Analisi matematica 1b (parte 5)

Testo formattato:

C'è di su Iclasse 7E7 7PoniamoSia Allora diceora sinza che sevoltederivabile innta7 toèa 77 derivabileèIsu setuttoesiste esital poneto casoinin 7 Atenta a fixfdenotato anche con sevolte Iderivabile su esistef ntaèfinta H IE Ch'suf di classe Iè 7scritto GIFe77Mt 7hse tutto Isu continuase èesu tutto ISi CI Effepone 7 CCI7Si CEanche eponeDef Taylordipolinomif IRSia I nein supponiamoIto Ef derivabileche sia volten in to719,711,712 17 esistono su Iltuttos'èf derivabile in toAllora rettapone tangentesi l'IYGDI FG A7 x.ttex l'ha7FETO G x tox n3 7adTaylor associatodetto dipolinomio inizialee centralepuntondi grado tooHdixE.fiDEH xoEsf ex oto76ef XoI'A fet toL'E L GE L'MIXf x ÈRifa E Esta ÈPIF staxfix Sint otoes7 Isin1 x o o7f G sCOST o7 7Sintx ooFI 7Cosa ioIlo oSIMxE 7COSAx aETC tofetPEIA ofao o 8piùaldiPol8hEs agiata oto Atolog x 77 oa27 LGtsL i153 77 21 ao74 ftp.a 7 o 6e 757 24oga

ItRIETI 3 8 5tiE IEx PajettaIn gingenerale RitaProprietàTeorema caratterizzante difSia fderivabile volte IRIEIinn etoRifoAllosto perposto x valgonoitAltoPixo poichénwas7 GoP xo L Hop Kcon nXoPESCA I Go APINA L'hadimostrareSi ed solopuò che esiste ununopiùaldi lepe n congradopolinomio 7FG fL ottDim PG aA x7 LGo toxp Gx to3 niFao fiftyPixo o 7MCxosf'Go Ito zP aixat xxx xoo 62L'Ho axN I 7MaF 7 DA H toAhGf REx toin iif'GP totXo O 7GoPE via provaCosì toIl siresto reiterando l'argomentoprovaAbbiamo realta chein riconosciutoQuesta siREITERAabbiamoNascostamente utilizzatoEX cheE Ix x.is jseJaKIKsej Kse j oKXo formula Taylordi con restoTeorema Peanodi7Sia I MEINIEIR Xo7 voltederivabile inn info fortementeAllora vale localePelt x.in74 toclxper to PE PGDim Denotiamo brevemente xDevo Okf PGXcheprovare to74 PAossia XoxApplichiamo L'HospitalIterativamente Deproviamo L'HospitalDeDiIPF7GIIIE f'hPAD1 piGj It to xn toI FX Xofa

PG PGFG O7continuità diAnche per PCLaoe FILEe omfgP'Alinf'G I mine DAnenaneNA Xosto IToNome Den derivabileFI E ne to Èf'GoPGG Pcontinuol'èpoiché inP ichperÈ 7live axC nnXo XD21 xNon De L'HospitalAncorautilizzareposso siaChe numeratoredetto ilèpoiché nonderivabile Iin toAnzi 7 è inHp soloderivabileper tof Gofa AttIII xL'MON X 0 Xoahn fà D'A xDfin'a a oo n.in x2 toiPer def differenziabilitàdi applicataagina x in toBaldi26104 TaylorformulaSullaEsercizi dif I IR intervalloGIR apertoItef voltederivabile in ton E7JGLA 7 2HIA A It to2107 e Ohx a ton stoAnalisi Matematica 1B – Prof. Annalisa BaldiCdL in MatematicaSviluppi di Taylor centrati in x = 0, con resto di Peano, di alcune funzioni elementari.0R R✓ ! 2Sia I un intervallo aperto, se f : I è derivabile n volte in 0 I alloran !f (x) = T (x) + o(x ) x 0n,0dove nX (k)f (0) kT (x) = x .n,0 k!k=0Il polinomio di Taylor

centrato in 0 viene anche chiamato polinomio di MacLaurin.Dalla formula di Taylor all'ordine n con resto secondo Peano centrata in 0 seguono i seguenti sviluppi diTaylor, di uso frequente.

