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Teorema 3.6 (di Cantor)
Dimostrazione. È sufficiente dimostrare che l'intervallo [0, 1] non è numerabile, questo implica che anche ℝ non è numerabile per il lemma precedente. Inoltre, poiché ℝ è non numerabile, abbiamo per definizione che la cardinalità di ℝ è maggiore di quella di ℕ.
Per assurdo, supponiamo che l'intervallo [0, 1] sia numerabile, allora possiamo elencare tutti gli elementi di tale intervallo in una successione {xn}. Ogni...
elemento di questan =i 1successione ha una rappresentazione decimale:=x c c c c0, ... ...1 11 12 13 1n=x c c c c0, ... ...2 22 23 2n21···=x c c c c0, ... ...n nnn2 n3n1··· ∈ ( )x x
Costruiamo ora un numero reale 0, 1 che non coincida con nessuno degli . Defi-nc xniamo la prima cifra decimale di in modo che:1̸ ̸ ̸= = =c c c c0 91 11 1 1c
Analogamente definiamo in modo che:2̸ ̸= =c c c 92 22 2 ne così via; al passo avremo:̸ ̸= =c c c 9n nn n =x c c c c
Abbiamo quindi costruito il numero 0, ... ... che risulta essere positivon2 31∈ ( )x x ne minore di 1, segue che 0, 1 ma è diverso da tutti gli , poiché per ogni si han̸ =c c ■. Siamo quindi arrivati ad un assurdo.n nn IL’insieme dei numeri irrazionali non è numerabile.
Corollario 3.2. R Q I∪=Dimostrazione. ■Altrimenti (Teorema 3.4) sarebbe numerabile, assurdo. 4Spazi metrici4.1 Definizione e primi esempi̸ = ( )Sia X , uno spazio metrico
è una coppia (X, d), dove Definizione 4.1 (Spazio metrico). ∅∞× → ∀ ∈[0, +∞)d(X, X) → [0, +∞) è una funzione che soddisfa le seguenti proprietà per ogni x, y, z ∈ X: 1) d(x, y) ≥ 0 ⇐⇒ d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y 2) d(x, y) = d(y, x) (commutatività) 3) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) (disuguaglianza triangolare) La funzione d è detta distanza metrica su X. Si dice inoltre che X è metricizzato mediante la metrica d. Gli elementi x ∈ X sono detti punti dello spazio metrico. Vediamo ora alcuni importanti esempi di spazi metrici. Esempio 4.1. X = R, d(x, y) = |x - y| (distanza euclidea). Sia X = R^n, d(x, y) = ||x - y|| (distanza euclidea). Le proprietà viste nel Capitolo 1 riguardo alla norma ci assicurano che d sia effettivamente una metrica su X. La metrica così definita è detta metrica euclidea. Esempio 4.2. X = R^n, d(x, y) = max{|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, ..., |x_n - y_n|}. Sia X = R^n, d(x, y) = ||x - y||_p, dove p ≥ 1. La proprietà di Minkowski ci assicura che d sia effettivamente una metrica su X. La metrica così definita è detta metrica p-norma.definiamo la metrica come segue:
Esempio 4.3. ∞| − | {| − | | − | | − |}( ) = =d x y x y x y x ymax max , , ...,x, y∞ n n2 21 1i i≤ ≤i n1
Le proprietà 1-3 sono immediate da verificare; dimostriamo che vale la disugua-∀ =k nglianza triangolare. Sappiamo che 1, ..., vale la proprietà:| − | ≤ | − | | − |+x y x z y zk k k k k k
Passando ai massimi otteniamo:| − | ≤ | − | | − |+x y x z y zmax max maxk k k k k kk k kossia: ≤( ) ( ) + ( )d d dx, y x, z y, z∞ ∞ ∞30 Mattia Pozzi - Appunti di Analisi Matematica 1R n=XSia , definiamo la seguente metrica:
Esempio 4.4. n∑ | − |( ) =d x yx, y1 i i=i 1
Le proprietà 1-4 sono immediatamente verificate. R{ → | }= [ ]X f a, b fConsideriamo : è limitata (l’insieme delleEsempio 4.5. R⊆([ ])f a, b Xfunzioni tali che è limitato). Definiamo ora su la seguente metrica:| −( ) = ( ) ( )|d f
g f x g x, sup∈[ ]x a, bÈ immediato verificare che valgono le proprietà 1-4. ∀ ∈X x, y X:Sia un insieme non vuoto. PoniamoEsempio 4.6. ( =x y0 se( ) =d x, y ̸ =x y1 seÈ facile mostrare che valgono le proprietà 1-4. La metrica appena descritta è( )X, ddetta e è dettometrica discreta spazio metrico discreto.R nIn seguito supporremo che sia metricizzato con la metrica euclidea.4.2 Intorni ∈( ) >Sia X, d uno spazio metrico. Sia p X e r chiamiamo0,Definizione 4.2 (Intorno).intorno (o intorno sferico o interno circolare) di p di raggio r l’insieme:{ ∈ | }( ) = ( ) <B p, r x X d p, x r (4.1)centroIl punto p è detto dell’intorno.R, ( )B p, rIn metricizzato con la metrica euclidea, l’insieme è dato daEsempio 4.7. | − | <p x r:tutti i punti che soddisfano la disequazioneR{ ∈ | | − | }( ) = <B p, r x p x r| − | −< < < + ( )p x r p r x p r, B p,
Dato che equivale a l'intorno coincide-(+)p r, p r con l'intervallo aperto .R R2 3= = ( )X X B p, r Se oppure , allora è, rispettivamente, il cerchio con Esempio 4.8.p r, p r, centro e raggio privato della circonferenza, e la sfera con centro e raggio privata R n= ( )X B p, r n-dimensionale della superficie sferica. Se , allora è la generalizzazione delle precedenti figure geometrica. ∈( ) >X, d r x X
Sia uno spazio metrico discreto, allora: se 1 qualunque Esempio 4.9. ≤( ) < ( ) =d p, x r, B p, r X; r soddisfa la disuguaglianza in questo caso se, invece, 1≤ { }( ) < ( ) =d p, x r p B p, r p l'unico punto che soddisfa 1 è il punto stesso, dunque .
