I
ANALISI MATEMATICA
FORMULARIO
TRIGONOMETRIA
sin + cos = 1; tan = ; coth =
2 sin x cos x
2
x x x x
cos x sin x
sin( = sin cos( = cos sin( = cos cos( = sin
⇡ ⇡
± ± ⌥
x) x; x) x; x) x; x) x;
2 2
sin(⇡ = sin cos(⇡ = cos sin(x + 2⇡) = sin cos(x + 2⇡) = cos
± ⌥ ±
x) x; x) x; x; x;
sin(x = sin cos cos sin cos(x = cos cos sin sin
± ± ± ⌥
y) x y x y; y) x y x y
sin(2x) = 2 sin cos cos(2x) = cos sin = 2 cos 1=1 2 sin
2 2
2 2
x x; x x x x
1+cos(2x) 1 cos(2x)
cos = ; sin =
2
2 x x
2 2
sin + sin = 2 sin cos ; sin sin = 2 cos sin ; cos + cos = 2 cos cos ;
u+v u v u+v u v u+v u v
u v u v u v
2 2 2 2 2 2
cos cos = 2 sin sin ;
u+v u v
u v 2 2
sin cos = [sin(x + + sin(x cos cos = [cos(x + + cos(x
12 12
x y y) y)]; x y y) y)];
sin sin = [cos(x + cos(x
12
x y y) y)] 2
Posto = tan(x/2), si ha: sin = ; cos = ; tan = ;
2t 1 t 2t
t x x x
2 2 2
1+t 1+t 1 t
p p p
sin 0 = 0 cos 0 = 1 sin = ; cos = ; sin = ; cos = ;
3 2 2
⇡ 12 ⇡ ⇡ ⇡
6 6 2 4 2 4 2
p
sin = ; sin = ; sin = 1; cos = 0;
3
⇡ ⇡ 12 ⇡ ⇡
3 2 3 2 2
DISUGUAGLIANZE 2
per ogni 0 1 cos per ogni
R; R;
x
|sin |x| 2 2
x| x x x
2 2
2 2 (x+y)
x +y
log(1 + per ogni 1; ; + ; + (x + )
2 2 4 4 2 2 2
|xy|
x) x x > x y x y y
2 2
SVILUPPI DI MACLAURIN
2 3 n
= 1 + + + + + + )
x x x
x n
· · ·
e x o(x
2! 3! n!
2 3 n
log(1 + = + + + ( 1) + )
x x x
n+1 n
· · ·
x) x o(x
2 3 n
3 5 2n+1
sin = + + + ( 1) + )
x x x
n 2n+2
· · ·
x x o(x
3! 5! (2n+1)!
2 4 2n
cos = 1 + + + ( 1) + )
x x x
n 2n+1
· · ·
x o(x
2! 4! 2n!
tan = + + + )
13 2
3 5 6
x x x x o(x
15
3 5 2n+1
arctan = + + + ( 1) + )
x x x
n 2n+2
· · ·
x x o(x
3 5 2n+1
↵(↵ 1) ↵(↵ 1)(↵ 2)) ↵(↵ 1)···(↵ n+1)
(1 + = 1 + + + + + + )
↵ 2 3 n n
···
x) ↵x x x x o(x
2! 3! n!
1
sgttoinsiena stretto
Monia
c yo
contenuto
E sottoinsieme improprio
uguale
( contenuto )
oppure
} simboli
i. E Sono dare
pur
definizione
= una
def
=
Nella nell' ipotesi
disequazione se
definite
variabili
le positiva
come
sono
allora regole
le
applicare di
posso
lo spostamento
base da sx a
per
delle variabili diversamente
dx no
,
1
XC
es . ¥ poiché
che
dire
Non 1
s
posso che
detto positiva
X è
non sia ,
falso
E !
fatto ×
di -2 a
se >
= -
Xly
es . ¥ §
che
Non nè
dire a
posso f-
che nonché
¥
né > non
dei due numeri
segni
i
conosco -
23/09/2020
1 :
Lezione
-
Teorema IR
Densità dei numeri
:
Presi reali
due numeri Xr
× a
,
esistono
Ctz
dove Xp sempre
, GIRI
④
E
due numeri y
y e <
,
che tra te
commessi Xz
saranno e .
