Antitrasformata (2) e ricostruttori

Antitrasformata e metodo dell'integrale di inversione

Definizione e teorema dei residui

Sia X(z), allora x(k) è dato da: x(k) = ¹/_{2π j} ∮_C X(z) · z^k-1 dz dove C è la curva chiusa che racchiude tutti i poli della funzione. Per il teorema dei residui, si dimostra che: x(k) = ¹/_{2π j} ∮_C X(z) · z^k-1 dz = ∑_{tutti i poli} Res[X(z) · z^k-1]

Esempi di calcolo dei residui

Esempio 1:

X(z) = z/(z-1) → x(k) = ∑Res_z=1 z^k-1 = 1 · 1^k = 1^k = 1(k)

Esempio 2:

X(z) = z/(z-4)(z+2) → x(k) = ∑Res_z=4 (z/z-4)(z+2) · z^k-1 = Res₁ + Res₂
Res₁ = (-1)/(z(-4+2) · (2^k)) × X(k) = 1^k - (-2^k)

Esempio 3:

X(z) è ritardato di 2 passi. X(z) = z0(z+2)/(z(z+2)(z-4)) → x(k) = ∑Res_z=0 (z0(z+2)/z(z+2)(z-1)) z^k-1

Calcolo del residuo

Per k=0:
x(0) = ∑Res_z=0 z0(z+2)/z(z+2)(z-4) + R₁ + R₂ + R₃ = 0
R₁ = d/dz [z0(z+2)/z(z+2)(z-1)]
R₂ = 10(-4)/(2(-1)(-2)) = 5 = 15
R₃ = 10/3²(2) = 15

Per k=1:
x(1) = ∑Res_z=0 z0(z+2)/z(z+2)(z-4) + R₁ + R₂ + R₃ = 0

Per k>2:
x(k) = ∑Res_z=0 z0(z+2)k^k-2/z(z+2)(z-4) [z0(z+2)/z(z+1)(z-1)]

Formula dei residui per k>2

Residuo (vale solo se k>2)
R₂ = (10(-3)(z0(-2)))/(z0(-1)(-5)) = 10(3)/2 = (z0/z^k-2)
R₂ = (10/3)/2 lá = 15 = 15 · 1(k)
x(k) = -5(-1)^k-2 + 5 · 1(k-2)

Grafico modulato e complessi coniugati

X(z) = 50z³/(z+1)(z+2j)(z-2j)
Al variare di k poi saranno sempre 3 → X(k) = R₁ + R₂ + R₃
R₁ = 50/(z+1) e^djt → R₂ = 50(-2j)/(-2j+2j)(-j) e R₃ = 50(2j)/(zj+1)(4j)
z_j = 2e^j⍵
z_j = 2e^-j⍵
X(k) = 10(-1)^k+2 + 50e^dj⍵/(1-2j)[-4j] + 50e^⍵j/(4j)
= 10(-1)^k+2 + 10z^k+2[e j^(k+2) e^ik⍵ - e^-jk⍵] -
-j2(e^i(k+2)⍵ + e^-j(k+2)⍵)]
= 10(-1)^k + 5 · 2sin((k+2)⍵) √_z10 - 2cos((k+2)⍵)

Esempi di trasformate

Esempio 4:

F₂(z) = 1/z⁴(z+2) = z^-5/(z+2) z^t = (-2) × ⍵(k+5)
F₂(z) = (-2) × ⍵^k-1(k+5)

Esempio 5:

F₂(z) = z/(z-4)³(z-2) → F₂(z) = A(z-4)³/(z-2)+ B(z-2)+ C(z-1) + D
A = 1
B₁(1)/z-2 z=1 = 1
C - 1 d₁
d¹/dz = 1
D = 1
Ricordo che z^t = z³/(z-2)⍵ k = (k+4)(k+2)/2 = quindi, ponendo ⍵ = k-2
F₂(z) = z^-1/z^-1 = z^-1/z-4¹ = z^-3/(z-2)
= d ⍵ - 1/1[(z-(k+2))] + ⍵)
1^k-2 1(k-2)

Spettro del segnale e campionamento

S_x(t) = Σ_h=-∞^+∞ c_h e^jhW_st dove W_s = 2π/T quindi chi vale c_h = 1/T∫ δ(t) . e^-jhW_stdt = ∫ δ(t).δ(t)dt = δ(0)
per cui c_h = 1/T∫ δ(τ) . . . dτ e di conseguenza
δ_s(t) = 1/T Σ_h=-∞^+∞ e^jhW_st e allora
x^*(t) = X(t) . 1/T Σ e^jhW_st = . . . X^*(s) = ∫_-∞^+∞ x^*(t) e^-st dt = X^*(s) = 1/T∫_-∞^+∞[x(t) . Σ_h=-∞^+∞ e^jhW_st] e^-st dt = 1/TΣ_h=-∞^+∞ ∫ x(t) e^-(s-jhW_s)tdt = = 1/T Σ_h=-∞^+∞ X(s-jhW_s,)
Per calcolare la trasformata di X^*(s) devo calcolare la trasformata di tutti gli elementi della sommatoria.
Calcolo la trasformata di X^*(s) |_s=s0
X^*(s₀) = 1/T[. . . + X(s₀-2jW_s) + X(s₀-jW_s) + X(s₀) + X(s₀+jW_s) + . . . ]
Ripeto il calcolo in s = s₀+jw_s
X^*(s₀+jw_s,) = [ . . . + X(s₀+jw_s) + X(s₀+2jw_s) + ]
Notiamo che sono identici: la funzione x^*(s) assume gli stessi valori per multipli di jW_s
Risulta che X^*(s) è una funzione periodica di cui è possibile studiare lo spettro:
X^*(jw_s) = 1/T Σ_h=-∞^+∞ X(jw_s-hW_s,)
Con periodo w_s= 2π/T
È lo spettro del segnale x(t) periodizzato (periodo = w_s)
Il modulo dello spettro del segnale campionato è dato da infinite repliche dello spettro del segnale originario
W_s è la pulsazione di campionamento, detta pulsazione di Nyquist
W_δ è la pulsazione del segnale x(t)