Appunti Calcolo numerico - Quinta parte di cinque

X3 fl

X = 1

= - , punto

S(X) angolato

= -to 2]

x3 x

- - ,

S è

ScX)

Scal -

Lim continua

non

Lim o

= =

-

- ot

0

* ->

x

di Libertà

Gradi

to Es Ez - - - -

dnxh

Pn(t) +

d2x

do +...

+

= dpxP za)

f[z0

d1x

+ +...

do polinomiale

+ ↓

I ,

, &

tratt

a

zz)

x[[za

bpxP

botb +

SCX) 2x +

= ,

. . . ,

1)

.

1 1) (p libertà

(n grado di

+ +

Gradi Libertà

di di spline

una

(m 2)(p 1) p 1

+

m +

mp

+ + =

-

Potenza troncata

I sex Xi

O

xi)

(X =

- Xi)" sex-xo

(X -

Forma analitica spline di

di grado

una p

+

dpxp zi

d2x

S(x) Ci(x

do + +... +

= -

- 1 M di

no -

1 parametri

p intern

+ d1

do parametri

ap i

, --

,

Riepilogo Dati i

Funzioni b

=> nodi

spline zo(z1( <zm(zm

a 1

... + =

=

1)

[zi i

Fi zi

= 0

....,

= 1

m

+ +

, ,

r]

[zu

In zm

= +

, di

funzione nodi

Una spline grado p e

che

tale

z1

zo e

zm1

...,

, ,

1 funzione e di

polinomio

la grado

un pin

Im

I

Io 1

, ...

, fino

le

la funzione e al

derivate

2 sue =

l'ordine nell'intervallo

continue

p-1 sono

[a 1]

b) [zo zm

= +

, , sex)

si()

Lim

(K) indice n

Lim 0 1 p

= 1

di ,

> -

=

= ....,

zi

zi

derivazione 1

....,

i m

- X

x - =

parametri

1 =>

p +

m + gradi libertà

di

Sc)dixii(x

Funzione analetica spline

di una & & sexZi

zi)

(x =

+

- zi)B

(X Zi

sex

-

potenza troncata [m

Ca [2

20 Ap

da , .,

. .

,

, ,

, .

. ,

.

p m

1

+ 1

m+ p +

Come abbiamo

prima

detto

esempio

zocz1(zzz3 3

p = P3(x)

7 z2)

zz) (2(x

b (2(x

S(x) +

22x 22x

do ab

+ + +

+

+

= -

-

interni

nodi

ci due

sono

Forma tratti

polinomiale a

& 21]

[z0

Io

d3x3

az x

+

aotdax + = , Etzriz2)

-[1

*

ab C(x-t(3

d1x

dot azx +

+ + perché

il

ce piet +

non

I > sono

7 Is

in

T

(a(X zb]

[z2

z1P

a3x3 )

a 2x f

+ [2E

G(x

+

ota1x

a -

+ x

+

+ - ,

verificare

verificare chen continua

devo

Per che sia

spline

una

& nodi derivata seconda

nella

nel prima e

Continua Zz

dis z2

e

in

P3(za) Py(za)

em

Sca Sca

Lim =

= =

zat

Zi x

>

* -

- Ca(zz-ze z13

P3(zz) P3(zz) (z2

him

SCH Scal Ca

vim + +

=

= = -

>zz zzt

X x -

- & ta)

[zo

P'y(x) flo =

* ,

S'(x) [z2

p'(x) E2)

3((X zz)2 fIz

= x

-

+ =

3 , z3]

za) [z2

zz)2

3((x

3((x +

P'3() + x

- =

+ - 2 ,

perché

continuità

ce le

Skx)

P3(t1)

Sic) Lim corrispondenti ai

Lim potenze

=

= &

7 node annullarsi

continuano ad

x

zi ·

-

+

x z1)"

P'z(zz) 3((zz (m S'(x)

Lim S'(x) + =

-

= zzt

-

x

zz

* >

- E 21)

[z0

P3"(x) Fo

x = , zz)

[za

S" Pr" 6((X

(A)

(x) [1

za) t

+ = =

= - , [zn zu]

P3" zz)

G((X

(7) Ez

zz) f

G(1(x + x

+ - =

- ,

(21)

Py"

5 S"(x)

Lim

Lim (x) spline

essere

per

=

= Zit

>zi- vedere

rado

X a

>

- X prime

solo le

zz)

Py"(22)

hm S" (1(zz Um visto

(x) derivate

+ 2

- =

= ,

zzt

- quelle

che

zz sono

X

->

x mi interessano

che

e continua

l terza

derivata non 21)

PS(x)

& [20

tio

- = ,

P3"(x) +[z1

S"(x) zz)

6Ca f [s

+ x

= , z3]

[z2

P3" G(2

(x) 6(2 f[z

+ x

+ = ,

è

terza

derivata continua

la non

non ma

,

richiesto

perché è

non

importa

Funzioni interpolanti

spline

Dati nodi Lan

<za

della

i 1

zo

spline Lan +

. . .

(ii)

Dati SCA)

io la grado

di

determinare spline

h

, p

,

...,

,

tale SCAil Yi i 1

,

che 0 n

: = ...,

, , 1 p

1 1

n +

m +

+

condizioni gradi di

della

di libertà

interpolazione spline

esempio di

Calcolare spline

Dati Zy

2

1 72 zs

0 4

ta

zo 5 la

= 3

= zu =

= = =

, , , .