Ù IR X Xz
<
Xn E con
te ,
, IR
3- E
yn y ,
, Xz
cd
Q in e
Y E ,
, IR X l LE
Yz i y
C- , ,
Maggiorente
Daf insieme
di :
un
: A IR
sia IR ME
sia
E se
e ,
HX A 4 M
×
c- ,
allora maggiorente
M di
dice
si A
Def Minorate di insieme
un :
: R
sia IR
A sia e
e
E m se
,
VXEA X
ma
,
allora minorata di
dice
si
nn
A
Def che limitato
A
diremo
: è ha
superiormente a
se
almeno maggiorente
un
che limitato
Def A è
Diremo
: inferiormente ha
A
se
almeno vanta
mimo
un inferiormente
limitato
se A è e
semplicemente
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limitato
che A è
che maggiorente
Def Diremo M di
: ,
AER A
massimo di
è se
,
A
ME che
Def Diremo orante di
mi
: m -
,
AEIR minimo
è di A se
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E
nn
Il
Oss minimo
massimo di
e un
: qual esistenti
insieme sono
ora
, ,
unici
{ fine }
IN -101
A
es =
. # (A)
A 1
massimo = min
I
Esiste il minorarne A
per ovvero
, al
questo appartiene
0 non
ma
,
suddetto insieme intervallo
che
Def IEIR
Diremo è
: un
se :
✓ }
4 I
XEIR E
EXE ×
×
EI :
Xr
X . ,
. . intervallo
parole IEIR
In è un se
l' reali
dei
insieme numeri compresi
qualsiasi
due
tra chi è
I
numeri ,
vuole che
Si
sottoinsieme vi
un suo .
densità
sia .
parole il segmento
altre che
In punti ti
X
congiunge dev'
i essere
e
,
sottoinsieme I
di
un .
{ }
A- IR Xfo
te
es :
. intervallo perché
Non è un se
col 1
prendo -1 Xa
× e -
, }
{ sottoinsieme
Xr
XEIR è
E E
X ×
: non
.
poiché 0¥ A
intervalli solo
Teorema Gli IR
in
: sono
del
gli seguente tipo
insiemi :
{
[ ] }
EIR
b Eb
as
1) × ×
:
a. = {
[
[ b XEIR
2) }
xlb
= :
a. ⇐
a
Ja b) }
{
3) b
XEIR XE
<
= : a
, }
{
4) [
Ja acxcb
b XEIR :
=
, }
5) 4
tool
Ca XEIR x >
: a
e
, { }
tool
6) Ja XEIR × > a
:
=
, }
7) {
] ] XEIR + E
ao :
a a
=
- , }
{
[
8) ] XEIR ! la
+
ao a =
- , intervalli limitati
(4)
Da 4) a sono limitati
intervalli
Da ( (8)
)
s sono non
a tool IR
Oss J ao e
-
: , intervalli
Oss L' è
di due
unione
: intervallo generale
? In
un no ,
intervalli
dagli
dipende
però intervallo
) [ 3,5L
[ 8 è
-2
es v
- non
,
. tool
[ ] intervallo
)
8 è
-2 -2
u ,
, f.
funziona AEIR IR
Chiameremo
Def →
: il dominio
è
a
dove funzione f iniettivo
Def Una dice
: si
:
se fare
farle
✓ A ) xr
x.
e
x. × ←
,
, grafico f intersecato
il
Se di è netta
punti
più
in due da
o una
tale
del allora
tipo funzione
y a
=
iniettivo
è
non .
