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Analisi II
Successioni
f : N → R
- insieme discreto (tutti punti isolati, non ci sono punti di accumulazione)
N → R
n → an indice
an termine della successione
Insieme ordinato di numeri reali: {a1, a2, ..., an} = {an | n∈N}
Esempio: f(x) = 1/x
restrizione a N della funzione f(x) = 1/x
an = 2 ∀ n∈N => successione costante
bn = 13/x
cn = (-1)n f(x) x∈R
an = n-1
- a0 = 1 (n=0 → 1)
Non esiste la derivata di una successione!
limh→0 (f(x0 + h) - f(x0)) / h = f'(x0) h → 0
Successioni definite per ricorrenza
a1 = 1
legge di passaggio → {an+1 = 1/an}
- {
- an = 1
- esempio: an∈N (cartetta)
- { an+1 = -1/an }
Successione di Fibonacci
- a1 = 1
- a2 = 1
- an+1 = an + an-1
Successione limitata
se ∃ K1 K2 t.q. K1 ≤ n ≤ K2
Cn = n2 è limitata inferiormente (anche n3)
0 → +∞
an = n/ x-1 limitato [0,1]
• MONOTONIA
an è strett. crescente se ∀nn |an| < ε
lim an = ±∞ → ∀M ∈ R ∃n t.c. ∀n |an| > M
lim an = ∞ M
{an=f(x)} lim f(x)x→a = L
→ lim an→ln→∞
dal limite di funzione si deduce quello della successione
quando quello del limite ƒ non è detto che non esista per la succ
an = n! n > n ∀n ≥ 1
n (n-1) > n n < (n-1) e n ≥ n vero
bn = n lim n + ∞ → lim n! = +∞ per teo. con acc
Le succ monotone non sono mai irregolare → an ∈ R
1. Se |an+1 = | crescente allora lim an = → +∞
2. Se |an| decrescente allora lim an = ( L ∈ R ∞ L ∈ R
• NUMERO DI EULERO
Def limn → ∞ (1 + 1/n)n (e)
si dimostra che è crescente e limitata superiormente
lim. not.
limx → ∞ ln n/x⁰ = 0 limx → ∞ ln x/x⁰ = 0limx → 0 1/xq = 0
limx → 0⁺ (b√̅a)² = 0
lim 5xx → ∞5⁻ ∞lim an → 1 -∞ n → +∞5
an = (-1)n → Sn = 1 - (-1)n
∑k=0∞ ak = lim Sn = lim 2 + (-1)n/ 2 z - irregolare
an = 2, Sn → converge
Prop. Se in una serie si cambiano un numero finito di termini il carattere non cambia. (Se la serie è convergente può cambiare la somma della serie.)
Dim. ∑k=1n ak
dn = dn ≃ n × ñ ∑k=1n bk
Sn - ∑k=1n ak = tn = ∑k=1n bk = ∑k=1n bk + ∑k=n+1n bk
∑k=0∞ An ≃ ∑k
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