Appunti Analisi matematica 1 (l'insieme R dei numeri reali)

L'INSIEME R_n

• INSIEMI DEI NUMERI
• OPERAZIONI TRA INSIEMI
• RELAZIONI BINARIE
• LIMITAZIONI DI UN INSIEME ORDINATO
  • TH. DI UNICITÁ DEL MASSIMO/MINIMO
  • TH. DELLE PROPRIETÁ CARATTERISTICHE DELL'ESTREMO SUPERIORE/INFERIORE IN R
• TH. DI BOLZANO-WEIERSTRASS PER GLI INSIEMI
  • TH. DI CANTOR
• PROPRIETÁ DI ARCHIMEDE IN Q E IN R
• INTORNI
  • TH. DI SEPARAZIONE DI HAUSDORFF
• INSIEMI COMPATTI
  • TH. DI CARATTERIZZAZIONE DEGLI INSIEMI COMPATTI IN R
  • TH. DI ESISTENZA DI MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME COMPATTO
• DENSITÁ DEGLI INSIEMI
• IRRAZIONALITÁ DELLA RADICE QUADRATA DI 2
• CAMPI
  • TH. DI CARATTERIZZAZIONE DEI CAMPI ORDINATI COMPLETI
• ASSIOMA DI DEDEKIND
  • TH. DEGLI INSIEMI CONTIGUI

L'INSIEME

Numeri Naturali:

IN = {0, 1, 2, 3, ...}

Numeri Interi:

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Numeri Razionali:

Q = {^a/_b : a, b ∈ Z, b ≠ 0}

Numeri Irrazionali:

I = {π, e, √m, ...}

Numeri Reali:

R = Q ∪ I

Numeri Complessi:

C = {a + ib : a, b ∈ R, i = √-1}

Insieme Vuoto

∅

• x ∈ X: appartenenza
• A ⊆ B: inclusione
• A ∪ B: unione
• A ∩ B: intersezione
• A \ B: differenza
• A Δ B: differenza simmetrica
• A x B: prodotto cartesiano

Teorema A Δ B:

(A \ B) ∪ (B \ A) * (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Dim. (Diretta)

x = y ?

1. x ⊆ y ⟹ ∀ x, x ∈ X, x ∈ Y ⟹ (A \ B) ∪ (B \ A) * (A ∪ B) \ (A ∩ B)
2. y ⊆ x ⟹ ∀ y ∈ Y, y ∈ X
3. I° x ∈ (A \ B) ⟹ x ∈ A ∧ x ∉ B ⟹ x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B)
4. I° * x ∈ (A \ B), x ∈ (B \ A) ⟹ x ∈ B ∧ x ∉ A ⟹ x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B)
5. Ⓑ I°* x ∈ A, x ∉ B ⟹ x ∈ A \ B ⟹ x ∈ X
6. Ⓑ I°* x ∈ B, x ∉ A ⟹ x ∈ B \ A ⟹ x ∈ X

Per il Teorema di Cantor esiste un solo φ comune a tutti gli I_n. Fissiamo un intorno di φ che contiene un intervallo di tipo ]φ - δ, φ + δ[. Preso ora un n per cui b_n - a_n < δ, si ha I_n ⊆ ]φ - δ, φ + δ[ ⊂ U dato che in I_n cadono infiniti punti di E.

Th. di Cantor Data una successione (I_n)_n di intervalli chiusi e limitati, decrescente per inclusione (I_n ⊃ I_n+1) esiste almeno un elemento comune a tutti gli intervalli. Se poi l'ampiezza degli intervalli diventa arbitrariamente piccola, il punto comune è unico.

Th. Proprietà di Archimede in ℚ

ℕ è superiormente illimitato in ℚ.

Dim. (Per assurdo)Supponiamo esista una limitazione superiore per ℕ.

Sia λ = sup ℚ {n ∈ ℕ con p ∈ ℤ e q ∈ ℕ.

Sia ora p ∈ ℕ considero p + 1 ∈ ℤ, q ∈ ℕ.Allora p + 1 < ( p + ϵ ) ≤ q (p + 1) quindi p + 1 ≤ p/ q ‣ p ⟹ p + 1 ≤ p che è assurdo.

Corollario V∈ ∈ ℚ* ∃ n ∈ ℕ*: n > b / a

• ∃ a, b ∈ ∈ ∃ n ∈ ℕ*: na ≥ b ⟹ n ≥ b/a

Th. Proprietà di Archimede in ℝ

ℕ è superiormente illimitato in ℝ.

Dim. (Per assurdo)Supponiamo esista λ = sup (ℕ) : λ ≥ n ∀ n ∈ ℕ ⟹

λ ∈ ℝ ⇒ λ - 1 > n ∈ ℝ  ℤ ℝ λ - 1 è un maggiorante ma λ - 1 < λ è max {MAGGIORANTI} che è assurdo

• ∀ a, b ∈ ℤₑ ∃ n ∈ ℕ*: na ≥ b ⟹ n ≥ b/a
• ∀ ℝ ℝ ∃ ε ∈ ℕ*: 1/n < ε

Un intorno (x₀, ε) è un intervallo aperto centrato in x₀ ℝ tale che

I (x₀, ε) = (x₀ - ε, x₀ + ε)

1. Si dice intorno di x₀ ∈ ℝ se ∃ ⊃ ∈ ℤ (U (x₀, R) ℂ I
2. Si dice intorno di ♣ se ∃ ⊃ ∈ I U R
3. Si dice intorno di ⎯∞ se ... ∀ ℚ
4. Si dice intorno di ∞...

TH. ℚ È UN CAMPO ORDINATO MA NON È COMPLETO

Dato K⊆ℚ, K={x∈ℚ : x≥0 ∨ x²≤2} non esiste il sup(K) quindi ℚ non è completo.

DIM. (per assurdo)

Supponiamo y=sup(K)≠√2

I^o caso: y²2

∃n∈ℕ: (y+¹/_n)²≥2 quindi y+¹/_n∉K ma y=sup(K) che è una contraddizione

TH. DI CARATTERIZZAZIONE DEI CAMPI ORDINATI COMPLETI

Sia (X,+,•,≤) un campo ordinato, allora sono equivalenti

1. Ogni insieme non vuoto superiormente/inferiormente limitato ammette estremo superiore/inferiore
2. Ogni coppia di insiemi separati non vuoti ha almeno un elemento separatore

DIM. (diretta)

Sia ① vero: siano A,B separati, a≤b ∀a∈A, ∀b∈B

A è superiormente limitato, quindi ∃λ=sup(A) ⇒ λ è elemento separatore di A̅ e B. ⇒ λ è un maggiorante di A ⇒ a≤λ ∀a∈A. sia b∈B maggiorante di A ⇒ λ è il minimo dei maggioranti ⇒ λ ≤ b quindi vale ②.

Sia ② vero: siano A superiormente limitato e B={maggioranti di A}

A e B sono separati quindi esiste un elemento separatore λ: a≤λ ≤ b ∀a∈A, ∀b∈B λ ≤ b ⇒ λ è il minimo dei maggioranti

quindi vale ①.