Def si di
immagine
dice
: una
f degli
l'
funzione insieme
Ict ) TEA
ogni
m
tfcxilxea }
flat -
fcr l'
trovare
)
es immagine
e
. ^ tal
tool
f Io
Io →
:
vai ,
d- ,
È >
flirt Jo
è tool
f IR o
: -
- ,
piè
a
§
§
:
%
% a IN ha
f
Se iniettivo )
Oss è
: una
soluzione
sola funzioni
di
Def Composizione
:
f AEIR R (
f g)
f composto
→
: g.
:B IR
EIR
g -7 f) fin
( (
A G) )
gof air g. eg
:
-
: 9
f > flat
A IR
B
f
g.
f B
Se (A) è di
sottoinsieme
non f
esistere
può
non g.
.
es . rit
)
glt
Ict ) xti -
- tool
(
(
f tool
IR in g o
→
:
→ o
: , ,
f
L' è
di
immagine non un
del
sottoinsieme di
dominio g
esistere
di conseguenza può
non f.
esistere
f -
però g
g. mo
,
( figlia
f. ) NT
g) )
Ix 1
+
= =
f. [
[ IR
g ao
: →
+
o , invertibile
Def i
Funzione
: .
f IR 1K
Sia A diremo
-0
E
! invertibile
f
che f è
è se
iniettivo . il
Non considero srniettiva
essere
suo
funzione
poiché svniettiva
ogni è
sulla immagine
propria f
Def AEIR IR
funzione di :
inversa →
: invertibile definita
è come
.
segue :
?
f- gia ) A tale che
→
' fine
f- ) y
>
⇐
( ex
y flx è
f R
:( tool )
es → -
o
. , Cotale
il
restringo dominio
Se a
anche diventa invertibile
fitta E
' Ty
fui fine
^ f-
×
- ) ⇐
ex riy
xty «
'
f- it
- n ) -
. fa
( tool
[ si
0 tao - ,
, funzione
il della
grafico f
Noto del
bisettrice
la
traccia Ie III
si speculare
lo
quadrante considera
si
e
f
di fin
. a tiri
÷
flat
f invertibile
Data
Oss a →
:
: allora
"
f fa
quindi A
)
e : →
f) "
( fin )
(
f-
io
f- thea
Ht
3- ×
=
-
. ftp.iyf-yttyefla
f- e)
( f. )
b)
3- =
] tool
è R 0
o
: - ,
log tool
Jo IR
-0
X : ,
log Cet ) IR IR
o
: -
V
Vera IR
te
elogi tool tool
Io
Jo -0
: ,
, tool
Jo
HX
Vera E , f AEIR
Def IR
→
Data : dice
si
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che crescente
monotona
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fa
H A X )
e te e
se c-
x. × , .
,
,
Ovvero la
mantiene
si
se
disuguaglianza Viceversa dice
si
. X.lk#flklzflti
decrescente se ,
fu monotona
fin g ]
-
- -
- - . .
. crescente
" si % Ia
crescente
f monotona
f strettamente monotona
Def è
: crescente A
dati C-
×
X.
se ,
, fila
fini
>
Xr )
← e
e
X. strettamente
si monotone
diranno
decrescenti se flxa
fa ) )
s
×
× a .
,
, fanno parte
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due
Di funzioni
le iniettivo
tutte elementari
Funzioni
assoluto
Valore :
- Xzo
× se
{
Ilha IN = XL
× se O
-
In txt
g-
-
si
o
le proprietà
Vediamo sue
f ltlelt I their
1) è pari -
invertibile poiché
è
non iniettivo
non ttxe
2) IN IR litio
70 ⇐ X
s
e o
-
killer their
(
3)
4) thy
ltyl IR
191
IH c-
'
=
5) triangolare
Disuguaglianza trick
IN
Ixtyl 191
E t
6) 1911 ttxyeir
7
1×-91 HI
I -
sia
Oss >
r O
: IN Et
> rex
r -
IXIJ
Se Teo
O
reo , 9 a
se > o
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* ; 13
l
"
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«
' ×
-
ERI }
{ IN er
+ Nessuna soluzione
Se rco poiché Coral
(
Im HI ) =
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IX E rso
Xo
Oss t
: con
- IX.
