Appunti di Analisi matematica 2 (prima parte)

Analisi 2

Professor Colesanti Andrea e professoressa Bianchini Chiara

Università degli studi di Firenze

Laurea Triennale in Chimica

Serie Numeriche

Definizioni e primi esempi

Per parlare di serie numeriche si deve partire dalle successioni.

Prendiamo una successione _k∈N Σ a_k = a₁ + a₂ + a₃ + a_n + ...

Si definisce S_m = Σ^m_k=1 a_k somma parziale o successione delle ridotte n-sime, la somma dei primi n termini della successione.

Si osserva che si può scrivere una formula ricorsiva per le ridotte n-sime: S_m = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_m, allora S_m+1 = S_m + a_m+1 = S_n

S₀ = nullo, alcuno termine

S₁ = somma dei primi 1 termini: S₁ = a₁

S₂ = somma dei primi 2 termini: S₂ = a₁ + a₂

S₃ = somma dei primi 3 termini: S₃ = a₁ + a₂ + a₃

Ripasso:

Il limite di successioni può ricadere in 3 casi diversi:

1. successione convergente: il limite è finito l
2. successione divergente: il limite è ±∞
3. successione irregolare: non ammette limite

Definizione:

La serie di a_n = Σ^∞_k=1 a_x

converge se la successione S_m ammette limite finito ⇒ Σ^∞_k=1 a_x = lim S_n

diverge se la successione S_m ammette limite infinito

è indeterminata non ammette limite

Esempi:

a_x = (-1)^k vogliamo valutare la serie Σ^∞_k=1 (-1)^k

S_m = Σ^m_k=1 (-1)^k

S₁ = a₁ = (-1)¹ = -1

S₂ = a₁ + a₂ = (-1)¹ + (-1)² = -1 + 1 = 0

S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = (-1)¹ + (-1)² + (-1)³ = 0 - 1 = -1

S₅ = a₁ + a₂ + ... + a₅ = 0

quindi in questo caso la successione non ammette limite &limsup; lim_m→+∞

Σ^∞_k=1 (-1)^k è indeterminata.

Serie Geometrica:

a_k = q^k

Σ^∞_k=0 q^kra_x |q|<1

Σ^∞_k=0 q^k non converge

se |q|=1

se |q|>1 allora Σ^∞_m q diverge

Cioè:

|q|<1 allora Σ q^m converge perché serie geometrica di ragione |q| convergenza

ESERCIZIO:

1. _ka_k = ^|9|k/_k² = |9|^k * ¹/_k² ⟶ _k→∞ |9|^k * ¹/_k² = L

• Se L < 1 allora la serie converge
• Se L > 1 allora la serie diverge

Ci sono infinite successioni il cui rapporto tende a 1 ma alcune convergono e altre divergono ⟶ il caso L=1 non dà informazioni

PARENTESI SU GLI INTEGRALI IMPROPRI

Gli integrali generalizzati si sono di due tipi; quelli al finito e quelli all’infinito. Abbiamo una funzione definita in un intervallo f: [a,+∞) → R , f è integrabile in [1,a] ∀ a∈R , allora si dice che:

^a∫₁ f(x) dx = lim ^a∫₁ f(x) dx ⟶ 3º poiché f è integrabile in [1,a]

Ponendo il limite ad 1° accadono 3 cose:

1. Se dice che l’integrale converge se lim ^a∫₁ f(x) dx ∃ finito
2. Se dice che l’integrale diverge se lim ^a∫₁ f(x) dx ∉ finito (±∞ o -∞)
3. Si dice che l’integrale non è determinato se lim ^a∫₁ f(x) dx

ESEMPIO:

∫¹f(x) dx Se consideriamo l’integrale tra t e 1 di una funzione vale il teorema fondamentale del calcolo integrale. Se troviamo una primitiva abbiamo: risolto

* ∫^+∞ ₁ e^-t dx ⟶ considera: ^d[e^-t] = -e^-t = -e^-t + e

da cui: ^∞ ₁ lim ^-e-t/_e = ¹/_e quindi l'integrale converge

* ∫^+∞ ₄ ¹/_x dx ⟶ considera: ¹/_x dx = 2 ln ^lim = 2^e - 2

da cui: ^∞ ₄ lim ^{(2 ln t)}/_(t=4) = ∞ quindi l’integrale diverge a +∞

• SERIE DI POTENZE

È una serie del tipo ∑_k=0 ∞ a_k (x-x₀)^k dove {a_k} è una successione e x₀ ∈ ℝ.

Esempio: Taylor e la serie geometrica.

TEOREMA di convergenza per serie di potenze∑_k=0 ∞ c (x-x₀)^k tale che limite superiore |a_k| = L

• ∑_k=0 ∞ a_k (x-x₀)^k converge se |x-x₀| < 1/L
• la serie diverge se |x-x₀| > 1/L
• se |x-x₀| = 1/L allora non si può dire niente

dimostrazione

Segue dal criterio della radice.

quindi: lim |b_k|^1/k ⟶ L x⟶x₀ se x < ∑|b_k| convergese x > ∑|b_k| diverge

OSS. Se L=0 la serie converge ∀xSe L=+∞ la serie converge solo per x=x₀

OSS: la serie ∑ a_k (x-x₀)^k converge sempre per x = x₀ qualsiasi sia la successione a_k.

DEFINIZIONE di RAGGIO di CONVERGENZAR raggio di convergenza della serie ∑ a_k (x-x₀)^k è il valore 1/Ldove L = lim^k→∞ |a_k|^1/k (se L ≠ 0)

tracciato grafico: RAGGIO DI CONVERGENZA R = 1/L

ESEMPIO:

∑_k=0 ∞ 0 per k=1 2mserie di potenze:∑_k=0 ∞ a_k (x-x₀)^k

se la serie esplode…se guardo la serie di potenza…

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