Antitrasformata (2) e ricostruttori

Antitrasformata #3

• Metodo dell'integrale di inversione

Sia X(z) ⟶ x(k) allora

x(k) = ₁/^{2π j} ∮_C X(z) · z^k-1 dz

dove C è la curva chiusa che racchiude tutti i poli della funzione.

Per il teorema dei residui, si dimostra che

x(k) = ₁/^{2π j} ∮_C X(z) · z^k-1 dz = ∑_{tutti i poli} Res[X(z) · z^k-1]

es.

X(z) = z/_z-1 ⟶ x(k) = ∑Res_z=1 z^k-1 = 1 · 1^k = 1^k = 1(k)

es.

X(z) = z/_(z-4)(z+2) ⟶ x(k) = ∑Res_z=4 (z/z-4)(z+2) · z^k-1 = Res₁ + Res₂

Res₁ = (-1)/sub>(-4+2) · (2^k) × X(k) = 1^k - (-2^k)

es.

X(z) è ritardato di 2 passi.

X(z) = _z0(z+2)/^z(z+2)(z-4) ⟶ x(k) = ∑Res_z=0 (z0(z+2)/z(z+2)(z-1)) z^k-1 = ∅

per k=0

x(0) = ∑Res_z=0 z0(z+2)/z(z+2)(z-4) + R₁ + R₂ + R₃ = 0

R₁ = d/dz [z0(z+2)/z(z+2)(z-1)]

R₂ = 10(-4)/(2(-1)(-2)) = 5 = 15

R₃ = 10/₃²(2) = 15

Se fosse stato z = fatibile??

per k=1

x(1) = ∑Res_z=0 z0(z+2)/z(z+2)(z-4) + R₁ + R₂ + R₃ = 0

per k>2

x(k) = ∑Res_z=0 z0(z+2)k^k-2/z(z+2)(z-4) [z0(z+2)/z(z+1)(z-1)]

Residuo (vale solo se k>2)

R₂ = (10(-3)(z0(-2)))/(z0(-1)(-5)) = 10(₃)/2 = (z0/z^k-2)

R₂ = (10/₃)/² lá = 15 = 15 · 1(k)

x(k) = -5(-1)^k-2 + 5 · 1(k-2)

grafico modulato

Poi complessi coniugati

X(z) = ^50z3/_{(z+1)(z+2j)(z-2j)} X(z) = ^{50 · zk-2}/_{(z+1)(z+2j)(z-2j)}

Al variare di k poi saranno sempre 3 → X(k) = R₁ + R₂ + R₃

R₁ = ⁵⁰/_z+1 e^djt → R₂ = ^50(-2j)/_(-2j+2j)(-j) e R₃ = ^50(2j)/_(zj+1)(4j)

z_j = 2e^j⍵

z_j = 2e^-j⍵

X(k) = 10(-1)^k+2 + 50^edj⍵/_(1-2j)[-4j] + 50^e⍵j/_(4j) =

= 10(-1)^k+2 + 10z^k+2[e j^(k+2) e^ik⍵ - e^-jk⍵] -

-j2(e^i(k+2)⍵ + e^-j(k+2)⍵)] =

= 10(-1)^k + 5 · 2sin((k+2)⍵) √_z10 - 2cos((k+2)⍵)

es

F₂(z) = ¹/_z⁴(z+2) = ^z-5/_z+2 z^t = ^(-2) * ⍵(k+5)

F₂(z) = ^(-2) ⍵^k-1(k+5)

es

F₂(z) = ^z/_(z-4)³(z-2) → F₂(z) = A^(z-4)3/_(z-2)+ B^(z-2)+ C^(z-1) + D

A = 1

B₁⁽¹⁾/_z-2 z=1 = 1

C - 1 d₁

d¹/dz

= 1

D = 1

Ricordo che z^t = ^z3/_(z-2)⍵ k = ^(k+4)(k+2)/₂ = quindi, ponendo ⍵ = k-2

F₂(z) = ^z-1/_z^-1 = ^z-1/_z-4¹ = ^z-3/_(z-2)

= ^{d ⍵ - 1}/₁[(z-(k+2))] + ⍵)

1^k-2 1(k-2)

S_x(t) = Σ_h=-∞^+∞ c_h e^jhW_st

dove W_s = ^2π⁄_T

quindi chi vale c_h = ¹⁄_T ∫_-T/2^T/2 δ(t) . e^-jhW_stdt = ∫ δ(t).δ(t)dt = δ(0)

per cui c_h = 1/T∫ δ(τ) . . . dτ

e di conseguenza

δ_s(t) = ¹⁄_T Σ_h=-∞^+∞ e^jhW_st

e allora

x^*(t) = X(t) . ¹⁄_T Σ e^jhW_st = . . .

X^*(s) = ∫_-∞^+∞ x^*(t) e^-st dt =

X^*(s) = ¹⁄_T∫_-∞^+∞[x(t) . Σ_h=-∞^+∞ e^jhW_st] e^-st dt = ¹⁄_TΣ_h=-∞^+∞ ∫ x(t) e^-(s-jhW_s)tdt =

= ¹⁄_T Σ_h=-∞^+∞ X(s-jhW_s,)

Per calcolare la trasformata di X^*(s) devo calcolare la trasformata di tutti gli elementi della sommatoria.

Calcolo la trasformata di X^*(s) |_s=s0

X^*(s₀) = ¹⁄_T[. . . + X(s₀-2jW_s) + X(s₀-jW_s) + X(s₀) + X(s₀+jW_s)+ . . .]

ripeto il calcolo in s = s₀+jw_s

X^*(s₀+jw_s,) = [ . . . + X(s₀+jw_s) + X(s₀+2jw_s)+]

notiamo che sono identici: la funzione x^*(s) assume gli stessi valori per multipli di jW_s

risulta che X^*(s) è una funzione periodica di cui è possibile studiare lo spettro:

X^*(jw_s) = ¹⁄_T Σ_h=-∞^+∞ X(jw_s-hW_s,)

con periodo w_s= ^2π⁄_T

E' lo spettro del segnale x(t) periodizzato (periodo = w_s)

Il modulo dello spettro del segnale campionato è dato da infinite repliche dello spettro del segnale originario

W_s è la pulsazione di campionamento, detta pulsazione di Nyquist

W_δ è la pulsazione del segnale x(t)