Appunti Analisi matematica II - prima parte

Seconda parte degli appunti del corso di Analisi matematica II, dell'anno accademico 2021/22 tenuto dalla professoressa Maria Gabriella Paoli all'Università di Firenze per il corso in Ingegneria Elettronica. Settore disciplinare MAT/05, 6CFU. Appunti utilizzati per superare l'esame con votazione finale di 30L/30L.

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Paoli Maria Gabriella

Università Università degli Studi di Firenze

Publisher martiniger

A.A. 2021-2022

50 pagine

Appunti esame

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lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} [f(x,y) - f(x₀,y₀) - ∇f(x₀,y₀)⋅(x-x₀,y-y₀)] = 0

TEOREMA

Se f è differenziabile in x₀, allora è continua in x₀.

∃

T.S.

lim_{||x→x₀||→0} [f(x,y) - f(x₀,y₀) - ∇f(x₀,y₀)⋅^t(x-x₀,y-y₀)]/||x-x₀|| = 0

f(x,y) = f(x₀,y₀) + ∂_xf(x₀,y₀)(x-x₀) + ∂_yf(x₀,y₀)(y-y₀)+ o(||x-x₀,y-y₀)

f(x,y) − f(x,y₀) = f_y(x,y₀)(y-y₀)

DIANO TANGENTE

f(x,y) = x⋅y

(x₀,y₀) = (x₀,y₀)

f(x,y) = x⋅y + y₀f_y(x_{x₀ - y₀) = 0}

x⋅y = x₀⋅y₀ + y₀(x-x₀) + x₀(y-y₀)

lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} x⋅y - x₀y₀ (y₀'(x-x₀)) + (x₀) = 0

lim_{(h,k)→(0,0)} [ (x₀+h)(y₀+k) - x₀y₀ - y₀h - x₀k ] / N⋅(1) ⋅ N = 0

PIANO TANGENTE

P(x) = f(x₀,y₀) + f_x(x₀,y₀)(x-x₀) + f_y(x₀,y₀)(y-y₀)

- O_xf(x,y₀) = 0

TEOREMA

se f è differenziabile in x₀ allora ∀v vettore → ∂f ∂v (x₀,)

∀v ∂f ∂v (x₀,) = ∇f(x₀),.v

x = (x₀,y₀) = (1,3)
∇f(x₀,y₀) = (y, x) = (1, 1)
v = (1, ,3)
∂f ∂v ((2) = 1) 3√3 2√ 2

TEOREMA

se f è differenziabile in x₀ e F curva derivabile in t₀ F(t₀ = x₀ su Rⁿ → Rⁿ → R allora f(F(t)) derivabile in t₀.

∂(f(F(t))) = ∇f(x,).F'(t₀)
f(x,y,z) = x²+y²

le curve di livello →
F(t) = (1-cos(π,5πt,0)) f(F(t))=4 V∞
∂(irre,0) = ∂f(x)F(t). F(t) = ortogonali

Il gradiente è ortogonale alla tangente in tutti i punti della curva di livello. 30/04

Def: un vettore v ≠ si dice ortogonale al sostegno di una curva regolare F = in un punto P=F(t₀), se è ortogonale alla retta tangente di sostegno della curva nel punto P.

F = ortogonale alla curva in P → i·F'(t₀)=0

se f è differenziabile in un punto (x₀,y₀)
g(x₀,y₀-c

Se ∇f (x₀,y₀≠; (0,0) [TEOREMA DEL DIN]

∀ F I → δ F regolare e ∂f = (x₀,y₀)

∂(f(F(t))) = ∇f(F(t)).F'(t₀) = VF'(t₀)=∇f(t₀).

=0 perchè f(c(R(t))) = C

Considerando il vettore v← (t_∞) ver. vers. della curva di liv.

^div ∂ grad. _grad.|| eF'(t )||=

∂f ∂v (x₀,y₀) = ∇f(x₀,y_∞

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