Spazi metrici 31⊆< ( ) ( )r r B p, r B p, r Dalla definizione di intorno segue che se , allora (negli spazi 2 21 1 euclidei vale l'inclusione stretta). ( ) Sia X, d uno spazio metrico e siano x e y punti di X. Teorema 4.1 (Proprietà di Haudorff).̸ ∃= >Se x y,
allora r tale che:0 ∩( ) ( ) =B x, r B y, r (4.2)∅∈= ( ) ( ) ( )
Dimostrazione. r d x, y z B x, r d y, z
Poniamo /3. Sia e valutiamo . Per la disu-guaglianza triangolare si ha: ≤ ≤= ( ) ( ) + ( ) + ( )d x, y d x, z d y, z r d y, z3r ≥ ̸∈( ) ( )d y, z z B y, r ■
da cui 2r, ossia . 4.3 Classificazione dei punti ⊆ ∈( )
Sia X, d uno spazio metrico ed E X, un punto x X è detto:
Definizione 4.3. 0∀ ∃ ∈ ∩ ̸punto di accumulazione > ( ) =per E, se r p E B x r , con p x ;• 0, ,0 0∃ ⊆punto interno > ( )ad E, se r tale che B x r E;• 0 ,0∃ ∩punto esterno > ( ) =ad E, se r tale che B x r E ;• 0 , ∅0 c∀ ∩ ̸ ∩ ̸punto di frontiera > ( ) = ( ) =di E, se r si ha B x r E e B x r E ;• 0 , ,∅ ∅0 0∈ ∃ ∩ { }punto isolato > ( ) =di E, se x E ed r tale che B x r E x .• 0 ,0 0 0E insieme derivato
L’insieme dei punti accumulazionedell'insieme è detto ed è indicato′ ◦E E Econ . Inoltre, denotiamo con l'insieme dei punti interni ad e con l'insieme dei∂EE.punti di frontiera di R2I concetti appena definiti possono essere facilmente interpretati graficamente in .qcE p rEp interno E, q punto di frontiera EIn figura abbiamo che il punto è ad il punto è un per er esterno E. p q, di accumulazione Eil punto è ad I punti e inoltre, sono dei punti per (se∈r E, r punto isolato punto di frontiera).allora sarebbe stato un e unR ∪ { }= = [ )X ESia con la metrica euclidea e sia 0, 1 2 , allora:Esempio 4.10.′ ◦ { }= [ ] = ( ) =E E0, 1 0, 1 0∂EE.Infine 2 è un punto isolato di32 Mattia Pozzi - Appunti di Analisi Matematica 1R=XSia con la metrica euclidea e sia:Esempio 4.11. 1R N2 2 2 −{( ∈ | ≤ } ∪ | ∈( ) == ) + x, yE x, y x y n1, 11 2nR2 EEssendo in l'insieme può essere facilmente rappresentatocome segue.
( )1, 1xEPossiamo ora dedurre facilmente che:R′ 2 2 2{( ∈ | ≤ } ∪= ) + ( )E x, y x y 1 1, 1R◦ 2 2 2{( ∈ | }= ) + <E x, y x y 1 1R N2 2 2{( ∈ | } ∪ − | ∈= ) + = ( ) =x, y x y x, y n1 1, 1∂E 2n 1 N− | ∈( ) = nE x, y .
Infine, l’insieme dei punti isolati di è 1, 1 2nQ Rha infiniti punti accumulazione, più precisamente tutti i punti di so-Esempio 4.12. Q, R∈xno di accumulazione per infatti, per ogni intorno di cade almeno un numero0Q R.′ =razionale; dunque, ′⊆ ̸ ∈( ) =Sia X, d uno spazio metrico e sia E X, con E . Se x E allora ogniTeorema 4.2. ∅ 0intorno di x contiene infiniti punti di E.0 ∃ > ( )Dimostrazione. r B x rPer assurdo, supponiamo che 0 tale che , contiene un nume-0{ } ⊆( ) =E, B x r x x E.ro finito di punti di ossia , ,
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