Appunti Analisi matematica 1 - Successioni di numeri reali

Successioni di Numeri Reali - Indice

• Successioni e Sottosuccessioni
• La successione di Fibonacci
  • Th. di esistenza del numero aureo
• Th. del limite del numero di Nepero
• Proprietà dei limiti di successioni
• Forme indeterminate dei limiti di successioni
  • Th. di Cesaro
• Th. sui limiti di successioni
  • Th. di unicità del limite di una successione
  • Th. di esistenza del limite di una successione
• Th. sui limiti di sottosuccessioni
• Th. di limitatezza e convergenza delle successioni
• Th. del confronto per i limiti di successioni
• Th. dei Carabinieri per le successioni
• Th. della permanenza del segno per le successioni
• Th. di Bolzano-Weierstrass per le successioni

Successioni di numeri reali

Sia f : ℕ → ℝ, allora (x_n)_n è una successione di numeri reali.

• Una successione è limitata superiormente ⇔ ∃ M ∈ ℝ tale che a_n ≤ M ∀ n ∈ ℕ
• Una successione è limitata inferiormente ⇔ ∃ m ∈ ℝ tale che a_n ≥ m ∀ n ∈ ℕ
• Una successione è limitata ⇔ è superiormente e inferiormente limitata
• Una successione è illimitata ⇔ non è limitata
• Una successione è monotona strettamente crescente se a_n < a_n+1
• Una successione è monotona non decrescente se a_n ≤ a_n+1
• Una successione è monotona strettamente decrescente se a_n > a_n+1
• Una successione è monotona non crescente se a_n ≥ a_n+1

Dato L un sistema di intorni aperti, lim_n→∞ x_n = L se per ogni intorno U ∈ L x_n ∈ U

• Data (x_n)_n, una successione di numeri reali, diremo che essa è una successione convergente se ∀ ε ∈ ℝ⁺ ∃ n_ε ∈ ℕ : ∀ n ≥ n_ε | x_n - a | < ε ⇒ lim x_n = a
• Data (x_n)_n, una successione di numeri reali, diremo che essa è una successione divergente positivamente se ∀ M > 0 ∃ n₀ > 0 : x_n > M ∀ n > n₀ ⇒ lim x_n = +∞
• Data (x_n)_n, una successione di numeri reali, diremo che essa è una successione divergente negativamente se ∀ M < 0 ∃ n₀ < 0 : x_n < M ∀ n > n₀ ⇒ lim x_n = -∞

lim_n→∞ x_n = a ∈ ℝ ⇒ x_n è convergente

+∞ ⇒ x_n è divergente positivamente

-∞ ⇒ x_n è divergente negativamente

≠ ∞ ⇒ x_n è irregolare

Sia φ : ℕ → ℕ strettamente crescente. Sia f : ℕ → ℝ una successione, allora la successione f o φ : ℕ → ℝ f o φ (j) = x_nj con φ(j) = nj ∈ f(n) = x_n è una sottosuccessione

4. Th.

Siano _n→∞ lim x_n = a, lim_n→∞ y_n = b ⇒ lim_n→∞ (x_n y_n) = ab

Dim. (Diretta)Sia | x_n | ≤ M ∀ n ∈ N.| x_n y_n - ab | = | x_n y_n - x_n b + x_n b - ab | = = | x_n (y_n - b) + b (x_n - a) | ≤ ≤ | x_n | |y_n - b | + | b | | x_n - a |

Poniamo N = max {M, | b | + 1} ⇒⇒ | x_n | | y_n - b | + | b | | x_n - a | ≤ N ( | y_n - b | + | x_n - a | ) = = N ( | y_n - b | + | x_n - a | )

x_n e y_n sono convergenti, pertanto fissato ε > 0∃ n₁ ∈ N : ∀ n > n₁ | x_n - a | < ε / 2N∃ n₂ ∈ N : ∀ n > n₂ | y_n - b | < ε / 2N

