Appunti Analisi matematica I (prima parte)

Contenuti: Proprietà delle funzioni reali di vari reali

• P proposizione (affermazione che contiene informazione)
• P è vera o è falsa
• P₁, P₂ proposizioni logiche tra loro e intersecate

P₁ ⇔ P₂ se tale espressione che ambo le P è vera

P₁ ^ P₂ (P₁ e P₂) è vera quinti P₁ & P₂ vera

P₁ ∨ P₂ P₁ o P₂ vera significa sapere che ALMENO una delle due proposizioni è vera

P₁ ⊕ P₂ DIVERSO da dire che SOLO una è vera

P₁ ⇔ P₂ P₁ è vera se e solo se P₂ è vera

(non P) è la proposizione OPPOSTA a P

non P₂ vero ⇒ P₂ falsa

IMPORTANZA SIMBOLO ⇔

ad esempio nella risoluzione di equazioni, diseq.

ecc., nel processo tecnico bisogna sapere che ALMENO

dell'info, semplificazioni, radicali, elevamento a

intera, ecc. È fondamentale essere convinti che

in ogni passaggio in realtà una equivalenza

(vero à solo se)

Esempio: x 2 = a ⇔ questa equazione è un’apparizione

limitatamente a certo numeri reali X e tale che

moltiplicato la proposta sopra

{ √x² = 1 } ⇔ (x² - 1)² = 0 ⇔ (x - 1)(x + 1) = 0

x - 1 = 0 oppure (x + 1 = 0)

{ x∈R: √x²=1 } ≡ { x∈R: ( x=R ) ˅ ( x=R ) } = { x∈R: x=1 oppure x=-1 }

={ -1, 1 }

• √x²=±1 ⟹ x∙(±1)∙(±1)=1 ⟹ ecc.

TROVARE L'ERRORE

Altri simboli logici: { } si possono graffe; tabelle, E appartiene, ∈ implica, R insieme numeroso numeri reali.

• descrivere di insieme

• Si può fare in più modi

elencazione { 1, 7, 25, 0 } insieme

NON ORDINATA { 7, ⋆, 0, X }

descrivere letta attraverso le proprietà che soddisfano gli elementi dell’insieme;

ad esempio Se P(x) è la proprietà

• { x soltetto P(x) è vera }

: simbolo logico "tale che"

∈ APPARTIENE

OPERAZIONI TRA FUNZIONI

Composizione

g: A→B, g: B→C, funzioni

→ g∘f: A→C

f ∈ A, f ∈ A₁ → f∘g f(x) = g(f(x))

Si potrebbe definire la composizione anche nel caso in cui g non è definita sull'insieme B \ B ₂. In tal modo che g fosse definita sull'insieme detto dom(f; g A), f ₁ ∈ A.

DEFINIZIONE:

L'insieme {f(a): a ∈ A} si definisce immagine di A attraverso f e si indica con f(A)

f^-1(C) = controimmagine di C

Osservazione: Tenere conto che una funzione si intende sempre come ternum (A, B, f) g: A→B

Def:

Accidente DOMINIO di f e B indicati codominio di f

INIECTIVA:

∀a₁,a₂∈A: a₁=a₂ ⇒ f(a₁ = f(a₂)

SURIECTIVA:

f(A) = B (immagine di A coincide con B)

Def:

Se g: A→B funzione, si vanifica e invertibile allora f la funzione inversa di f inversa di f^-1 tel

∀a ∈ B

♦f^-1-f(a) = a

∀b ∈ B

g∘g^-1(b) = b

Operazioni sui grafici

Data g(x) funzione nota come si deduce, dal grafico

di g(x) il grafico di g(x+c), g(x)+c, c g(x), g(-x)

ad esempio c=2

Escludo ogni autosimmetria

Esercizio 1

a) g(x) = √(e^x - x - 1)

• Determinare il campo di esistenza di g
• Dominio = {x∈R per cui la curva g(x)}
• x ≥ e^(x - 1)
• e^x ² ≥ x^2 ≥ x-2 ≥ 0
• Dominio

D = {x∈R: x≥0}

Ad esempio: A = { X ∈ A : X ≤ Z & e X > 0 }

B = { x ∈ R : 2x² ≤ x < 3 }

Trov. insieme tali che ∀ a ∈ A, b ∈ B

L’unico elemento che li separa √2 = b ∈ A ∩ B, √2 è il numero che è reale, ma non esprimibile come p/q

