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lim(x,y)→(x0,y0) [f(x,y) - f(x0,y0) - ∇f(x0,y0)⋅(x-x0,y-y0)] = 0
TEOREMA
Se f è differenziabile in x0, allora è continua in x0.
∃
T.S.
lim||x→x0||→0 [f(x,y) - f(x0,y0) - ∇f(x0,y0)⋅t(x-x0,y-y0)]/||x-x0|| = 0
f(x,y) = f(x0,y0) + ∂xf(x0,y0)(x-x0) + ∂yf(x0,y0)(y-y0)+ o(||x-x0,y-y0)
f(x,y) − f(x,y0) = fy(x,y0)(y-y0)
DIANO TANGENTE
f(x,y) = x⋅y
(x0,y0) = (x0,y0)
f(x,y) = x⋅y + y0fy(xx0 - y0) = 0
x⋅y = x0⋅y0 + y0(x-x0) + x0(y-y0)
lim(x,y)→(x0,y0) x⋅y - x0y0 (y0'(x-x0)) + (x0) = 0
lim(h,k)→(0,0) [ (x0+h)(y0+k) - x0y0 - y0h - x0k ] / N⋅(1) ⋅ N = 0
PIANO TANGENTE
P(x) = f(x0,y0) + fx(x0,y0)(x-x0) + fy(x0,y0)(y-y0)
- Oxf(x,y0) = 0
TEOREMA
se f è differenziabile in x0 allora ∀v vettore → ∂f ∂v (x0,)
∀v ∂f ∂v (x0,) = ∇f(x0),.v
- x = (x0,y0) = (1,3)
- ∇f(x0,y0) = (y, x) = (1, 1)
- v = (1, ,3)
- ∂f ∂v ((2) = 1) 3√3 2√ 2
TEOREMA
se f è differenziabile in x0 e F curva derivabile in t0 F(t0 = x0 su Rn → Rn → R allora f(F(t)) derivabile in t0.
- ∂(f(F(t))) = ∇f(x,).F'(t0)
- f(x,y,z) = x2+y2
- le curve di livello →
- F(t) = (1-cos(π,5πt,0)) f(F(t))=4 V∞
- ∂(irre,0) = ∂f(x)F(t). F(t) = ortogonali
Il gradiente è ortogonale alla tangente in tutti i punti della curva di livello. 30/04
Def: un vettore v ≠ si dice ortogonale al sostegno di una curva regolare F = in un punto P=F(t0), se è ortogonale alla retta tangente di sostegno della curva nel punto P.
- F = ortogonale alla curva in P → i·F'(t0)=0
- se f è differenziabile in un punto (x0,y0)
- g(x0,y0-c ), f= ortogonali
- ∀ F I → δ F regolare e ∂f = (x0,y0)
- ∂(f(F(t))) = ∇f(F(t)).F'(t0) = VF'(t0)=∇f(t0).
Se ∇f (x0,y0≠; (0,0) [TEOREMA DEL DIN]
=0 perchè f(c(R(t))) = C
Considerando il vettore v← (t∞) ver. vers. della curva di liv.
div ∂ grad. grad. || eF'(t )||=
∂f ∂v (x0,y0) = ∇f(x0,y∞
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