Appunti di Analisi Matematica 1

Mattia Pozzi

Appunti di

ANALISI

MATEMATICA 1

Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Milano

Indice

1 L’insieme dei numeri reali 1

N, Z Q

1.1 Gli insiemi e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Insiemi ordinati e campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Il campo reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Numeri complessi 11

2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Operazioni con i numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Forma trigonometrica dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Forma esponenziale dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Potenze e radici nel campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 Equazioni con i numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Funzioni 21

3.1 Definizione, immagine e controimmagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Restrizioni e funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Successioni e indicizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Potenza di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Spazi metrici 29

4.1 Definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Classificazione dei punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Insiemi aperti, chiusi e limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5 Insiemi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6 Metrica indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.7 Connessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

R come spazio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.8

5 Successioni 45

5.1 Successioni in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Successioni a valori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

e

5.5 Il numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.6 Scala degli infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

o

5.7 piccolo ed equivalenza asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.8 Classe limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Serie numeriche 67

6.1 Definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 Condizione di Cauchy per le serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3 Serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.4 Serie a termini di segno alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.5 Convergenza incondizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.6 Somma di serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Limiti di funzioni 77

7.1 Limiti in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2 Limiti di funzioni reali a valori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3 Calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.4 Ricerca degli asintoti di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.5 Infiniti e infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.6 Equivalenze asintotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

o

7.7 piccolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8 Continuità e discontinuità 93

8.1 Continuità in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.2 Continuità globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.3 Continuità e compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.4 Uniforme continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.5 Teorema degli zeri e di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.6 Punti di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.7 Continuità della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9 Calcolo differenziale 101

9.1 La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.2 Continuità e derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.3 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.4 Derivata delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9.5 Il differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.6 Massimi e minimi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.7 I teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.8 Ricerca dei punti di estremo relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.9 Discontinuità delle funzioni derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.10 Il teorema di de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.11 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.12 Concavità, convessità e flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.13 Studio di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1

L’insieme dei numeri reali

N, Z Q

1.1 Gli insiemi e

Iniziamo richiamando brevemente gli insiemi dei numeri naturali, interi e razionali.

N,

• L’insieme dei numeri naturali, indicato con è l’insieme formato

Numeri naturali.

dai numeri 1, 2, 3, ... In questo insieme sono definite le due operazioni di somma

·

+

( ) e ( ) che godono delle proprietà associativa, commutativa e distributiva

prodotto

(esiste l’elemento neutro rispetto al prodotto, ossia 1).

N N N ∪ { }

=

Indicheremo con l’insieme dei numeri naturali con lo 0, dunque 0

0 0

(in questo insieme esiste l’elemento neutro rispetto alla somma, ossia 0).

N gruppo

• Per estendere l’insieme ad un rispetto alla somma si

Numeri interi relativi. Z

introducono i numeri interi relativi, il cui insieme è indicato con ed è definito come

Z N N

∪ { } ∪ {− } { ± ± ± }

= =

0 0, 1, 2, 3, ... . In questo insieme restano valide le

operazioni di somma e prodotto (con le relative proprietà) e si introduce l’operazione

di (inversa della somma), con la quale si associa ad ogni numero naturale

differenza − + (− ) =

n n n n

il suo inverso tale che 0.

Z gruppo

• Per estendere ad un rispetto al prodotto si introducono i

Numeri razionali. Q

numeri razionali, il cui insieme è indicato con ed è definito come segue:

m

n o

Q Z N

| ∈ ∧ ∈

= m n

n m/n m n

In genere, si suppone che il rapporto sia ridotto ai minimi termini, ossia che e

Q

abbiano divisori comuni. Su restano definite le operazioni di somma, differen-

non

za e prodotto, inoltre, si introduce l’operazione di (inverso del prodotto)

quoziente N Z Q.

⊂ ⊂

tra due numeri razionali, di cui il secondo diverso da 0. Inoltre, si ha

1.2 Insiemi ordinati e campi

Sia S un insieme, diciamo che S è totalmente ordinato se

Definizione 1.1 (Insieme ordinato). ≤

esiste una relazione d’ordine, denotata con , tale che:

∀ ∈ ≤

1) x S si ha x x;

∈

2) se x, y S allora vale una e una soltanto delle seguenti relazioni:

< = <

x y x y y x

∀ ∈ < < <

3) x, y, z S, se x y e y z allora x z.

2 Mattia Pozzi - Appunti di Analisi Matematica 1

N, Z Q

Gli insiemi e sono totalmente ordinati.

Esempio 1.1. Un insieme F su cui sono definite le due operazioni di somma e

Definizione 1.2 (Campo).

prodotto è dettocampo se sono soddisfatte le seguenti proprietà.