1. 2 3 nx x xx n··· !e = 1 + x + + + + + o(x ) x 02! 3! n!
2. 2 3 4 nx x x xn n· · · !log(1 + x) = x + + + ( 1) + o(x ) x 02 3 4 n(potenze a segno alternato, notare che non c'e' il fattoriale al denominatore: dimostrare la formula peresercizio)
3. 3 5 7 2n+1x xx x n 2n+1· · · !sen (x) = x + + + ( 1) + o(x ) x 03! 5! 7! (2n + 1)!(solo potenze dispari e a segno alterno)
4. 2 4 6 2nx x x xn 2n· · · !cos(x) = 1 + + + ( 1) + o(x ) x 02! 4! 6! (2n)!(solo potenze pari e a segno alterno)!
5. per x 0, · · ·↵(↵ 1) ↵(↵ 1)(↵ 2) ↵(↵ 1)(↵ 2) (↵ n + 1)↵ 2 3 n n· · ·(1 + x) = 1 + ↵x + x + x + x + o(x )2 3!

1. (5.1) ↵ = ,2 p 1 1 1 5 72 3 4 5 5 !1+ x =1+ x x + x x + x + o(x ) x 02 8 16 128 256
2. (5.2) ↵ = 1, 1 2 3 4 5 5 !=1 x + x x + x x + o(x ) x 01+ x6. 3 5 7 2n+1x x x x 2n+1··· !senh (x) = x + + + + + + o(x ) x 03! 5! 7! (2n + 1)!(solo potenze dispari)
3. 7. 2 4 6 2nx x x x 2n··· !cosh(x) = 1 + + + + + + o(x ) x 02! 4! 6! (2n)!(solo potenze pari)
4. I seguenti sviluppi li scrivo solo fino al quinto ordine:
5. 8. 3x 2 5 5 !tan(x) = x + + x + o(x ) x 03 15
6. 9. 3 5x x 5 !arctan(x) = x + + o(x ) x 03 5
7. 10. 3x 2 5 5 !tanh(x) = x + x + o(x ) x 03 15
8. 11. 3x 1 5 5 !sett tanh (x) = arctanh (x) = x + + x + o(x ) x 03 5
9. 12. 3⇡ x 3 5 5 !arccos (x) = x x + o(x ) x 02 6 40
10. 13. 3x 3 5 5 !arcsen (x) = x + + x + o(x ) x 06 40
11. 14. 3x 3 5 5 !settsenh (x) = arcsenh (x) = x + x + o(x ) x 06 40

x 3 earcsintg.gecostelag 37afilea cod tams2 aftp.sina FILE3 04375I I OKSint so7 04gradiDevo scegliere uns'approccio Sint ofx ELITE FILEII ISint 32 1approccio X OÈ ofigo Egeles3043EFI _Ig3o oca3 approccio Sinn X 6E F 1I oh1 _È33Jin GtxIffy 3 IIEt tolte ttsin sosin Ht 3 lat 3 sostituzione èlecitadelPer polinomiounicità Taylordi 5313 3Ain 3Gt 3_HEX Itte5tt t OctSin soapproccioa 3OGN3 3TGtxAin oFEATOGx è bassosviluppo eliminareperquesto troppola nelFI figo sin'Ii frefedenteDevo sviluppoconsiderare di 1sinunopiù altodi grado dello studenteloVEDIAMO cialtronesvolgimentoSint tt 33 IAin x t ilè valorenonIjfluo correttoAltro studente cialtrone È FALSA3Gt 331 OHAin O3 3OHEH g3 èt2 tAinapproccio tolta t so3133_HtSin 3A OK 3 og7 93 I 3 5 333 377O 375 93 soOHL l 0431 043043333_Ex O xX a 3E3 33_E 043o x33E xofigo 3 tfI t3 SintApproccio t sito oPROVA Per ExAritmetica degli a piccoli oivi loR em per soknoltre1 su3 O x Ohh thogni

RifoC2 C e401 3 3Ose menOGM OGM OGMntmOGM4 o x mxu ogn04h O5 4h animeloG o ognOGMO7 le proprietàOSS seanchevalgonoIn talIR èe eventualmentecasomn 7dovil diper OCA at cancellanod sipiccoligli nonOss Of OGMn OÈ nDim 17 ognOGMO x Ofanto an In FETTEoantoensinount EMt OGN o 74fa lineOlga oGHfugosina3 e cost FI E3il denominatore disuggerisce sviluppare ilStudente veroeCialtrone COSA Il veroma e 2 poichécosa a xha buonunnon teconcomportamentosommaSviluppiamo dunque numeratoreil OHe sta TiEcoax s oca IfjE 3Sina ofxIEIEIEiit.IE oeE OGGIE OH I I 5haE LL3 OH 3945 EEx 43 OGG043 E 01 313FINI Èfi 3FIJ costfy FI Earctanae 414Denn 2 16 arceauleyTI fàcosta vero30TI costava falsoama7 RIA afa att LER to offo a7 HI ACI aL'AG AA I ITAL'HA STAI KEIN