Appunti Analisi matematica I (prima parte)

Revisionato il 14/07/2026

di Costas00

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Appunti scritti a mano in maniera chiara e precisa di Analisi I con definizioni, esercizi e dimostrazioni per ogni argomento, utilizzando un linguaggio congruo alla materia. Argomenti dagli …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Acquistapace Paolo

Università Università degli Studi di Pisa

A.A. 2020-2021

77 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Contenuti: Proprietà delle funzioni reali, di vari reale

P: proposizione (affermazione che contiene informazione)
P è vera o è falsa
P₁, P₂: proposizioni legame tra esse è intersezione

P₁ ↔ P₂ in altro scriviamo che entrambe P è vera

(P₁ ∪ P₂) (P₁ ∩ P₂) nuova quest'ora P₁ è vera o P₂ è vera

P₁ o P₂ vera, significa sapere che ALMENO una delle due proposizioni è vera.

DIVERSO da dire che SOLO una è vera

P₁ ↔ P₂ P₁ è vera se e solo se P₂ è vera

(non P) è la proposizione OPPOSTA a P

non P è vera ↔ P è falsa

IMPORTANZA SIMBOLO ↔

ad esempio nella risoluzione di equazioni, disequazioni, nel processo risolutivo si applicano proprietà dell'insieme, semplificazioni tacite, eliminare o raddoppiare, ecc. È fondamentale essere sicuri che in ogni passaggio si abilita una equivalenza, (reale solo se)

Esempio: sqrt(x²) = x ↔ questa uguaglianza è vera per contrazione

Limitato x insieme numeri reali x tale che compie la preopizione scritta

{sqrt(x²) = 1} ↔ {x² - 1 = 0} ↔ {x² - 1 = 0 (x - 1) (x + 1) = 0}

↔ (x - 1 = 0) oppure (x + 1 = 0)

Contenuti: Proprietà delle funzioni reali, di vari reale

(P proposizione | affermazione che contiene informazioni)o P è vera o è falsa

P₁, P₂ proposizioni legare tra loro = intersezione

P₁↔ P₂ in tutto e sempre che entrambe P_i è vera

P₁ ⊕ P₂ (P₁ o P₂ vera, quindi sapere che ALMENO una delle due proposizioni è vera

DIVERSO da dire che SOLO una è vera

P₁ ⇔ P₂ P_i è vera se e solo se P₂ è vera(non P) è la proposizione OPPOSTA a P

non P₁ , P₂ ⇔ P₂ , P₁ falsi

IMPORTANZA SIMBOLO ⇔

ad esempio nella risoluzione di equazioni, disequazioni, nel processo risolutivo si applicano proprietà dell'insieme semplificazioni, traslati, eliminato a ricchezza, ecc. È fondamentale tenere, ricordare che in ogni passaggio si stabilisca una equivalenza, {re e solo re}

Example

√(x²) = x ⇔ questo uguaglianza è una equivalenzax→0 x→0

Limitato è errore numeri reali x tali che avergla che la proprietà scipta{√(x²) = 1} ⇔ {x² - 1 = 0} ⇔ (x - 1) = 0 ⇔ (x - 1)(x + 1) = 0

(X - 1 = 0 || oppure, (X + 1 = 0)

{ x∈ℝ: √(x²)=1 } ⇔ { x∈ℝ: β₁ ∘ β₂ } = { x∈ℝ: x=1 oppure x=-1 } = {-1, 1}

√(x²)=-1 ⇔ x⊕(-1)∘(1) = 1 ⇔ ecc.

TROVARE L'ERRORE

Altri simboli logici: { }, ∅ insieme grasso, ; tale che, ∈ appartiene, ≡ uguale, ℝ insieme numeroso numeri reali.

{ descrivere di insiemi }

Si può scrivere in più modi

elencazione {1, 12/25, 0, 2¹} insieme

NON ORDINATA {2, ★, 0, ×}

dire semplice fatta attraverso le proprietà che soddisfano gli elementi dell'insieme;

ad esempio se P(x) è la proprietà

{ x tale che P(x) è vera }

simbolo logico "tale che"

∈ APPARTIENE

a retominiamo è insieme A, B, X se; a ∈ A significa

a dice che l'elemento a sta nell'insieme A

¬ ∈

= UGUALE

A = B equivale a dire che tutti e soli gli elem. x di A sono elementi di B
nel caso da quaderno X = Y le cambiamo “l'elemento x è uguale all'elemento y”

OSSERVAZIONE A = B equivale ad affermare

a ∈ A ⇒ a ∈ B

e b ∈ B ⇒ b ∈ A

∀ PER OGNI, QUALSIASI

OPERAZIONI INSIEMISTICHE

Date A e B insiemi qualsiasi

A ∪ B unione degli insiemi A e B

esempio su A: {a₁, ..., a₅} e B = {b₁, ..., b₅}

A ∪ B = {a₁, ..., a₅, b₁, ... b₅}

A ∪ B = {x : x ∈ A ∪ x ∈ B}

= {x : ∃ a ∈ A tale che x = a} oppure (∃ b ∈ B tale che, b = x)}

A ∩ B

intersezione degli insiemi A e B

A ∩ B = {x : (x ∈ A) e (x ∈ B)}

A \ B A "meno" B

A \ B = {x ∈ A :

A > B

A × B

A ⊆ B

Esercizio

Dati 2 insiemi, A e B finito, l'equivalente a dire con un numero limitato di elementi. A con K elementi, B con h elementi, K e h 2 numeri naturali positivi (oltreché) quanti elementi ha:

A × B
B × A
P(A), P

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