E
X
X
vs rt tv
× X
r
- -
- . . ]
} (
{ XEIRI lx-x.IE × Xotr
r
r - - ,
.
Intervallo centrato
Xo
in
XOEIR che
sia
Def diremo
»
r
e
: [ ] alito
è intorno
tr
Xo
r
× un
-
. , .
le
Gli intonsi di sono
toro
semiretta Men
(
del tipo [ Mita con
semiretta
le
Gli interni di -00 sono
del ]
M MEIR
tipo ] -00 con
,
Segno
Funziona :
- { >
! × °
se f
fcx trito
) }
: R
= a
-
XC
se o
X
sgn ga fin
1 > ×
1
- delle età
alcune
Vediamo mani ,
1) IN
X ×
sgn = lo
Utili studio
2) ogni 1 nn
X = funzioni
delle
3) assoluto
col
IXI valore
e
sgnx
In
4) ogmx
=
IN esponenziale
Funzione :
- tool
f Jo
IR →
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^ ,
àa »
7- è
flx ) caso
1 già -
ocacr
. > IT' ( )
Se strettamente
1
>
a s
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Se 1 >
=
la c
0
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1) XEIR
ai tt
so è
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2) ) è
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ftp. ,
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f
3) è .
4) ai 1
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"
"
5) àr
of EIR
a
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6) EIR
) a
- "
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7) V-x.pe
-
ok
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a
a =
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-
= è
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In
5 . > +
ftp.s.zx e
-
In
a
- x
logaritmo
Funzione
- :
flx È che
Consideriamo Ricordo
) = .
invertibile
ci .
'
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tool
Z ] →
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'
f- logax
G) =
la
Elenchiamo proprietà :
è
1) Se crescente
monotona
1 è
> s
a .
la
anche
di inversa
conseguenza sua
È
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1 monotona
al
<
0 lo
decrescente conseguenza
S gli
- la
anche
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sua
log Ts >
a i
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,
logo ↳ oca.cn
se
,
2) )
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Io dominio di
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×
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Jo
× E
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× ×
41
La
0
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della
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Si che
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il
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I
pur a .
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5) t
= .
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Jo
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Xz ,
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¥ Io Hye R
E
× faro ,
Xp legati
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7) lega ×
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- ,
Xr
VI. Jo tool
E
Xr ,
( )
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Se di marmo
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logaritmo
il il
prenderà nome
naturale
logaritmo
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log =
, IRI
3
l l
2 l E
con e log
log
fai il
H 7 t a
es - -
-
. li
11 traslo
la
Traslo tutta
variabile funzione
la
verticale )
)
orizzontale (
(
y n log "
K
y -
=
O >
• ×
z
destra
sposta
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a
logli llogx ttxso
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n [ logx
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> X
circolari )
(
Funzioni tg
con
sin
- , ,
"
¥ :à±÷
:c
:p "
"
: coordinata dal
palla
punto
circonferenza
funzioni
Sono
IR
IR →
Sim : periodiche di
IR
i.IR -7 periodo
cos IN
EIR
ttx
)
( KEZ
2kt sinx
Xt
sin = ,
XEIR
V.
)
( XTZKIT KEZ
cos cost
- ,
Proprietà di coseno
seno e
lcosxl
Isinxl
1) E 1
,
sinlx ?
2) 1
cos
t × a circonferenza
alla
Perché PE }
punti { ftp.t
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(
3) sin sin Xcosy
tty Sing cost
a
e
( ) Sint
Xty sing
xcosy
cos cos -
= formule
✓ IR addizione
di
E
× y
, )
( Cosi
X
sin
ZX 2
sin = formula
la
Perché addizione
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1-
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I 25in XCOSX
= Ict
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