Appunti Calcolo numerico - Quarta parte di cinque

V

>

-

S ...

pn(xd) 1 Non

Xo Xo

ye

= X2 xy"

Pn(ti) 1

42 x2

= : !

&

:

i An

2

Pn(Xn) 1 2n

An

yn

= Ye

20 41

as - i

i Yn

an

det(u) 0

=

7

. del sistema

soluzione

(v)

det se it]

ti xj

solo

e se

se

0 pn(t) d3x3

3 dyx a2x

101 20

Xi + +

+

- =

Yi 4 2 10

18 -

-

- -

1 11 do

1 18

-

- - 21

000

1 4

-

-

1 E

& -2

&

↳ 2 10

d 3 -

7

& 6 23

U 1

↓ 1 az -

=

0 - =

= = condizioni

x3 tutte le

6x

7x

p(x) u + +

-

-

= Sono soddisfatte

L

Verifica 1

p(1) 6 p(1)

plote p(3)

u 1 10

u

=> 10

- 2

-

- =

-

- -

-

=

=

= del

Lagrange

Rappresentazione interpolante

polinomio

de

fondamentali

Polinomi Lagrange en(x)

Co(x) ,

(1(x)

di => .

, . . ,

,

(j(x)

1 e polinomio grado n

di

un n

a

0

j = , ...

,

1)(X xn)

(2) (x (X

2)

Xo)(X

(f(x)

2 (x x5 xj

...

-

= - - -

. . .

- +

1)(xj 1) xn)

(xj

x1)

Xo)(xj xj

(x5

1xj xj

-

- +

... ...

- -

- - 1

0

j n

= , ....

Y xi)

(x -

= i (x5 Xi)

0

= - di

i Simbolo

j

= produttoria

I 1 i

se 5

=

(j(xi) = se i J

+

O

(j(x(45 22(x(y)

10(x)y0 21( en(x)yn

(42

Pn(x) +

+ +

+

=

= ...

= 10 (40) 11(xd(y1 12(x0(y2 2n(x0(yn

Pn(xo) 2 %0

+ + +

+...

yo .

= =

1 & O O

12/x2(yz

11( 2n(x1(yn

10(1/yo 1)y1

(x1)

Pn + 1 42

+

+ +

+... = .

=

: O

O

1 O

i Yn

pn(t) =

esempio i dati

1230 scritti

essere

X possono

in qualsiasi ordine

Yi2460 i

tutti punti

y 2x per

passa

>

= polinomio interpolante

> -2)(X 3) ( 0)

to(x) 3

(x 3x

+ 67

+

- +

= -

- -

3)(1

2)(1

(1 0) 2

- -

- 10 12

20 +

- 0

=

2

1)(x 0)

21(x) 3)(x

(x =3 37

4xz

- -

- +

= -

=

(2 3)(2

(2-1) 0) 2

- -

- ) +3

22(x) 3x

2)(t

1)(X

(t 2

+

- -

- -

= = 6

1)(3 2)(3

(3 0)

-

-

-

(s(x) 1)

2)(x x3

1)(x perché

(x inutile

6

117

6x >

+

- -

= - -

- -

=

1)(0 2)(0

(0 43

3) 6 0

- =

- -

-

= 20(x)y0

(f(x)4j 11(x)42

(x) en(x)4n

+

↑ +

+...

=

n (3(x)

6(2(x)

4(1(x)

2(o(x) 0

+

Pn(x) =

.

+

+

= 4

3x2

13 A

( + x3

6x 13

3x

ux 3x2

+ 2x

- + 2x

+

- + -

-

= =

.

2 X 4

1

-

esempio 3)

Co(x) 13

3 0)(x 1)(X 3x

472

101 (x +

x - -

-

-

- =

= 1)(

0)(

( 1 3) 8

1 1

-

- - -

-

- -

Yi 2 10

18 4 -

-

- - 1)(t

21(x) 1)(x y)

(x 13 3

x

34

- +

+ - =

= -

-

(0 1)(0

1)(0 3)

+ 3

-

-

1)(t o)(t

(2 (x

(x) 3) =3 3x

2x

+ - -

- -

= =

1) (1 3)

(1-0)

(1 + u

-

-

1)( 1)

23(x) 3

(x d(x

+ + x

+ -

= - -

-

(3 1)(3 0(3 1)24

+ - -

222(x)

18((x) 4(z(x) 1013(x)

Pu(t) -

-

-

= -

a -

+

2

4X3 x3

x3 3

3x2

Pn(x) 3x

272

2x

18 -

3

3x x

+

x

+

+ - -

-

-

. -

-

= - =

Q2 12

3

84 +

+

3 7x

6x 4

+ +

- -

- 1j(x) deve calcolato

essere

se non

yj 0

= =

42) e y(x)45

i

(x n pn(x)

0

, ...,

=

1 ,

, =

z1)

(xn (j(x)z5

i=o qn(x)

, n

, , ...,

Rappresentazione di del interpolante

Newton polinomio

f(xi)

Differenze f(x)

divise i

yi

y n

2

0 1

= = ....,

= ,

,

f[xi) flxi) i

Differenze 0

dierdine

~ in

1

, ...

avise yi 0

=

= = ,

,

a] Axi]

f[xi A[xi 1]

Differenze Yi

dierdine 1 1-4i

~ avise Xi - +

=

+

, + = Xi

Xi

Xi

Xi 1

- -

+

1

+

z] A[xitaxi Alxi

f[xi 1]

Differenze z]

dierdinez

avise Xi

> 1 -

Xi xi

+

+ = +

,

+

,

, Xi Xi

2

+ -

xn] f[xz

Atxo 1)

Atto

Xn]

Differenze dierdine Xn

avise Xa

· n -

= , ...,

,

, ..., -

....

, 10

* n -

differenze

delle

Tavola

Y: f[xi]

X D

D D D

.

DD1 di

2

: ordine

.

.

%o

Xo 42-40

f(xo x2] = 7[xo

] +1]

f[xa +(

, x0

X1 f[xo xn]

- -

, , f[x

Y1 x3]

X1 f[xo

+1 f[xo 7)

x 3]

= +2

, x2

xc

x1

. -

1

x :

42 ,

41 ,

xo ,

fixe , ,

,

,

-

Xc] -

= to

X 3

, -

f[xz

XL x1 f[x2 x2]

f[xa

x3]

- x3]

Yz

X2 x2 = - ,

,

, ,

42

f[x2 43

x3] - Ab X1

= -

, X Az

3 -

43

X3

Polinomio interpolante xz)

to)(X x)

Xz)(t

Az(X to(t

As(t-to)

Ao Ay(x

p(x) + + + +

- - -

- -

= (t-to)(X 1)

An (X

2)

> Xn

+

- -

...

- -

f[xoj

Ao Ye

= =

f[x x1]

Ac = 0 ,

f[x0

Ac +2)

+1

= ,

,

f[X0

As +3]

, +

22 2

= , ,

s 1 [to <n]

An X2

= ,

, .

. ,

.

esempio Yi

Xi u + 18 14

101 -

3 1 18

Xi - - - = 2 14

0 -

1 6

+

4

& -

=

- 1 1

+ 2 6

+

+

2

Y 4 -

-

2

18 2 1

4 10 1 2

: -

- =

- - - =

1 0 u

- 2

- - 2 3 + 1

-

So

3 =

8

10

- 2

+

- 4 3

- 0

= - -

= Z

3 1

-