Antitrasformata di Laplace

Antitrasformata di Laplace

Formula di Heaviside

Teorema 1.9.6 (Formula di Heaviside) Sia F(s) = ^N(s)/_D(s) una funzione razionale dove il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore, e supponiamo che D abbia soltanto zeri semplici α₁, α₂, ..., α_k. Allora un'antitrasformata della F è f(t) = (∑_i=1^k N(α_i)D'(α_i)e^α_it)u(t).

In genere per antitrasformare bisogna utilizzare o il metodo dei fratti semplici con la tabella delle trasformate o, quando possibile, la formula di Heaviside.

Problemi di Cauchy

Come prima applicazione si consideri un problema di Cauchy relativo ad un’equazione lineare di ordine n a coefficienti costanti

(∑'=0ⁿY⁽ⁿ⁾(...)'a_nY^(n-1)+Y'...) Posto y = L(Y) ed f = L(F) e supponendo che sia Y che le sue derivate sino all’ordine n − 1 siano localmente assolutamente continue, si può applicare il Teorema 8.1.2 e si ottiene

• L(Y'(s)) = sL(Y(s)) − Y(0) = sy(s) − y₀
• L(Y''(s)) = sL(Y'(s)) − Y'(0) = s²y(s) − sy₀ − y₁
• L(Y⁽ⁿ⁾(s)) = sL(Y⁽ⁿ⁻¹⁾(s)) − Y(n−1)(0) = sⁿy(s) − sⁿ⁻¹y₀ − sⁿ⁻²y₁ ... − y_n−1

Sostituendo nell’equazione differenziale, si ottiene un’equazione algebrica del tipo P(s)y + Q(s) = f(s) dove Q(s) è un polinomio di grado n − 1 che dipende dai coefficienti dell’equazione e dalle condizioni iniziali e P(s) = sⁿ + a_n−1sⁿ⁻¹ + ... + a₁s + a₀ è il polinomio caratteristico dell’equazione differenziale. Si ottiene quindi y(s) = ^{f(s) − Q(s)}/_P(s).

Antitrasformata di Laplace

Formula di Heaviside

Teorema 1.9.6 (Formula di Heaviside) Sia F(s) = ^N(s)/_D(s) una funzione razionale dove il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore, e supponiamo che D abbia soltanto zeri semplici α₁, α₂, …, α_k. Allora un'antitrasformata della F è f(t) = (Σ_i=1^{k N(α_i)}/_D'(αi) e^α_it)u(t).

In genere per antitrasformare bisogna utilizzare o il metodo dei fratti semplici con la tabella delle trasformate o, quando possibile, la formula di Heaviside.

Problemi di Cauchy

Come prima applicazione si consideri un problema di Cauchy relativo ad un’equazione lineare di ordine n a coefficienti costanti

(Y⁽ⁿ⁾ + a_n-1Y^(n-1) + … + a₁Y' + a₀Y = F(t), Y(0) = y₀, … Y^(n-1)(0) = y_n-1) Posto y = L(Y) ed f = L(F) e supponendo che sia Y che le sue derivate sino all’ordine n − 1 siano localmente assolutamente continue, si può applicare il Teorema 8.1.2 e si ottiene

• L(Y')(s) = sL(Y)(s) - Y(0) = sy(s) - y₀
• L(Y'')(s) = sL(Y')(s) - Y'(0) = s²y(s) - sy₀ - y₁
• L(Y⁽ⁿ⁾)(s) = s(LY^(n-1))(s) - Y^(n-1)(0) = sⁿy(s) - s^n-1y₀ - s^n-2y₁ - … - sy_n-2 - y_n-1

Sostituendo nell’equazione differenziale, si ottiene un’equazione algebrica del tipo P(s)y + Q(s) = f(s) dove Q(s) è un polinomio di grado n − 1 che dipende dai coefficienti dell’equazione e dalle condizioni iniziali e P(s) = sⁿ + a_n−1sⁿ⁻¹ + … + a₁s + a₀ è il polinomio caratteristico dell’equazione differenziale. Si ottiene quindi y(s) = ^{f(s) - Q(s)}/_P(s).