Ricostruttori 2

Ricostruttori #2

Abbiamo visto che, dato un segnale a banda limitata, lo spettro del segnale

X^*(s) = ¹⁄_T ∑_n=-∞^+∞ X(s - jnω_s) → X(jω) = ¹⁄_T ∑_n=-∞^+∞ X(jω - jnω_s)

Per ottenere il modulo in corrispondenza di ogni pulsazione ω è necessario fare la somma dei valori contribuiti e calcolare il modulo:

|X^*(jω)|= ¹⁄_T ∑ |X(jω - jnω_s)|

ma in realtà dipende dalla fase dei vettori

Effetto Folding e Aliasing

L’effetto folding è la sovrapposizione delle componenti spettrali per effetto del campionamento, lo spettro filtrato sarà diverso da quello originario.

L’effetto aliasing è il fenomeno per il quale, mediante campionamento, si introducono nuove componenti spettrali (armoniche) alla stessa frequenza della componente spettrale di partenza.

Tale effetto si verifica anche quando il segnale x è a banda limitata e quando si campiona nel rispetto del teorema di Shannon ma tenendo conto di componenti diverse inserite nella misura:

X(jω)= Me^jφ

X(jω)=Me^jφ

Campionando a una frequenza w_s >> w_s, allora le repliche saranno offette del rumore, e filtrando con un filtro di Shannon, comparirebbe una distorsione.

La soluzione è filtrare il segnale prima di campionarlo.

Un esempio è il filtro passa basso, per eliminare le componenti in alto frequenza

Il ricostruttore di ordine 0 cerca di ricostruire x(t) a partire dai campioni x^*(t) in ingresso e generando X_r(t) mettendo il valore del precedente campione fino al successivo

È possibile ricostruire il segnale con strumenti matematici come l’espansione in serie di Taylor

Dovrei conoscere il campione e le derivate di ordine superiore del segnale rispetto al tempo, ma il ricostrutture non è in grado di conoscere le derivate, l’unica informazione è il campione.

RISCOSTRUTTORE DI ORDINE ZERO - ZOH

Si ottiene cancellando tutti i termini di ordine superiore (lasciando solo il campione), si ha

Sia

per cui

Possiamo calcolare poiché la FDT coincide con la trasformata della risposta dell’impulso

RISPOSTE in FREQUENZA

Vogliamo determinare la risposta in frequenza di ZOH e di FOH

ORDINE ZERO – ZOH

Si comporta come ritardo di t/2 secondi.

H_o(s) = ^{1 - e-Ts}/_s · e^-Ts/2

H_o(jω) = T · e^{-jωT/2 sin ωT/2}/_ωT/2 ↔ 1^{ω/ω_s → 0}

⟹ H_o(s)↔ T · e^-ST/2

|H_o(jω)| = T · |^{sin ωT/2}/_ωT/2|

ωT/2 = ω/ω_s π = ω/ω_s · π

⦪ H_o(jω) = ω_s/2 + φ_o = φ_o = π_o, -π_t

ORDINE UNO - FOH

H₁(s) = ^{4T +T_S}/_T (1 - e^-Ts/_s) = ^4T_S/_T e^-T_S/2

H₁(jω) = T · e^{-jωT sin ωT/2}/ _ωT/2~ Te → H₁(s)↔ Te^-Ts

If |H₁(jω)| = arcfg(ωT) - ωT

OSS

Se il passo di campionamento è piccolo, conviene usare FOH, al contrario se il passo di campionamento è grande è meglio usare ZOH.

OSS

Il campionamento introduce un’attenuazione pari a 1/T e la ricostruzione introduce un’amplicifazione pari a T che compensano, quindi al termine del processo non si hanno alterazioni.