1) Proprietà della somma:

∈ ∈

+

a) se x, y F allora x y F;

+ = +

b) x y y x (proprietà commutativa);

+ ( + ) = ( + ) +

c) x y z x y z (proprietà associativa);

∃ + = + =

d) tale che x x x (0 è l’elemento neutro della somma);

0 0 0

∀ ∈ ∃ −

(− ) + (− ) =

e) x F, x tale che x x ( x è l’inverso rispetto alla somma).

! 0

2) Proprietà del prodotto:

∈ · ∈

a) se x, y F allora x y F;

· ·

=

b) x y y x (proprietà commutativa);

· · · ·

( ) = ( )

c) x y z x y z (proprietà associativa);

∃ · ·

= =

d) tale che x x x (1 è l’elemento neutro del prodotto);

1 1 1

− − −

1 1 1

∀ ∈ − { } ∃ ·

( ) =

e) x F , x tale che x x (x è l’inverso rispetto al prodotto).

0 ! 1

∀ ∈ ( + ) = +

3) Vale la proprietà distributiva: x, y, z F si ha x y z xy xz.

Sia F un insieme ordinato, se F è anche un campo, allora

Definizione 1.3 (Campo ordinato).

diciamo che F è un campo ordinato se valgono le seguenti proprietà:

∀ ∈ < + < +

1) x, y, z F, se x y allora x z y z;

∀ ∈ ·

> > >

2) x, y F, se x e y allora x y

0 0 0.

Dalla definizione è immediato dimostrare la seguente proposizione.

Sia F un campo ordinato, allora:

Proposizione 1.1. −

> <

1) se x allora x e viceversa;

0 0

> < <

2) se x e y z allora xy xz;

0

< < >

3) se x e y z allora xy xz;

0 2

̸ = > >

4) se x allora x In particolare

0 0. 1 0;

1

1 <

< < < .

5) se x y allora

0 0 y x

L'insieme dei numeri reali 3

Q

L’insieme dei numeri razionali è un campo ordinato.

Esempio 1.2.

1.3 Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore

⊆ ̸ limitato

=

Sia S un insieme ordinato e E S, con E . Diciamo che E è

Definizione 1.4. ∅

∈

superiormente se esiste S tale che:

β

≤ ∀ ∈

x x E

β maggiorante

in questo caso diciamo che è un di E.

β ⊆ ̸ inferiormente limi-

=

Sia S un insieme e E S, con E . Diciamo che E è

Definizione 1.5. ∅

∈

tato se esiste S tale che:

β

≤ ∀ ∈

x x E

β minorante

in questo caso diremo che è un di E.

β

Un insieme limitato sia superiormente che inferiormente è detto limitato.

N Q

⊂

L’insieme è limitato inferiormente ma non superiormente.

Esempio 1.3. ⊆ ̸ ∈

=

Sia S un insieme e E S, con E . Diciamo che gamma S

Definizione 1.6 (Massimo). ∅

= ( )

è il massimo di E, e scriviamo E , se:

max

γ

∈

1) E

γ ≤ ∀ ∈

2) x x E (γ è un maggiorante di E)

γ ⊆ ̸ =

Sia S un insieme e E S, con E . Diciamo che è il minimo

Definizione 1.7 (Minimo). ∅ δ

= ( )

di E, e scriviamo E , se:

min

δ

∈

1) E

δ ≤ ∀ ∈

2) x x E (δ è un minorante di E)

δ E

Se ammette massimo allora è superiormente limitato; analogamente,

Osservazione 1.1.

E

se ammette minimo allora è inferiormente limitato. Il viceversa non vale.

N

| ∈

{ }

= ( ) =

A n A

L’insieme 1/n è superiormente limitato e max 1.

Esempio 1.4. ⊆

Sia E S un sottoinsieme limitato superiormente.

Definizione 1.8 (Estremo superiore).

∈ estremo superiore

Diciamo che S è di E se:

γ

1) è un maggiorante di E;

γ

∀ <

2) se allora non è maggiorante (γ è il più piccolo dei maggioranti).

β, β γ β = ( )

In questo caso scriveremo E .

sup

γ

4 Mattia Pozzi - Appunti di Analisi Matematica 1

⊆

Sia E S un sottoinsieme limitato inferiormente. Di-

Definizione 1.9 (Estremo inferiore).

∈ estremo inferiore

ciamo che S è di E se:

γ

1) è un minorante di E;

γ

∀ >

2) se allora non è minorante (γ è il più piccolo dei minoranti).

