Appunti di Analisi matematica 2 (prima parte)

Analisi 2

Professor Colesanti Andrea e professoressa Bianchini Chiara

Università degli studi di Firenze

Laurea Triennale in Chimica

Analisi 2

Professor Colesanti Andrea e professoressa Bianchini Chiara

Università degli studi di Firenze

Laurea Triennale in Chimica

Serie Numeriche

Definizioni e primi esempi

Per parlare di serie numeriche si deve partire dalle successioni.

Prendiamo una successione { a_k }_{k ∈ ℕ} ∑_k=1^∞ a_k = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n + ...

Si definisce S_m = ∑_k=1^m a_k somma parziale o successione delle ridotte n-esime, la somma dei primi n termini della successione S_m.

S_m → una successione

S₁ = a₁ somma dei primi 1 termini → S₁ = a₁

S₂ = la somma dei primi 2 termini → S₂ = a₁ + a₂

S₃ = la somma dei primi 3 termini → S₃ = a₁ + a₂ + a₃

Si osserva che si può scrivere una formula ricorsiva per le ridotte n-esime: S_m+1 = a₁ + a₂ + ... + a_m + a_m+1 = S_m + a_m+1

Ripassiamo:

Il limite di successioni può ricadere in 3 casi diversi:

• 1a successione convergente: il limite è finito L
• 2a successione divergente: il limite è ∞
• 3a successione irregolare: non ammette limite

Definizione:

La serie di A_n = ∑_k=1^∞ a_k → converge → ammette limite finito

∑_k=1^∞ a_k → diverge → se la successione S_m → ammette limite infinito → ∑_k=1^∞ a_k = lim S_mm→∞

∑_k=1^∞ a_k → indeterminata → non ammette limite

Esempi:

a_k = a₁(-1)^k vogliamo valutare la serie ∑_k=1^∞ (-1)^k

S_m = ∑_k=1^m (-1)^k

• S₁: a₁ = (-1)¹ = -1
• S₂: a₁ + a₂ = (-1)¹ + (-1)² = -1 + 1 = 0
• S₃: a₁ + a₂ + a₃ = (-1)¹ + (-1)² + (-1)³ = -1 + 1 - 1 = -1
• S₄: a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = (-1)¹ + (-1)² + (-1)³ + (-1)⁴ = 0

quindi in questo caso la successione non ammette limite → lim S_mm→∞ quindi ∑_k=1^∞ (-1)^k è indeterminata.

a_k = k

∑_k = ∑_k=1^m k = 1 + 2 + 3 + ... + (m-3) + (m-2) + (m-1) + m = (m+1)m / 2

lim = lim (m)

quindi: la serie delle somme di k diverge → ∑_k=1^∞ k diverge

a_k = 3ⁿ - 1 / 3ⁿ

Se geometrica:

se |q| < 1

∑_k=1^∞ 4ⁿ convergente

se q = 1

∑_k=1^∞ 5ⁿ diverge

nel q² - 3q + 1 altrimenti determinata

questo significa che la serie 6^m = ½

Serie armonica generalizzata

È la serie _∑ ^∞ _k=1 1 / k^a a ∈ R converge a > 1

Teorema condizione necessaria per la convergenza

Una condizione necessaria per la convergenza della serie _∑ ^∞ _k=1 a_k è che lim _k→+∞ a_k = 0

Cioè: _∑ ^∞ _k=1 a_k converge implica che → lim _k→+∞ a_n = 0

Cioè: lim _k→+∞ a_n ≠ 0 implica che → _∑ ^∞ _k=1 a_n non converge

"Condizione necessaria" vuol dire che se una cosa non succede allora non succede nemmeno l'altra

Osservazione

Se lim _k→+∞ a_k = 0 allora non è detto che _∑ ^∞ _k=1 a_k converge

_∑ ^∞ _k=1 a_k converge implica che → lim _k→+∞ a_n = 0

Esempio:

a_k = 1 / k Serie armonica diverge

Dimostrazione

Vogliamo dimostrare che se