Dato n_ε = max {n₁, n₂} ∀ n > n_εN ( | y_n - b | + | x_n - a | ) < N ( ε / 2N + ε / 2N ) = ε

⇒ ∀ ε > 0 ∃ n_ε ∈ N : ∀ n > n_ε | x_n y_n - ab | < ε ⇒⇒ lim_n→∞ (x_n y_n) = ab

5. Th.

Siano _n→∞ lim x_n = a, lim_n→∞ y_n = b con a,b ∈ ℝ : b ≠ 0⇒ lim_n→∞ x_n / y_n = a / b

Dim. (Diretta)È sufficiente vedere il quoziente come a_n / b_n = a_n . 1 / b_n

Forme indeterminate

1. a_n → +∞ , b_n limitata inferiormente ⇒ a_n + b_n → +∞
2. a_n → -∞ , b_n limitata superiormente ⇒ a_n + b_n → -∞
3. | a_n | → ∞ , b_n ≤ L > 0 ⇒ | a_n b_n | → +∞
4. a_n → 0, b_n ≤ M ∈ ℝ⁺ ⇒ a_n b_n → 0
5. | a_n | → ∞ , a_n ≠ 0 ⇒ 1/a_n → 0
6. a_n → ∞ , a_n ≠ 0 ⇒ 1/ | a_n | → 0
7. | a_n | → ∞ , 0 < | b_n | ≤ M ∈ ℝ⁺ ⇒ | a_n/b_n | → +∞
8. a_n → 0, | b_n | ≥ L > 0 ⇒ a_n/b_n → 0

1 caso:

Supponiamo che l'insieme dei valori x = {x_n : n ∈ ℕ} sia finito ⇒ ∃ α = x_nk ∈ X ∖ x_n = α per una successione di indici, sia {n₁, n₂, .., n_h} la sottosuccessione (x_nk) ∀ k che è dunque costante e converge ad α.

2 caso:

Supponiamo che l'insieme X sia infinito, poniamo a₀ = a₀, b₀ = b₀, I₀ = [a₀, b₀].

Sia m₀ = _{a0 + b0}/² il punto intermedio dell'intervallo tale che A₀ = [ a₀, m₀ ] e B₀ = [ m₀, b₀ ].

Se in A₀ ci sono infiniti valori della successione, definiamo I₁ = A₀ e scegliamo a caso x_n1 ∈ I₁.

Definiamo a₁ = m₀ e b₁ = b₀.

Per Induzione

Passo Base:

Supponiamo di aver definito I_k ⊆ I_k-1 ⊆ I_k-2 ⊆ I₀

Dato I_j = [ a_j, b_j ] con b_j - a_j = _{b0 - a0}/^2j

∀ x_ni ∈ I_j segue che I_j contiene infiniti valori della successione x_n con n > n_j

Passo Induttivo:

Per k+1 poniamo m_k = _{bj + ak}/², A_k+1 = [ a_k, m_k ] ∈ B_k+1 = [ m_k, b_k ].

Se in A_k+1 ci sono infiniti valori di (x_n)_n con n > n_k ⇒ definisco I_k+1 = A_k+1, a_k+1 = a_k e b_k+1 = m_k ottenendo I_k+1 = [ a_k, b_k ]

Preso x_nk+1 ∈ I_k+1 con n_k+1 > n_k, se in A_k+1 i valori di (x_n)_n sono in numero finito, allora prendo I_k+1 = B_k+1.

Osservo che b_k+1 + a_k+1 = _{b - a}/^2k+1

Abbiamo definito ∀ k ∈ ℕ I_k, A_k, B_k, m_k, a_k, b_k, x_ni.

Per a_k ≤ a_k+1 tale che la successione è crescente e limitata: ∃ lim a_n = α

Per b_k ≥ b_k+1 tale che la successione è crescente e limitata: ∃ lim b_n = β

Dato α < β per il confronto dei limiti α < β ⇒ lim _k→∞ (b_n - a_n) = 0

Osserviamo che a_n ≤ x^n_i ≤ b_n cioè β = α = β quindi per il teorema dei due carabinieri