β, β γ β = ( )

In questo caso scriveremo E .

inf

γ ( ) = ( )

E E E E

Se ammette massimo, allora max sup . Se, invece, am-

Osservazione 1.2. ( ) = ( )

E E

mette minimo si ha min inf . N Q

{ ∈ | ≤ } ⊆

= <

N n x

L’insieme 0 1 ha come estremo superiore

Esempio 1.5. ∈ ( ) =

N N

uguale a 1 e estremo inferiore uguale a 0, inoltre, dato che 1 abbiamo max 1,

mentre il minimo non esiste. proprietà dell’estremo

Dato un insieme S, diciamo che esso possiede la

Definizione 1.10.

superiore (inferiore) se ogni sottoinsieme E di S limitato ammette estremo superiore (inferiore).

1.4 Il campo reale

Q

Abbiamo visto come sia un campo ordinato, esso però è completo: esistono infatti

non

delle grandezze che non possono essere rappresentate tramite il rapporto di numeri in-

grandezze incommensurabili.

teri, quest’ultime vengono dette Un primo semplice esempio

Q

della non completezza di è dato dal seguente teorema. 2 =

Non esiste nessun numero razionale q tale che q 2.

Teorema 1.1. =

Dimostrazione. q m/n, m n

Supponiamo esista un con e primi tra loro, tale che:

2

m

2 2 2

⇒

= =

=

q m 2n

2

2

n Z;

2 ∈

=

m m m k

allora è pari e quindi anche è pari. Dunque, 2k con riscrivendo l’e-

quazione di partenza abbiamo:

2 2 2 2

⇒

= =

n

4k 2n 2k

2

n n m n

quindi è pari e anche lo è. Dato che e sono entrambi pari essi hanno come

m n ■

divisore comune 2, il che contraddice l’ipotesi che e fossero primi tra loro. p,

In modo del tutto analogo, si potrebbe dimostrare che, dato un numero primo non

2 =

q q p.

esiste un numero razionale tale che Q

Un altro importante risultato della non completezza di è dato dal fatto che esso non

gode della proprietà dell’estremo superiore (inferiore); ad esempio per l’insieme:

Q Q

2

{ ∈ | } ⊆

= <

E s s 2 Q 2

∈

( ) =

E s s

non esiste l’estremo superiore, infatti sup sarebbe un numero tale che 2,

ma quest’ultimo non esiste per il Teorema 1.1. Q

Per risolvere il problema della non completezza di sussiste il seguente teorema.

L'insieme dei numeri reali 5

Esiste un campo totalmente ordinato che gode

Teorema 1.2 (di esistenza dei numeri reali). R

della proprietà dell’estremo superiore (e dell’estremo inferiore); questo campo è denotato con e i

Q R.

⊂

numeri reali.

suoi elementi sono detti Inoltre,

R

Si dimostra che è il più grande campo ordinato completo che si possa costruire.

Vediamo ora alcune delle proprietà fondamentali dei numeri reali: la proprietà archime-

Q R n-esima.

dea, la densità di in e l’esistenza della radice R, N

∈ ∃ ∈

>

Siano x, y x allora n tale che:

0,

Lemma 1.1 (Proprietà archimedea). >

nx y (1.1)

N N

∈ ∀ ∈

Dimostrazione. n n

Supponiamo non esista per cui valga 1.1, allora abbiamo

≤ >

nx y. x

Per ipotesi 0 quindi:

y

≤

n x

N ■

dunque sarebbe limitato, il che è assurdo.

Q R). R, Q

∀ ∈ ∃ ∈

< < <

x, y con x y, q tale che x q y.

Teorema 1.3 (di densità di in N

− ∃ ∈

>

Dimostrazione. y x n

Per ipotesi sappiamo che 0, per il Lemma 1.1 tale che:

−

( ) >

n y x 1

> +

ny nx.

da cui 1 Applicando nuovamente il Lemma abbiamo:

N

∃ ∈ >

m m nx

tale che

1 1

N

∃ ∈ −

>

m m nx

tale che

2 2 Z

− ∈

< <

m nx m m

dunque . Ma allora esiste un intero tale che:

2 1

− ≤ <

m nx m

1 ≤

< + <

nx m nx ny,

da cui otteniamo 1 ossia:

m

m Q

∈

<

< y

x ■

con

n n

R

∀ ∈

x, y esistono infiniti numeri razionali compresi tra x e y.

Corollario 1.1. = =

Dimostrazione. x q

La dimostrazione è analoga alla precedente, è sufficiente porre

Q

′ ′

∃ ∈

= < <

m/n y y, q q q y.

e così facendo si dimostra che tale che Ponendo

Q

′ ′′ ′ ′′

∃ ∈

= = < <

x q y y q q q y;

successivamente e si ha che tale che iterando il

x y ■

processo