Appunti Analisi matematica 1 - prima parte

L'INSIEME R

• INSIEMI DEI NUMERI
• OPERAZIONI TRA INSIEMI
• RELAZIONI BINARIE
• LIMITAZIONI DI UN INSIEME ORDINATO
  • TH. DI UNICITÀ DEL MASSIMO / MINIMO
  • TH. DELLE PROPRIETÀ CARATTERISTICHE DELL'ESTREMO SUPERIORE / INFERIORE IN R
• TH. DI BOLZANO-WEIERSTRASS PER GLI INSIEMI
  • TH. DI CANTOR
• PROPRIETÀ DI ARCHIMEDE IN Q E IN R
• INTORNI
  • TH. DI SEPARAZIONE DI HAUSDORFF
• INSIEMI COMPATTI
  • TH. DI CARATTERIZZAZIONE DEGLI INSIEMI COMPATTI IN R
  • TH. DI ESISTENZA DI MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME COMPATTO
• DENSITÀ DEGLI INSIEMI
• IRRAZIONALITÀ DELLA RADICE QUADRATA DI 2
• CAMPI
  • TH. DI CARATTERIZZAZIONE DEI CAMPI ORDINATI COMPLETI
• ASSIOMA DI DEDEKIND
  • TH. DEGLI INSIEMI CONTIGUI

IL CALCOLO COMBINATORIO

• LE POTENZE, IL FATTORIALE E I COEFFICIENTI BINOMIALI
• LA FORMULA DI STIEFEL
• IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA
• IL BINOMIO DI NEWTON
• PERMUTAZIONI
  • SEMPLICI
    • CON RIPETIZIONE
• DISPOSIZIONI
  • SEMPLICI
    • CON RIPETIZIONE
• COMBINAZIONI
  • SEMPLICI
    • CON RIPETIZIONE

I numeri naturali

• Assiomi di Peano
  • Principio di induzione
• Disuguaglianza di Bernoulli
• Formule di Gauss
• Th. della corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle parti e ℕ

Funzioni elementari

• Funzioni
  • Th. della molteplicità di uno zero
  • Th. di Ruffini
• Trasformazioni di grafici di funzioni
• La funzione valore assoluto
  • Disuguaglianza triangolare
  • Lipschitzianità
• La funzione potenza
• La funzione radice
  • Th. di esistenza della radice n-esima
• La funzione esponenziale
• La funzione logaritmo
• Gli angoli
• Funzioni goniometriche
  • Seno
  • Coseno
  • Tangente
• Formule goniometriche
  • Formule di prostaferesi
  • Formule di Werner
• Risoluzione di un triangolo rettangolo
• Funzioni goniometriche particolari
• Funzione sinusoidale
• Funzioni iperboliche
  • Seno iperbolico
  • Coseno iperbolico
  • Tangente iperbolica
• Formule iperboliche

Th. di Unicità di Max/Min

Sia (X, ≤) un insieme ordinato, K ⊆ X. Allora, se esiste, il massimo/minimo di K è unico.

Dim. (Per assurdo)

Siano min₁, min₂ minimi di K → min₁, min₂ ∈ K →

• a <= min₁ ∀ a ∈ K
• a <= min₂ ∀ a ∈ K

Se min₂ ∈ K → min₂ <= min₁

Se min₁ ∈ K → min₁ <= min₂ → min₁ = min₂ per la proprietà antisimmetrica

Siano max₁, max₂ massimi di K → max₁, max₂ ∈ K →

• a <= max₁ ∀ a ∈ K
• a <= max₂ ∀ a ∈ K

Se max₂ ∈ K → max₂ <= max₁

Se max₁ ∈ K → max₁ <= max₂ → max₁ = max₂ per la proprietà antisimmetrica

Maggiore M : M ∈ X → ∀ x ∈ K, x <= M

Minore m : m ∈ X → ∀ x ∈ K, x >= m

Estremo Superiore → sup(K) = min { M ∈ X } { m ∈ K }

Estremo Inferiore → inf(K) = max { m ∈ X }

NB. sup(K) ≠ +∞ indica che K non ha estremo superiore / inferiore

N.B. il massimo / minimo se esiste coincide con l’estremo superiore / inferiore

Th. Proprietà Caratteristiche dell’estremo superiore/inferiore in R

Sia A ⊊ R superiormente limitato, allora

• s ∈ R : s = sup(A) ↔ { ∀ a ∈ A a <= s }
• { ∀ ε > 0 ∃ aₑ ∈ A : aₑ > s - ε }

Sia A ⊊ R inferiormente limitato, allora

• i ∈ R : i = inf(A) ↔ { ∀ a ∈ A a >= i }
• { ∀ ε > 0 ∃ aₑ ∈ A : aₑ < i + ε }

Dim. (Diretta)

• Supponiamo che ∃ s = sup(A), allora s è un maggiore di A cioè ∀ a ∈ A a <= s quindi è verificata la { 1 }
• Se ε > 0 ∃ aₑ ∈ A : s - ε < aₑ quindi s - ε non è un maggiore, quindi ⟨ ∀ aₑ ∈ A : aₑ > s - ε &⟩ ⟨ ⟦ il valore ⟧ ⟩

Dim. (diretta e per assurdo)

Siano E chiuso e limitato e (x_n)_n una successione in E la successione è limitata.

Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, ∃ una sottosuccessione (x_nk)_k convergente ad α ∈ E ma α ∈ E perché E è chiuso.

∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n ≥ N : x_n ∈ V_ε(α) ∃ (x_nk)_k ma α ∈ E quindi ∈ E

⇐ per assurdo supponiamo che E non sia limitato,

allora ∀ M > 0 ∃ x_n ∈ E : lim x_n = ∞

n → ∞ ⇒ lim x_n → ∞ ⇒

non può avere sottosuccessioni convergenti, che è assurdo.

⇐ sia α punto di accumulazione per E, allora

∃ (x_n)_n ∈ E : lim x_n = α

per ipotesi ∃ (x_nk)_k che tende ad un punto di α ∈ E ⇒ α ∈ E; E è chiuso.

Th. di esistenza di massimo e minimo di un insieme compatto

Sia E ⊆ ℜ compatto allora ⇒ ∃ min (E) e max (E)

Dim. (diretta e per assurdo)

∃ sup (E) = b ∈ ℜ

1. se b ∈ E ⇒ b è il massimo
2. se b ∉ E ⇒ ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ E : x_ε < b + ε, quindi

ogni intorno I di b contiene un elemento x_ε ∈ E con x_ε < b. Ma allora b è un punto di

accumulazione per E e siccome E è chiuso, allora

b ∈ E

∃ inf (E) = a ∈ ℜ

1. se a ∈ E ⇒ a è il minimo
2. se a ∉ E ⇒ ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ E : x_ε > a - ε, quindi

ogni intorno I di a contiene un elemento x_ε ∈ E con x_ε > a. Ma allora a è un punto di

accumulazione per E e siccome E è chiuso, allora

a ∈ E

Th. di compattezza

Se f è una funzione continua e A è un insieme

compatto, f(A) è un insieme compatto.

Un insieme Y si dice denso in X se ∀ x ∈ X, ∀ ε ∈ ℜ⁺

∃ y ∈ Y che dista da x meno di ε.