Appunti Analisi matematica I - prima parte

Gli insiemi

• numeri reali _RETA ℝ
• numeri naturali ℕ
• numeri interi ℤ
• numeri razionali ℚ

Axiomi:

• Somma ℤ, ℚ, ℝ (ℕ, ℕ)
• Prodotto ℤ, ℚ, ℝ (NO ℕ, ℚ)
• Relaz. d'ordine (≤, ⊆)

Somma: commutativa, associativa; elemento neutro: 0

Prodotto: commut., associat., distributivo; elemento neutro: 1

Relazione d'ordine: ≤

• riflessiva
• antisimm.
• transitiva

Intervalli

• limitati - sulla retta = segmento, con estremi interni
• illimitati - semirette

Proprietà di connessione: Ɐ₁, _x, Ɐ_{2 x1 I}

Insiemi separati:

• Ɐ_A ∈ _C Ɐ_B ∈ _C A < B

Assioma di completezza

Se A e B sono insiemi non vuoti e separati, allora esiste almeno 1 elemento separatore: Ɐ _x ∈ _A < _c < _b Ɐ _e ∈ _{B c} < _b

• numeri irrazionali

Teorema: Ɐ_Ω ∈ _Θ 9 ⁸ ≠ 2

Dim. (x divide):

Contraddizione (m e n non son primi tra loro)

Densità dei razionali nei reali

è alunne € _rmℝ in metèo _We con Θ €_Ω

Valore assoluto di un numero reale

|a| = distanza di a da 0

Def.

• |x| = x se x > 0
• -x se x < 0

Proprietà Immediate

• ∀x ∈ ℝ |x| ≥ 0
• |x| = 0 ⇔ x = 0
• |x| = |-x| ∀x ∈ ℝ
• |x·y| = |x| · |y| ∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ
• ∀x ∈ ℝ -|x| ≤ x ≤ |x|
• x > 0 ⇒ |x| < a ⇔ -a < x < a
• |x²| = |x|·|x| ∀x ∈ ℝ

Diseguaglianza Triangolare

• |x + y| ≤ |x| + |y| ∀x, y ∈ ℝ
• |x-y| ≤ |x| + |y|

• |x-y| ≤ x-y ∀x, y ∈ ℝ
• |(|x|-|y|)| ≤ |x-y| + |y|
• (|x|-|y|) ≤ |x-y|

Esercizio

• x + 2 = |x + 5| ⇒ Discuto segni
• x > 0 ⇒ x + 5 > 0 ⇒ x + 2 = x + 5
• Vera ∀x > 0
• x < 0 ⇒ x+5 > 0 ⇒ x+2 = -(x+5)

Per ogni retta verticale : deve esserci al più una intersezione con la curva affinché sia una funzione

f: A → B

C ⊆ A

IMMAGINE DI C

f(C) = {y ∈ B | ∃c ∈ C t.c. f(c) = y} = [0,1]

Es. f: [-1,1] → [0,1]

f(x) = x²

Es. f: A → B D ⊆ B

CONTROIMMAGINE DI D

f^-1(D)

f^-1(D) = {x ∈ A | f(x) ∈ D}

D: ]-1,0[ → f^-1(D) = ∅

D: [-1,0[ → f^-1(D) = {0}

D: [1,2] → f^-1(D) = {1, -1}

f: A → B (codominio)

f(A) = limitato f è una funzione limitata

f(A) = limitato superiormente f è una funzione illimitata superiori

∀ x ∈ A t.c. ζ(x)

Sup f(A) = Sup f(x)

Inf f(A) = Inf f(x)

Se il max f(a) quello è il massimo della funzione su A

Se il min f(x)|x ∈ A

PUNTI DI MIN ASSOLUTO

Es. f(x) =

x(1-x)(x+2) =

PUNTI DI MASSIMO ASSOLUTO

Se max f(x)|x ∈ A

COMPOSIZIONE

PROPRIETÀ

1. log_a(xy) = log_ax + log_ay   ∀ x,y > 0

x^a = x^c ⇔ a = c   a^b = a^c ⇔ b = c

x^log_ay = y^log_ax   ∀ x > 0   ∀ y ∈ ℝ

SEGNO

• se a > 1: log_ax > 0   in   ]1, +∞ [

• se a < 1: log_ax > 0   in   ]0, 1]

• log_a1 = 0   ∀ a > 1, a > 0

1. log_a(^x/_y) = log_ax - log_ay   ∀ x,y > 0

CAMBIO BASE

• log_ax = ^log_bx/_logba   ∀ a, b, x > 0   a, b ≠ 1

y = a^log_by permette di scrivere qualunque numero in forma esponenziale, es. quando nei test è spiegato confrontarle.

• log_a(xy) verificato se x,y > 0   x,y < 0

• se x < 0 e n ∈ ℕ/2⋅ℕ   log_a(xⁿ) = log_a(-x)ⁿ = n log_a|x|

• log_ab = log_ba^-1

Limiti

Se il dominio è illimitato superiormente, si può definire il limite di f per x che tende a +∞ lim_x→+∞f(x)

In generale, per qualunque lim:

Def.

1. lim_x→+∞ f(x) = L ∀ε > 0 ∃ xe > 0 | ∀x ∈ D, x > xe ⇒ |f(x) - L| < ε

2. lim_x→x̅ f(x) = +∞ ∀M > 0 ∃ xm | ∀x ∈ D, x > x̅ ⇒ f(x) > M

3. lim_x→x̅ f(x) = -∞ ∀K < 0 ∃ xk | ∀x ∈ D, x > xk ⇒ f(x) < K

4. lim_x→+∞ f(x) non esiste se non è vera nessuna delle 3 condizioni prec.

Teorema

Il limite, se esiste, è unico.

Dim (x ass.) _x→+∞ f(x) = L₁ e _x→+∞ f(x) = L₂

L₂ - L₁ ≠ 0 -> ε = |L₂ - L₁|/2

∀x₁ x > x₁ ⇒ ∀ε < ε

Se f e g sono continue in X₀, allora lim_x→x0 [f(x) ∙ g(x)] = f(x₀