teorema

Ω è misurabile se e solo se la frontiera (∂Ω) ha misura nulla.

Definizioni

Se f è misurabile, f: Ω→ℝ limitata. f si dice generalmente continua se l'insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura nulla.

N.B. Se f continua tranne per pochi punti → f generalmente continua.

Teorema

Se f è generalmente continua su Ω misurabile allora f è integrabile su Ω.

Definizioni

i) Ω⊆ℝ² si dice semplice (normale) rispetto all'asse y o verticalmente convessa se:

Ω={(x,y)∈ℝ²: a≤x≤b, g₁(x)≤y≤g₂(x)} a,b∈ℝ

ii) Ω⊆ℝ² si dice semplice (normale) rispetto all'asse x o orizzontalmente convessa se:

Ω={(x,y)∈ℝ²: c≤y≤d, h₁(y)≤x≤g₂(y)} c,d∈ℝ

Integrazione per verticali

Se Ω è verticalmente convesso, g₁,g₂: [a,b]→ℝ continue, f continua allora:

∫_Ωf=∫_a^b(∫_g₁(x)^g₂(x) f(x,y)dy)dx

Integrazione per orizzontali

Se Ω è orizzontalmente convesso, g₁,g₂: [c,d]→ℝ continue, f continua allora:

∫_Ωf=∫_c^d(∫_h₁(y)^g₂(y) f(x,y)dx)dy

Proprietà

1. g≥0⇒∫_Ωg≥0; f≥0: f≥0 continua, lΩl>0, ∫_Ωf=0 ⇒ f=0;
2. f≤g ⇒ ∫_Ωf≤∫_Ωg; lfl integrabile ⇒ l∫_Ωfl≤∫_Ωlfl;
3. f=g tranne su un insieme di misura nulla ⇒ ∫_Ωf=∫_Ωg;

Teorema della media

m=inf f; M=sup f; 0 ≤ m ≤ (1/lΩl) ∫_Ω f ≤ M (valor medio di f su Ω)

Integrali tripli

Integrale di Riemann su un parallelepipedo

R = I x J x K

∞∭_R = ∬_I∬_J f(x,y,z) dx dy dz = ∭_K f(x,y,z) dx dy dz

Teorema

Se f è continua su R. f è integrabile su R.

Teorema di riduzione

1. Integrazione per Fili
2. Integrazione per Strati

∫_R f = ∫_I∫_J∫_K f(x,y,z) dz dx dy

∫_R f = ∫_K∫_I∫_J f(x,y,z) dx dy dz

Integrali tripli su insiemi misurabili

s ⊆ ℝ³ si dice misurabile se s è integrabile su qualsiasi parallelepipedo R che contiene s

|s| = volume(s) = misura di s = ∫_R χ_s

s si dice semplice (normale) rispetto all'asse z se esiste D ⊆ ℝ² misurabile e esistono g₁, g₂ : D → ℝ continue tali che

s={ (x,y) ∈ D, g₁(x,y) ≤ z ≤ g₂(x,y) }

Integrazione per Fili

Se s è semplice rispetto all'asse z e g : s → ℝ continua ⇒

∫_R β = ∬_D∫_g1^g₂ f(x,y,z) dz dx dy

Integrazione per strati

s ⊆ ℝ³ misurabile tale che la proiezione di s sull'asse z sia [α,β] e ∀ z_o ∈ [α, β]

A_zo = { (x,y,z) ∈ s }

∫_R β = ∫^β_α (∫_Az f(x,y,z) dx dy) dz

Massa, baricentro e momenti

Caso Piano (m=2)

µ(x,y) = densità superficiale

Massa = m = ∫_Ω µ(x,y) dx dy

Baricentro = G = {x_c = &frac1m ∫_Ω x µ(x,y) dx dyy_c = &frac1m ∫_Ω y µ(x,y) dx dy}

Momenti di inerzia rispetto a:

• Retta r I_r = ∫_Ω d²[(x,y),r] µ(x,y) dx dy
• Asse x I_x = ∫_Ω y² µ(x,y) dx dy
• Asse y I_y = ∫_Ω x² µ(x,y) dx dy
• Origine I_o = ∫_Ω (x² + y²) µ(x,y) dx dy
• Punto p I_p = ∫_Ω [ (x-x_p)² + (y-y_p)² ] µ(x,y) dx dy

Caso Solido (m=3)

M = ∫_Ω µ(x,y,z) dx dy dz

G = {x_G = &frac1m ∫_Ω x µ(x,y,z) dx dy dzy_G = &frac1m ∫_Ω y µ(x,y,z) dx dy dzz_G = &frac1m ∫_Ω z µ(x,y,z) dx dy dz}

Momenti di inerzia

• I_x = ∫_Ω (y² + z²) µ(x,y,z) dx dy dz
• I_y = ∫_Ω (x² + z²) µ(x,y,z) dx dy dz
• I_z = ∫_Ω (x² + y²) µ(x,y,z) dx dy dz
• I_o = ∫_Ω (x² + y² + z²) µ(x,y,z) dx dy dz
• I_p = ∫_Ω [ (x-x_p)² + (y-y_p)² + (z-z_p)² ] µ(x,y,z) dx dy dz