Proprietà dell'estremo superiore

Caso supA = ∞, equivale a poter pensare che ∀

∀ M ∈ R ∃ a ∈ A tale che, M ≤ a

Quando supA ∈ R, equivale a poter provare

che il numero L = supA verifica

a ≤ L ∀ a ∈ A (L maggiorante)

∀ L' < L finora è maggiorante L (proprietà di maggior limite)

Ossia perciò ∀ L' < L ∃ a ∈ A t.c. L' < a

Diversi scrivere in termini di l, un numero più vicino di L

L - ε ∈ ε > 0

La proprietà b) riscrizione

b) ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A ∅ L - ε < a

Def.: Il numero L si dice MASSIMO di A

• L ∈ A
• a ≤ L ∀ a ∈ A

supA ∈ A allora supA = maxA

un polinomio un polinomio a coefficienti reali

come

P(x) = a_n(x-x₁)^k₁... (x-x_p)^k_p(x-x_q)^k_q

dove x₁, ..., x_p sono radici reali di P

e z_q+1, ..., z_m, z_m sono le radici complesse ( non-reali ) di P

e z_m + z_m + ȓ + ȟ + ȝ + ȟ

Esercizio:

P(x) = x⁴ - 1

P(x) = (x-1)(x+1) = (x-1)(x+1)(x²+1)

P(t) = z⁴ - 1 = > radici complesse di Prova!

1, -1, i, -i

P(i) = i⁴ - 1 = (i⁴ - 1) = (-1) - 1 = 0

P(-1) = P(1) = P(i) = P(-i) = 0

P(z) = (z+1)(z+1)(z-1)(z-1)(z+1)(z-i) Fatt_com LESSA

P(x) = (x-1)(x+1)(x²+1)(x+1)

FATT_REAL

x₂ = ±1, É = 1

x₁ = ±1, É = 1

l₂ = 0, l₂ = 0

l₃ = 0, p₃ = 1

p₃ = 0, p₃ = 1

1+x₃ + y₃ = 1

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TORNIAMO ALLA STRUTTURA DEI NUMERI COMPLESSI

C = { z = a - bi : a, b ∈ R }

perció vedere il numero complesso come coppie di reali

z = a + ib, è una struttura unica

( z, a ) i ∈ C = a + ib dove essere vero a = a; a, b ∈ R)

: C ⟶ R × R

i( z ) = i( z ) = ( Re( z ), Im( z ) ) è diagonale simmetrica e trasgressiva

= r₁ r₂ [ (cos(θ₁) cos(θ₂) - sin(θ₁) sin(θ₂)) + i (sin(θ₁) cos(θ₂) + cos(θ₁) sin(θ₂)) ]

= r₁ r₂ [ cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂) ]

Esercizio:

Calcolo potenze numero complesso

z = -2 + i √3 z^2/16 ?

z = 2^π / 16

z₀ = | -2 + i √3 | = 4 [ cos (⅓ π) + i sin (⅓ π) ]

z₀ = 5³ cos (5⅓ π) + i sin (5⅓ π)

2π / 3 π / 5 π = 2π + 5⅓ π

z^2/16 = |4|² [ cos (⅙ π) + i sin (⅙ π) ]

= |4|

[] z³ √3

= -32 -32 i √3 i

- se z = 0

Reputo che ⅓ è l'angolo

ampio del angolo

di z

z² cos(θ) + i sin(θ) con π / 0

1/2 = pi cos(-θ) - i 1/pi sin(-θ)

vuol dire che ∃ nεℕ tale che P(n) è vera ∀n≥n₀

Esempio:

• nᵢ ≥ 100
• perciò n₀ = 10 n+12 100 è vera ∀n≥10

P(n) : {ni ≥ 100} vera da fine.

P(n) è vera per INFINITI INDICI

vuol dire che un sott'insieme M⊆ℕ

P(n) è vera ∀nεM

Esempio P(n) : n²-10n-1000 ≥ 10

1. Aₙ=n²-10n-1000

P(n) Aₙ≥10 altra

2. Aₙ=2ⁿ-2ⁿ

P(n) Aₙ è una funzione di nεℕ crescente

approssimale e:

1. lim Aₙ/Aₙ₊₁

LIMITI DI UNA SUCCESSIONE

Def: Si dice che an ha limite L ⟺ An→∞,

a sua reazione lim Aₙₖ₀