, ,

1 interpola : punti

grado che Es p 3

x 6 m

+

p +

2 1

= =

121E21m U

=

Yi Cu(x u)

1) 2) (y(x

(a(x (2(x 3)

S(x)

Forma +

+ +

dex

+

ao + - - - -

=> + +

+ +

=

nautica

& 0]

(potenze

S(z) troncate

S

dotzde

1 1 of

=

=

= (potenze toncate

S(z) dotzar 2

2 =

= e

-

(2)

S C1

+

+ 221 1

1

= 20 =

S(z) 3( 2(2) 2

= +

2a2

do + + =

=

S(E) Eart +E

2 do +

= 3(z 2(3 Cu

S(3) +

u(1

5d1

1 +

+ 2

+

20 + =

= 3) 4)

(x

+ 7(x

2)

2)

S(x) 5(x 5(x

3x +

0 + -

= - + + -

- +

- +

E 1)

3x [0

(

x , 2)

E [1

27 x

+ 5

- , 3)

[2

xE

3

- +

= , u)

E

12 [3

ux - = ,

E[u(5)

3x 16

- + =

di

Formule quadratura

Si f(t)da [a

& b]

ITA] è integrabile in ,

= [ab] il

Scelgo costruisco

In polinomio

prenti in e

Tota ...,

, (i)

17

f (xi

i

xi

interpolante n

in >

1

0

= =

, ....,

.

= =

li() xxi

Yi li(x)

pn(x x - 0

. = n

....,

Xk

Xi -

= k = 0

= lif( 1

k =

Anca) wi

-

= lidid

=

ITA] Ai

Pr(x)dx formula di

quadratura interpolatoria

di

Formula interpolatoria

quadratura

f(x) pn(x)

= "Omega

= wifeid

Inte[f] wikil ,

del punto

Formula medio

- (af(tal) 7(xa)

(x0

f(x) Xo-

y ,

& =

f a)7(a

[pe[7]

tob

a -b)

(b -

= b

Wo a

= - bif(b)

i

cal)

(a 7

Trapezi

-Regola dei d

to b

X1 = ,

, f(b)

[f] a)(1(a)

I (b +

-

~ -

=

+ 2

Wa =

wo =

b

&

Regola Simpson

di b b

d +

+

d

- xo x =

=

1

=

parabola interpolante Is[1] 47(a

(((a) b) A(b)

b

-a +

+

~ = +

a

b (d)

= 4

d

Wo Wa =

Errore formule di

nelle quadratura

CoAcx-Pn(x)dx

[1]

[1] FIA]-In

En =

= +

+ errore

di interpolazione

E [7] =" b)

(d)s

EPM zf(a

(z) ,

= ,

a)7(a

[pe[7] -b)

(b -

= b])

D2 ([a

sett .

& A"

[F] b)

w(a

al

(b

(n)

E *

-

=

+ - , ,

A(b)

[f] (cal

(ba)

I +

=

+ set-kYabs)

E = (

Es[7]

Is[1] 47(a

(((a) b) A(b)

b

-a +

+

= + ("(tab])

sett

Riepilogo

S& [f]

[1]

Ac)d ITE]

ELE]

FIF] In

Ilf) = In

= -

=

[f] +"

[1] (t)(b -d)3zf(a

a)1(ab) b)

(b

[py Epu =

= =

- ,

a) ve(d

Tz) =A "()(b

f(b))

[f) b)

d(f(x) E

I b + ,

+ = -

=

+ 1) (batta

1(b)) EstA]

47(a b)

[1] (f(x)

b

Is +

+ =

d +

= -

b A polinomiale

Grado di precisione di

Una di ha d

grado

quadratura

formula i

se

precisione

A di

polinario

esatta grado

funzione integranda minore

un

è

la d

di

polinario 1

grado per

uguale d un

e esiste almeno +

o a e

cui verrone .

non nullo +" (t)(b-d)3

Epute]

[py[f) zf(ab) d

a)1(atb) =

(b- 1

= =

= (b-d

Tz) =" () ve(db)

f(b))

[f) E

d(f(x) di

I b + =

+

=

+ 1) (battlab)

1(b)) EstA]

47(a di

b)

a(f(a)

[1] b

Is + =

+ +

= -

b

Formule composite

S &

ITA] A(dx

: S

(47d

(4

(3f(x)dx

[Tf] + ()dz

b

y0(yzc =

<yo

a +

= = = =

... 4 de

C

ITA] 45) /45

+ 45

(45 - + + 2

2

+

IMIT1] +Al

-45

45th

-

[S( 45-45((45) At

+ 41 e

+ +

45te-15

n

Nodi Fj

equivalenti 1

yi m

0

,

= = ..., -

1

m -

In n 145 45

+ 1

= -

2

I th(j l

f(a) +A 214x)

44545

Is 7(b)

[E) = F(d) +

+

+ 1

2

Nodi b

Convergenza equispaziali n

411 ym d

Yo sono -

=

-..,

, m

Ta,b]

Se 1 è continua in allora

, IFRTE] ISIf]

Im [[7] IlAl

ITA]

[A]

rim cm un :

= =

, ,

PM

m- -

m > m

y

-

Ima

Vaso sufficientemente grande C

t .

, .

I' [A]-ITA] -E

Regola scelta

adottiva per la di n

Ims)

IMa) I 22) - - - -

varie approssimazioni

ha

Se Ma

la e la

pasto

un'approssimazione con

e un'approssimazio

, .

controlli

ha dei

2 seguenti

n

ne applicare

masma posso

con e uno

,

In-12 I2

En < [11 I T2

t dncTid

LE 2

-

,

112-12 /Isl duct13

It T

+

-

11

Esempio =J

(A(x)dx

ITA] 4447871032

d 1

=

= + , ....

ed

Fpr[1] [

18-u) 1 zunz

= =- ,

1 64

+ approstina

so

non -

[E] e)

D-4/CY

# Lioni

100 adeguate

+

=

+ =

te

Is[f] ey 14

8-4